九上 2.3 第1课时 公式法-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦公式法解一元二次方程及根的判别式，课堂导入先通过配方法解具体方程回顾步骤，再以“配方法麻烦，有简单方法吗”设问，引导学生从具体方程到一般形式推导求根公式，搭建新旧知识过渡支架。 其亮点在于以数学思维和数学语言为核心，推导求根公式培养抽象能力，例题分有不等实根、相等实根、无实根三种情况规范步骤培养推理意识，随堂小测覆盖不同方程形式强化应用。小结用步骤化梳理知识，帮助学生形成结构化认知，提升解决问题能力，也为教师提供清晰教学路径，提高教学效率。

3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 公式法 学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 课时导入 回顾配方法 用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0. 解：方程两边都除以 2，得x2 - 2x - 3 = 0 移项，得 x2 - 2x = 3 配方，得 x2 - 2x + 1 = 3 + 1 (x - 1)2 = 4 两边开平方，得 x - 1= ±2 x1= 3，x2= -1 化：二次项系数化为 1 ； 移：将常数项移到等号右边； 配：配方，使等号左边成为完全平方式； 开：等号两边开平方； 解：求出方程的解. 用配方法可以解所有一元二次方程吗？ 每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？ 用配方法解方程的步骤 用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0） 方程两边都除以 a，得 配方，得 移项，得 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac ≥ 0 时， 是一个非负数，此时两边开平方，得 知识讲解 知识点1 用公式法解一元二次方程 1.求根公式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)，当b2－4ac≥ 0时，它的根是，这个式子称为一元二次方程的求根公式 . 2.公式法 (1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (2)用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定a，b，c的值； ③求出b2－4ac的值； ④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解，若b2－4ac＜0，则方程无实数解. 特别提醒： 1.公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2.只有当方程ax2+bx+c=0中的a≠0，b2－4ac≥0时，才能使用求根公式. 用公式法解下列方程. (1)2x2－7x+4=0； (2)3x2－2 x=－1； (3)x2－2x+3=0； 解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解. 例1 解：(1)a=2，b=－7，c=4， b2－4ac = (－7)2－4×2×4=17>0. 方程有两个不等的实数根x = ， 即x1=，x2= . 求b2-4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号. (2)方程可化为3x2－2 x+1=0. a=3，b=－2 ，c=1，b2－4ac=(－2 )2－4×3×1=0. 方程有两个相等的实数根x1=x2=－ = . (3)a=1，b=－2，c=3， b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0. 所以方程无实数根. 随 堂 小 测 用公式法解下列方程： （1）y2－2y－2=0. （2）3x2－2x=4. （3）x2+6=2(x+1). 解：原方程可化为x2－2x＋4＝0. a＝1，b＝－2，c＝4， b2－4ac＝－12<0， 方程无实数根． （4）5 x2－2 x+1=0. 知识点2 一元二次方程根的判别式 1. 定义 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2－4ac 来判定. 我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示，即Δ=b2－4ac. 特别提醒： 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 2. 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)， (1)Δ>0 方程有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 方程有两个相等的实数根. (3)Δ<0 方程没有实数根. 例2：不解方程，判断下列方程根的情况． (1) (2) (2)原方程化为: ∴方程有两个不相等的实数根 解：(1)原方程化为: ∴方程有两个相等的实数根 Δ Δ . . 随 堂 小 测 1.对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 无法判断 C 2. 一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 3.关于x 的一元二次方程(m－2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( ) A. m ≤ 3 B. m ＜ 3 C. m ＜ 3 且m ≠ 2 D. m ≤ 3 且m ≠ 2 D 小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 解：a＝1，b＝－2，c＝－2.b2－4ac＝12>0， 方程有两个不等的实数根y＝＝1±. 即y1＝1＋，y2＝1－. 解：原方程可化为3x2－2x－4＝0. a＝3，b＝－2，c＝－4.b2－4ac＝52>0. 方程有两个不等的实数根x＝＝. 即x1＝，x2＝. 解：a＝5，b＝－2，c＝1. b2－4ac＝0， 方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－＝. $$