九上 2.4 用因式分解法求解一元二次方程-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦“用因式分解法求解一元二次方程”，通过对比错误解法（如小敏直接除以(x-3)失根）与正确步骤（移项、提公因式），衔接直接开平方法等前序知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生掌握关键解题环节。 其亮点是分层设计“练基础-练提升-练素养”，结合易错题分析（如5x²=4x失根）和过程性学习案例（小敏与小霞解法对比），培养推理意识与创新意识。通过“友好方程”新定义、整体思想应用等，发展数学思维，学生能掌握严谨方法，教师可利用分层练习提升教学效率。

第二章 一元二次方程 4 　用因式分解法求解一元二次方程 1 目 录 2 1. （易错题）方程5x2=4x的解为 （ ） A. x=0 B. x= C. x1=0，x2=- D. x1=0，x2= D 础 基 练 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 反思本题易错点是______________________________________________. 容易在方程两边都除以x，导致失根 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 3 2.（广西梧州中考）一元二次方程（x-2）（x+7）=0的根是______________. x1=2，x2=-7 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 4 【变式】方程x2+4x+3=0的两个根为 （ ） A. x1=1，x2=3 B. x1=-1，x2=3 C. x1=1，x2=-3 D. x1=-1，x2=-3 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 5 3.【新趋势 过程性学习】（浙江嘉兴中考）小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2的过程如下框： 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“✕”，并写出你的解答过程. 小敏： 两边同除以（x-3），得3=x-3， 则x=6. 小霞： 移项，得3（x-3）-（x-3）2=0， 提取公因式，得（x-3）（3-x-3）=0. 则x-3=0或3-x-3=0， 解得x1=3，x2=0. ✕ ✕ 解：移项，得3（x-3）-（x-3）2=0， 提取公因式，得（x-3）（3-x+3）=0. 则x-3=0或3-x+3=0，解得x1=3，x2=6. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 6 4.（教材P47习题第1题改编）用因式分解法解下列方程： （1）x2-8x=0； （2）（x+1）（x-2）=x+1； （3）x（x-3）-5（3-x）=0； （4）x2-4=3（x-2）. 解：x2-8x=0， x（x-8）=0， x=0或x-8=0， 解得x1=0，x2=8. 解：（x+1）（x-2）=x+1， （x+1）（x-2）-（x+1）=0， （x-2-1）（x+1）=0， （x-3）（x+1）=0， x-3=0或x+1=0，解得x1=3，x2=-1. 解：x（x-3）-5（3-x）=0， x（x-3）+5（x-3）=0， （x-3）（x+5）=0， x-3=0或x+5=0， 解得x1=3，x2=-5. 解：x2-4=3（x-2）， （x+2）（x-2）-3（x-2）=0， （x-2）（x+2-3）=0， （x-2）（x-1）=0， x-2=0或x-1=0，解得x1=2，x2=1. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 7 5. 将下列方程的序号填在最合适解法对应的横线上. ①x2-4=0；②2x2+3x=0；③x2-4x-96=0；④4x2-12x+5=0；⑤3x2=36；⑥（x-7）2=0；⑦x2=6x；⑧x2+3x=1. （1）直接开平方法：________； （2）因式分解法：________； （3）配方法：________； （4）公式法：________. ①⑤⑥ 知识点2 用合适的方法解一元二次方程 ②⑦ ③ ④⑧ 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 8 6.（教材P48第2题改编）用合适的方法解下列方程： （1）3x2+6x-5=0； （2）7（2x-3）2=28； （3）x2-5x+2=0； （4）3x（x-1）=2x-2. 解：3x2+6x-5=0，x2+2x= ， x2+2x+1=+1，即（x+1）2=， x+1=± ， 解得x1=-1+ ，x2=-1- . 解：∵a=1，b=-5，c=2， ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×2=17>0. ∴x= 解得x1=，x2=. 解：3x（x-1）=2x-2， 3x（x-1）-2（x-1）=0， （x-1）（3x-2）=0， x-1=0或3x-2=0， 解得x1=1，x2=. 解：7（2x-3）2=28， 整理，得（2x-3）2=4， ∴2x-3=±2， 解得x1=，x2=. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 9 7.（辽宁丹东中考）若实数k，b是一元二次方程（x+3）（x-1）=0的两个根，且k<b，则一次函数y=kx+b的图象不经过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 升 提 练 【解析】∵k，b是一元二次方程（x+3）（x-1）=0 的两个根，且 k<b，∴k=-3，b=1，∴一次函数表达式为y=-3x+1. 画出图象如右图. 由图象可知，一次函数y=-3x+1不经过第三象限. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 10 8.（易错题）（河北保定一模）一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程x2-16x+55=0的两个实数根，则这个等腰三角形周长为 （ ） A. 11 B. 27 C. 5或11 D. 21或27 B 【解析】x2-16x+55=0，（x-5）（x-11）=0，解得x1=11，x2=5，如果11是等腰三角形的底边长，5为腰长，此时不符合三角形三边关系；如果 11 是等腰三角形的腰长，5 为底边长，则三角形的周长为27. 故选B. 反思本题易错点是______________________________________________. 注意三角形三边的长要满足三边关系 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 11 9.【新定义 新概念问题】定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”. 如果关于 x 的一元二次方程3（x-2）2=x2-4与x2+2x+m+1=0为“友好方程”，则m的值为 （ ） A. -5 B. -9 C. -9或-5 D. -9或-25 D 【解析】3(x-2)2=x2-4，即3(x-2)2-(x+2)(x-2)=0，因式分解，得(3x-6-x-2)(x-2)=0，即(2x-8)(x-2)=0. 解得x1=4，x2=2. 当x=4时，x2+2x+m+1=0，即16+8+m+1=0，解得m=-25；当x=2时，x2+2x+m+1=0，即4+4+m+1=0，解得m=-9.所以m的值为-25或-9. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 12 10.【原创题 新运算问题】定义一种新运算：a⨂b=a2-2ab. 例如：（-1）⨂3=（-1）2-2×（-1）×3=1+6=7，若x⨂（-1）=8，则x=________. 2 或-4 【解析】因为 a⨂b=a2-2ab，所以 x⨂（-1）=x2-2x（-1）=x2+2x=8，解得x1=2，x2=-4. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 13 11.【思想方法 整体思想】已知实数 x 满足（x2-x）2-4（x2-x）=0，则代数式 x2-x+1 的值为________. 1或5 【解析】设 x2-x=y，则原方程可化为 y2-4y=0，解得y1=0，y2=4. 当 y=0 时，x2-x=0，则 x2-x+1=1；当 y=4 时，x2-x=4，则x2-x+1=5. 故代数式x2-x+1的值为1或5. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 14 12. 【新趋势 过程性学习】我们知道可以用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)来分解因式解一元二次方程. （1）x2+6x+8=0，方程分解为___________=0，x2-7x-30=0，方程分解为___________=0. （2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不 是1的方程也可以借助此方法解一元二次方 程 . 如 3x2-7x+2=0，方程分解为(x-2)(3x-1) =0. 从而可以快速求出方程的根. 请你利用 此方法尝试解方程4x2-8x-5=0. (x+2)(x+4) (x-10)(x+3) 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 15 解：（2）∵4x2-8x-5=(2x-5)(2x+1)， ∴4x2-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x+1)=0， ∴2x-5=0或2x+1=0， 解得x1=，x2=-. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 16 13.【新趋势 过程性学习】阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2-1）=80，试求2m2+n2的值. 解：设2m2+n2=t， 则原方程变为（t+1）（t-1）=80， 整理得 t2-1=80，t2=81， 所以 t=±9. 因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2=9. 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 17 （1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2-3）=27，求x2+y2的值； 解：（1）设2x2+2y2=t， 则原方程可变为(t+3)(t-3)=27， 整理得 t2-9=27，t2=36， ∴t=±6. ∵2x2+2y2≥0， ∴2x2+2y2=6， ∴x2+y2=3. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 18 （2）已知 Rt△ACB 的三边为 a，b，c（c 为斜边），其中 a，b 满足（a2+b2）（a2+b2-4）=5，求Rt△ACB斜边的长度. 解：（2）设 a2+b2=t， 则原方程可变为t（ t-4）=5， 即 t2-4t-5=0， 解得t1=5，t2=-1. ∵ a2+b2≥0， ∴ a2+b2=5， ∴c2=5，∴c=， 即Rt△ACB斜边的长度为. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 19 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$