九上 专题2 特殊平行四边形中的动态问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 专题2 　特殊平行四边形中的动态问题 1 目 录 题型1 动点问题 题型2 图形变化问题 2 典例1 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4 cm，AD=12 cm，点P从点A向点D以 每 秒 1 cm 的 速 度 运动，点Q以每秒4 cm的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点 P 到达点 D 停止（同时点 Q 停止），这段时间内，当运动时间为____________________时，P，Q，C，D四点组成矩形. 题型1 动点问题 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD⫽BC，∠D=90°. 当AP=BQ时，P，Q，C，D 四点为顶点组成矩形. 设运动时间为t s. 在点Q第一次到达点B的过程中，AP=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，解得t=2.4； 在点Q第一次由点B到点C的过程中，AP=t，BQ=4（t-3），∴t=4（t-3），解得t=4； 在点Q再由点C到点B的过程中，AP=t，BQ=12-4（t-6），∴t=12-4（t-6），解得t=7.2； 在点Q再由点B到点C的过程中，AP=t，BQ=4（t-9），∴t=4（t-9），解得t=12，此时点P与点D重合，舍去. 综上所述，当运动时间为2.4 s或4 s或7.2 s时，P，Q，C，D四点组成矩形. 2.4 s 或 4 s 或 7.2 s 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 3 1.（河南驻马店新蔡期末）如图，平行四边形ABCD中，AD=9 cm，CD=3cm，∠B=45°，点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB 边运动，设点 M，N 运动的时间为 t s（0≤t≤9）. （1）求BC边上高AE的长度； ⋮⋮ 变式训练 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3 cm. 在 Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°， ∴AE=BE，∴AE2+BE2=AB2，即2AE2=AB2， ∴AE=3 cm. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 4 （2）连接 AN，CM，当 t 为何值时，四边形AMCN为菱形？ 解：（2）由题意可得AM=CN=t cm. ∵AM⫽CN，∴四边形 AMCN 为平行四边形， ∴当 AN=CN时，四边形AMCN为菱形. ∵BE=AE=3 cm，∴EN=（6-t）cm. 在Rt△AEN中，AN2=32+（6-t）2， ∴32+（6-t）2=t2，解得t=. 所以当t为时，四边形AMCN为菱形. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 5 典例2 如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形 OEFG 绕着正方形 ABCD的对角线的交点 O 旋转，正方形OEFG 与边 AB，BC 分别交于点M，N（不与端点重合），△BMN的周长为n，则n的最小值为________. 题型2 图形变化问题 【解析】∵四边形OEFG和四边形ABCD都是边长为6的正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∠EOG=∠DAB=∠ABC=90°，∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，∠AOB= 90°，∴∠AOM+∠MOB=∠BON+∠MOB=90°, ∴∠AOM=∠BON. ∴△AOM≌△BON（ASA），∴AM=BN，OM=ON，∴MN= =OM，n=BM+BN+MN=BM+AM+MN=AB+MN=6+ OM，∴当OM最小时n最小. 当OM⊥AB时OM最小. ∵OA=OB，OM⊥AB，∴AM=BM，∵∠AOB =90°，∴OM= AB ×6=3，∴n的最小值为6+3. 6+3 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 6 2. 【新趋势 探究性问题】如图 1，边长为 6 的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF=BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF. （1）AH与DF之间的数量关系是____________，位置关系是____________； AH=DF 解：（1）如图，延长HA交FD于点T. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠EAD=∠EBA=45°， ∴∠ABH=180°-∠EBA=135°，∠DAF=180°-∠EAD=135°， ∴∠ABH=∠DAF. 又∵BH=AF，∴△ABH≌△DAF（SAS）， ∴AH=DF，∠AHB=∠DFA. 又∵∠HAE=∠FAT，∴180°-∠FAT-∠AFD=180°-∠HAE-∠AHB， 即∠FTA=∠AEH=90°，∴AH⊥DF. 故答案为：AH=DF，AH⊥DF. ⋮⋮ 变式训练 AH⊥DF T 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 7 （2）如图2正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD 绕点E顺时针方向旋转 α°（0<α<90），判断AH与DF的关系，并证明. 解：（2）AH⊥DF且AH=DF. 证明如下： ∵四边形ABCD与四边形EFGH为正方形， ∴EF=EH，ED=EA，∠AED=∠FEH=90°，∴∠FEA+∠AED=∠FEA+∠FEH，即∠FED=∠HEA. ∴△FED≌△HEA（SAS），∴DF=AH，∠FDE=∠HAE. ∵∠EAD+∠ADE=90°，即∠EAD+∠ADF+∠FDE=90°， ∴∠EAD+∠ADF+∠HAE=90°，即∠HAD+∠ADF=90°. ∴DF⊥AH. 综上，AH与DF的关系为AH⊥DF且AH=DF. T 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 8 绿卡图书—走向成功的通行证 9 $$