九上 1.3 第1课时 正方形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦正方形的性质及对称性，通过回顾平行四边形、矩形、菱形的性质导入，搭建从一般到特殊的知识支架，帮助学生构建特殊平行四边形的性质体系。 其亮点在于融入“赵爽弦图”等数学文化，设计开放性、动点探究等新题型，结合几何直观发展数学眼光，通过推理证明和对称转化提升数学思维，借助综合实践题培养模型意识。如动点问题用对称求PD+PE最小值，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

第一章 特殊平行四边形 3 　正方形的性质与判定 第1课时 　正方形的性质 1 目 录 2 1. （福建三明宁化阶段练习）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 础 基 练 知识点1 正方形的性质及对称性 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 3 2.【新趋势 开放性问题】如图，▱ABCD 的对角线互相垂直，要使▱ABCD成为正方形，还需添加的条件是________________.（只需添加一个即可） ∠ABC=90° （答案不唯一） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 4 3.【新情境 数学文化】（贵州贵阳中考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形. 若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 B 知识点2 正方形的性质 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 5 4. 如图，在正方形 ABCD 中，CE⊥MN，∠MCE=40°，则∠ANM= （ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 6 5.（湖北黄石中考）如图，正方形 OABC 的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为 （ ） A.（- ，0） B.（，0） C.（0， ） D.（0，2） D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 7 6.（教材P22第2题改编）如图，四边形ABCD是正方形，△CBE 是等边三角形，则∠AED=________. 150° 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 8 7.（江西抚州南城模拟）如图，在正方形 ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且 CE=DF，连接 AE 和 BF 相交于点M. 求证：AE=BF. 证明：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=DA，∠ABE=∠BCF=90°. ∵CE=DF，∴BC+CE=CD+DF，即BE=CF. 在△AEB与△BFC中， ∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE=BF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 9 8. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，若△ABE的面积为8，CE=3，求线段BE的长. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC，AB⊥AD. ∵△ABE的面积为8， ∴=8，∴AB=AD=4. ∵CE=3，∠C=90°，BC=AD=4， ∴BE==5. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 10 9. 如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E，则 BE 的长为 （ ） A. 2- B. 2-1 C. 2 D. +1 C 升 提 练 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE= ∠ACD=22.5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°.∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°-67.5°-45°=67.5°=∠BCE，∴BE=BC=2. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 11 10.（江苏泰州中考）如图，P为AB上任意一点，分别以 AP，PB 为边在 AB 同侧作正方形APCD，正方形 PBEF，设∠CBE=α，则∠AFP为 （ ） A. 2α B. 90°-α C. 45°+α D. 90°- α B 【解析】∵四边形PBEF为正方形，∴∠PBE=90°.∵∠CBE=α，∴∠CBP=90°-α. ∵四边形 APCD，PBEF 是正方形，∴AP=CP，∠APF=∠CPB=90°，PF=PB，∴△APF≌△CPB（SAS），∴∠AFP=∠CBP=90°-α. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 12 11.【新趋势 动点探究题】如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________. 6 【解析】设BE与AC交于点P，连接BD. ∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE， 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度. ∵正方形ABCD的边长为6，∴AB=6. ∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6. 故所求最小值为6. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 13 12.（湖北恩施州中考）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F. 求证：DF=BE+EF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°. ∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC=∠CFD=90°， ∴∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠DCF=90°，∴∠CBE=∠DCF. ∴△CBE≌△DCF（AAS）， ∴BE=CF，CE=DF， ∵CE=CF+EF，∴DF=BE+EF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 14 13.（贵州遵义中考）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上. （1）求证：△ADE≌△CDG； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， 四边形EFGH是菱形， ∴AD=CD，ED=GD，∠A=∠C=90°， ∴Rt△ADE≌Rt△CDG（HL）. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若AE=BE=2，求BF的长. 解：（2）如图，过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB=90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD=AB=AE+BE=4， ∴DB= =4. ∵∠EBQ=∠CBD=45°， ∴∠QEB=∠EBQ=45°，∴EQ=BQ. ∵BE=2，2EQ2=BE2，∴EQ=BQ=（负数舍去）. ∴DQ=DB-BQ=3. ∵四边形EFGH是菱形，∴EH=EF. 又∵EQ⊥DF，∴DQ=QF=3， ∴BF=QF-BQ=3-=2. Q 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 16 14.【新趋势 综合与实践】如图 1，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，点 O 又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，OA1交BC于点E，OC1交CD于点F. 【知识初探】（1）求证：OE=OF； 养 素 练 解：（1）证明：在正方形 ABCD 和正方形A1B1C1O 中， ∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， OB=OC，∠EOF=90°， ∴∠BOC-∠EOC=∠EOF-∠EOC，即∠BOE=∠COF. ∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 17 【探究计算】（2）如图 1，若 AB=2，求四边形OECF的面积； 解：（2）在正方形ABCD中，∠ABC=90°，BC=AB=2. 在Rt△ABC中，AC= ==2， ∴OC=OB= . 由（1）可知△BOE≌△COF， ∴ S△BOE=S△COF， ∴ S 四边形OECF=S△COF + S△OCE=S△BOE + S△OCE=S△BOC =OB·OC=× ×=1. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 18 【拓展探究】（3）如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD =90°，连接 AC ，若 AC =4，则四边形 ABCD 的面积是________.（ 直接写出答案，不写过程） 8 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$