九上 1.2 第1课时 矩形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 2 　矩形的性质与判定 第1课时 　矩形的性质 1 目 录 2 1. （易错题）已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列条件能判定▱ABCD为矩形的是 （ ） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AB=BC D. AC⊥BD A 础 基 练 知识点1 矩形的定义 反思本题易错点是______________________________________________. 由于审题不清楚，看到垂直就误认为选项D正确 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 3 【变式】四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，从以下条件中选两个，能推出四边形ABCD是矩形的是 （ ） ①OA=OC，OB=OD；②AB⫽CD，AD=BC；③AB=BC；④AB⊥BC. A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③ C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 4 2.（北京人大附中阶段练习）如图，矩形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点 O，如果∠ADB=35°，那么∠AOB的度数为 （ ） A. 35° B. 45° C. 70° D. 110° C 知识点2 矩形的性质 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 5 3.【新情境 生产生活】（湖北十堰中考）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点 B，C 处，且 AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形. 若测得∠FBD=55°，则∠A=________°. 110 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 6 4.（吉林中考）如图，在矩形 ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=AC，连接EF. 若AC=10，则EF=________. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 7 5.（广东广州南沙期中）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD于F. （1）求证：AE=CF； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC， 又∵∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°，∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE=CF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 8 （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积. 解：（2）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB. ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12. 在Rt△ABC中，BC==6 ， ∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6 =36 . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 9 6.【原创题 粮食安全】为科学节粮减损，保障粮食安全，A，B，C三个村庄打算共同修建一座专业粮仓来减少粮食储存过程中的损耗. 三个村庄的位置如图所示，∠ACB=90°，为确保粮仓到三个村庄的距离相等，粮仓应建在（ ） A. AB的中点 B. BC的中点 C. AC的中点 D. ∠C与∠A的平分线交点 A 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 10 7. 如图，△ABC中，AB=AC，点D 在 BC 的延长线上，连接AD，点 E，F 分别是 BC，AD的中点，若EF=3，则AD的长为 （ ） A. 3 B. 3 C. 6 D. 3 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 11 8.（湖南湘西州中考）如图，菱形 ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接 OH，OH=4，若菱形 ABCD 的面积为32，则CD的长为 （ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 C 升 提 练 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=BD，OC=OA=AC，AC⊥BD. ∵DH⊥AB，∴OH=BD，∴OD=4，BD=8.由AC·BD=32，得×8·AC=32，∴AC=8，∴OC= AC=4，∴CD==8. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 12 9.（教材P19第5题改编）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 （ ） A. B. C. D. C 【解析】∵AB=6，BC=8，∴矩形ABCD的面积为48，AC==10， ∴DO=AO=AC=5. ∵O为AC中点，∴S△AOD= S△ACD= S矩形ABCD=12. ∵OE⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD=S△AOE+S△DOE， 即12=AO·OE+DO·EF，∴12=×5·OE+×5·EF，∴OE+EF= . 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 13 10.【新趋势 动点探究题】如图，△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC 上滑动，且 DE=4，若点 M，N 分别是 DE，AB 的中点，则MN的最小值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 B 【解析】∵如图，连接CM，CN.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6. ∵DE=4，点M，N分别是DE，AB的中点，∴CN=AB=5，CM=DE=2.当C，M，N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为5-2=3. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 14 11. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=18，把矩形折叠，使点 D 与点 B 重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为________. O 【解析】如图，连接BD，交FG于点O.则由轴对称的性质可知， FG垂直平分BD，∠BFO=∠DFO，BF=DF. Rt△ABD中，BD= =6，∴DO= BD=3. 由AD⫽CB可得，∠DFO=∠BGO，∴∠BFO=∠BGO， ∴BF=BG，即△BFG 是等腰三角形 . ∵FG⊥BD，∴FO=GO，∴FG=2FO. 设 BF=DF=x，则 AF=18-x， 在Rt△ABF 中，（18-x）2+62=x2，解得x=10，即DF=10. 在Rt△DOF中，OF= =，∴FG=2FO=2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 15 12. 如图，BN，CM 分别是△ABC 的两条高，点D，点E分别是BC，MN的中点. （1）求证：DE⊥MN； 解：（1）证明：如图，连接DM，DN. ∵BN，CM分别是△ABC的两条高， ∴BN⊥AC，CM⊥AB， ∴∠BMC=∠CNB=90°. ∵D是BC的中点，∴DM= BC，DN= BC，∴DM=DN. ∵E为MN的中点，∴DE⊥MN. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 16 （2）若BC=10，MN=6，求DE. 解：（2）∵BC=10，∴DM=5. ∵点E是MN的中点，MN=6， ∴ME=3. 在Rt△MDE中，DE==4. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 17 13.【新情境 数学文化】数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证. （1）请根据图1完成这个推论的证明过程. 证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC）， S矩形EBMF=S△ABC-（S△AEF+________）. 易知 ，S△ADC=S△ABC，________ = ________， ________=________. 可得S矩形NFGD=S矩形EBMF. S△FMC 养 素 练 S△ANF S△AEF S△FGC S△FMC 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 18 （2）如图 2，P 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点，过点 P 作EF⫽BC分别交AB，CD于点E，F，连接 PA，PC. 若 PE=5，DF=4，求图中阴影部分的面积. 解：（2）如图，作 PM⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. 则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN， 四边形BEPN都是矩形，∴PM=DF=4. 同（1）得S矩形AEPM=S矩形CFPN. ∵S△AEP=S△AMP= S矩形AEPM，S△CFP=S△CNP= S矩形CFPN， ∴S△AEP=S△CFP= PE·PM= ×5×4=10， ∴图中阴影部分的面积=10+10=20. M N 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 19 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$