九上 专题1 特殊平行四边形中的折叠问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 专题1 　特殊平行四边形中的折叠问题 1 目 录 题型1 菱形的折叠问题 题型2 矩形的折叠问题 题型3 正方形的折叠问题 2 典例1 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，点 E，F 分别在边 AB，BC上，将菱形沿EF折叠，点B恰好落在 AD 边上的点 G处，且EG⊥AC，若CD=8，则FG的长为 （ ） A. 6 B. 4 C. 8 D. 6 题型1 菱形的折叠问题 B O H 【解析】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于点H.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=DA，∠CAD=∠B=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形.∵EG⊥AC，∴∠GOH=90°.∵∠EGF=∠B=60°，∴∠OHG=30°，∴∠AGH=90°，∴FG⊥AD，∴FG是菱形的高，即等边三角形ACD的高，∴FG= =4. 故选B. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 3 1. （辽宁大连中考）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，点 E 在边 BC上，将△ABE 沿直线 AE翻折180°，得到△AB' E，点B的对应点是点B'. 若AB'⊥BD，BE=2，则BB'的长是________. ⋮⋮ 变式训练 【解析】在菱形ABCD中，AB=AD，AD⫽BC. ∵∠BAD=60°，∴∠ABC=120°.∵AB′⊥BD，∴∠BAB′= ∠BAD=30°.∵将△ABE沿直线AE翻折180°得到△AB′E，∴BE=B′E，∠AB'E= ∠ABC=120° . ∴ ∠BEB′ =360° - ∠BAB′- ∠ABC -∠AB'E=90°，∴在 Rt△BEB′中，由勾股定理，得 BB′ ==2. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 4 典例2 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E是AB上一点，沿DE折叠矩形，BC边恰好经过点A，则BE的长是 （ ） A. B. 1.5 C. D. 2 题型2 矩形的折叠问题 B 【解析】∵在矩形ABCD中，沿DE折叠矩形，BC边恰好经过点 A，∴∠C′ =∠C=90°，C′D=CD=AB=4，AD=BC=B'C'=5，∠B′=∠B=90°，在Rt△AC′D中，AC′= =3.设 BE=B'E=x，则 AE=AB-BE=4-x，AB′ =B′C′-AC′ =5-3=2.在 Rt△AB′E 中，AE2=AB′ 2+B′E2，即（4-x）2=22+x2，解得 x=1.5. 故选B. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 5 2. （山东泰安中考）如图，将矩形纸片 ABCD折叠（AD>AB），使AB落在 AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点E不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=2，则AD的长为________. ⋮⋮ 变式训练 4+2 【解析】根据折叠可知，EB′ =EB，∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°.在Rt△EBF与Rt△EB′D中，∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）. ∴BF=DB′=EC=2.由折叠可知，FG=BF=2，∠FAG=45°，∠AGF=∠FGE=∠FBE=90°，∴AG=FG，在Rt△AFG中，AF==2 .∴AB=AB′=2+2. ∴AD=AB′+DB′=4+2. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 6 典例3 如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN. （1）求△AEN的面积； （2）试判断EF与AN的数量关系，并说明理由. 题型3 正方形的折叠问题 【规范解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°.由折叠的性质得NE=AE.设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x.在 Rt△EBN 中，由勾股定理得 52+（12-x）2=x2，解得x=，∴AE=，∴S△AEN=AE·BN=××5=. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 7 H （2）EF=AN. 理由如下： 如图，作FH⊥AB于H，则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°. 由折叠的性质得EF⊥AN， ∴∠NAB+∠FEH=90°， ∴∠EFH=∠NAB. 在△EFH和△NAB中， ∴△EFH≌△NAB（ASA）， ∴EF=AN. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 8 3. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将正方形边AB沿 AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，则∠EAG=________度. 45 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=90°. 由翻折可知AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，∠BAE=∠EAF. ∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∠GAF=∠GAD ， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=（∠BAF+∠DAF）=∠BAD=45°. ⋮⋮ 变式训练 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 9 绿卡图书—走向成功的通行证 10 $$