九上 2.3 用公式法求解一元二次方程-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第二章 一元二次方程 3 　用公式法求解一元二次方程 1 目 录 2 1. 以 x=为根的一元二次方程可能是 （ ） A. x2-4x-c=0 B. x2+4x-c=0 C. x2-4x+c=0 D. x2+4x+c=0 A 础 基 练 知识点1 用公式法解一元二次方程 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 3 2.【新趋势 过程性学习】小明在解方程 x2-4x=2时出现了错误，解答过程如下： 小明解答过程开始出错的步骤是 （ ） A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 C ∵a=1，b=-4，c=-2， （第一步） ∴b2-4ac=（-4）2-4×1×（-2）=24，（第二步） ∴x=， （第三步） ∴x1= -2+ ，x2= -2- . （第四步） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 4 3.（教材P42例题改编）用公式法解下列方程： （1）3x2-2x-2=0； （2）2x2+11=5x； （3）x（x-4）=2x-10； （4）3x2-2x+1=0. 解：∵a=3，b=-2，c=-2， ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=28>0， ∴x==， ∴x1= ，x2=. 解：将方程化为一般式，得2x2-5x+11=0. 这里a=2，b=-5，c=11. ∵Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×11=-63<0， ∴方程没有实数根. 解：将方程化为一般式，得x2-6x+10=0. 这里a=1，b=-6，c=10. ∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×10=-4<0， ∴方程没有实数根. 解：∵a=3，b=-2，c=1， ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×1=0， ∴x1=x2==. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 5 4.（福建龙岩上杭期末）一元二次方程x2-2x-5=0根的判别式的值是 （ ） A. 24 B. 16 C. -16 D. -24 知识点2 一元二次方程的根的判别式 A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 6 5.（教材P42议一议改编）关于t的一元二次方程-t2+4t=8的根的情况是 （ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 7 【变式】（山东烟台中考）已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 8 6.（易错题）若关于x的一元二次方程（m-1）x2+4x-1=0有实数根 ，则m的取值范围是_____________. 反思本题易错点是______________________________________________. 易忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件 m≥-3且m≠1 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 9 7.【原创题 生产生活】某社区服务中心为落实“为民办实事”举措，解决居民停车难的问题，准备在社区内一块长36 m、宽20 m的矩形空地上修建一个停车场（如图）. 阴影部分为停车区域，面积之和为336 m2，空白部分为等宽的行车通道，则行车通道的宽为 （ ） A. 1 m B. 3 m C. 16 m D. 3 m或16 m B 知识点3 用公式法解一元二次方程在实际生活中的应用 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 10 8.【新定义 新运算问题】对于实数a，b定义运算“⨂”为a⨂b=b2-ab，例如3⨂2=22-3×2=-2，则关于x的方程（k-3）⨂x=k-1的根的情况，下列说法正确的是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 A 升 提 练 【解析】∵(k-3)⨂x=k-1，∴x2-(k-3)x=k-1，∴x2-(k-3)x-k+1=0，∴Δ=［-(k-3)］2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0，∴关于x的方程(k-3)⨂x=k-1有两个不相等的实数根. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 11 9.（河南一模）关于x的一元二次方程ax2=4x-b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形 ABCD 面积的最大值为________. 2 【解析】ax2=4x-b整理得ax2-4x+b=0. ∵方程有两个实数根，∴Δ=16-4ab≥0，∴ab≤4. ∵a，b 分别表示菱形 ABCD 两条对角线的长度，∴菱形ABCD的面积= ab≤2，即菱形ABCD面积的最大值为2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 12 10.【新趋势 多模块综合】已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+3m=0. （1）求证：无论 m 取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的其中一边长为 4，另两边长是这个方程的两根，求m的值. 解：（1）证明：Δ=［-(m+3)］2-4×1×3m=m2-6m+9=(m-3）2. ∵（m-3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根. （2）当腰长为4时，把x=4代入x2-（m+3）x+3m=0，得16-4m-12 +3m=0，解得m=4； 当底边长为4时，则方程x2-（m+3）x+3m=0 有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴（m-3）2=0，∴m=3. 综上所述，m的值为4或3. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 13 11. 【新情境 传统文化】福建某中学开展了“二十四节气”系列闽南美食实践项目课程，并用展板进行成果展览. 为了装饰，学校用长为64 dm的装饰材料紧紧围在一块面积为240 dm2的矩形展板四周进行包边（恰好围满，且不重叠）. （1）求这块展板较短边的长； 解：（1）设这块展板较短边的长为x dm，则较长边的长为（32-x）dm. 依题意，得 x（32-x）=240. 整理，得 x2-32x+240=0. 解得x1=12，x2=20. ∵x<32-x，∴x<16，∴x=12. 所以，这块展板较短边的长为12 dm. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 14 （2）以同样的材料，同样的方式，能紧紧围在一块面积为260 dm2的矩形展板四周吗？如能，说明围法；如不能，说明理由. 解：（2）不能. 理由如下： 设这块展板较短边的长为y dm，则较长边的长为（32-y）dm. 依题意，得y（32-y）=260. 整理，得y2-32y+260=0. ∵Δ=（-32）2-4×260=-16<0， ∴该方程没有实数根， 即不能用长为64 dm的材料紧紧围在一块面积为260 dm2的矩形展板四周. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 15 12.【新趋势 方案设计题】在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案. 养 素 练 我的设计方案：如图1，矩形荒地四个角均为两直角边分别是 6 m，8 m的直角三角形. 我的设计方案：如图2，其中花园四周小路的宽度均为1 m. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 16 （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由； 解：（1）不符合. 理由如下： 设小路宽度均为x m. 根据题意，得（16-2x）（12-2x）= ×16×12. 解得x1=2，x2=12. x2=12不符合题意，舍去，∴x=2. ∴小芳的方案不符合条件. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 17 （2）你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明. 如图2，矩形荒地的四个角均为长6 m、宽4 m的小矩形，除去这四个小矩形得到的剩余部分的面积为矩形面积 的一半. 如图1，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半. 解：（2）答案不唯一. 例如： 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 变式 18 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $$