安徽省皖西南示范中学2025-2026学年高三上学期起点考试数学试题

高三起点考试数学试题 参考答案 1.Bx=3i+2+3=3i一2一i=-2+2i,复数g在复平面内对应的点为（一2,2），位于第二 象限 2.DCA={4,5,6},则(CA)UB={2,3,4,5,6}. 3.C“x>1”的一个充分不必要条件是“x>2” 4.A由 sin a+cos a= 1 八结合na>0,解得sn0=寻， sin'a+cos a=1, 则cos2a=1-2sim'。=128-2石 5.B由题可知a3a5=9,则a1a?=9,a4=3,故a1a?一a4=6. 6.C(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=1+4+0=5.即|a+2b|=√5，所以a·c+2b·c=(a+ 2b)·c≤5，即a·c+2b·c的最大值为5 7.C当x=1或2时，该组数据的中位数为2，极差为4，满足题意： 当1一3或1时，该组数据的中位数为生号，极差为4，不清足题意： 当正整数x≥5时，该组数据的中位数为3，极差为x一1，则x一1=6，即x=7满足题意.故 选C. a26-1, 8.A设点A(xy),则可取C(一5yW5x),则 整理得兰-3a2+6b 3y23x 女a2+36a1 a2 2=1 解得6>a,即c一a>a,可得>2.则e-后-√层>厄，所以M的离心率的取值范围 是(W2,十∞). 9D1o)=m晋-5>f(得》-m音 n=-故A错误： f(x)的最小正周期为牙，故B正确： 令2x十音一受∈Z,解得x-经-受k∈Z.所以x)=a(2x+吾)图象的对称中心的 坐标为（经-至0）k∈Z,故C钻误，D正确. 10.ACD 该堑堵的体积为2×6×6×6=108，A正确：因为直线DE与直线BB,相交，所以 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 DE与平面CBB,C1不平行，B错误：该堑堵外接球的半径R=A 6+6+6-35,所以外接球的表面积为108m,C正确：延长DE并 2 与B,B的延长线交于点F,连接C1F,交BC于点G,连接EG,由AA1∥ BB1,可知BF=DA=3,由CC1∥BB1,可知CG=2BG=4,平面DEC 与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点，D正确. 1.BD函数fx)的定义域为[2十∞小.当a=1,b=-3时，/(x)=√2可+e-3在 [2+∞)上单调递增，又f)=e+1-3<0,f(2)=5+e-3>0,所以f(x)的零点t 所在的区间为(1,2)，A错误. 脂光h一时，r2z司号则了是2 三，易知 2V2=在可2+)上单测造增，且f0=0.所以=K1)=6 -是-号--1，故r>1.B正确。 由题可得a√21-I十c+b=0,即/21-Ia+b十c2=0,即点(a,b)在直线21-Ia十b十 e=0上 α2+b2可理解为点(a,b)到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离一定小于或等于点 e (a,b)到原点的距离，即√a十b≥ /(/21-1)2+1√2 在∈[分+)上能成立。 即a+6>号在1∈[分+o)上能成立 令g)-号则g0)-·2延-少.令g0=0,因为e>0,所以解得4= 22 当∈[2,1)时，g'()<0,g)在[2,1)上单调递减：当1∈[1，十∞)时，g'()>0,g) 在[1，+∞)上单调递增，所以当1=1时，g)=g(1)=受，即a2+的最小值为，C 正确， 当公2+松取得最小值气时1=1，所以a+=一，所以6=片所以法产-号+名2 解得2=1，D正确。 12.0S,-S,=a5十a6+a7=3ag=0,即a6=0,Sm=11ag=0. 13.(一3，十o∞)f(x)的定义域为R,因为f(一x)=一f(x),所以f(x)是奇函数.f(x)= 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 二+x三，2，+2+1则了x)在R上单调递增，由f(一x)+/(2x+3)>0,可得 2+1 f(2x+3)>-f(-x),即f(2x+3)>f(x).因为f(x)在R上单调递增，所以2x+3>x, 解得x>一3，故不等式f(一x)十f(2x+3)>0的解集为（一3，+o∞）. 14.2 1 X的可能取值为1,2,3，则P(X=3)= C2C10 A3 P(X=1)= CC -号pX=2=1-b-号-品 A号 枚EX)=1×号+2 3X是3 3 10 1021 15.解：1)女生人数为10×号=75，男生人数为25。 …1分 设喜欢篮球的男生人数为x,则喜欢篮球的女生人数为2x,…3分 由题意得75-2x=7(25-x),解得x=20. …4分 故列联表如下： 是否喜欢篮球 性别 合计 喜欢 不喜欢 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计 60 40 100 …6分 (2)零假设H。:该区初中学生喜欢篮球与性别无关联。 x2=100X(20X35-5×40)250 60×40×25×75 5.556>3.841，…10分 根据小概率值α=0.O5的独立性检验，推断H。不成立， 即认为该区初中学生喜欢篮球与性别有关联. …13分 16.解：(1)由sin2A+simB+cos2C+sin Asin B=1,可得sin'A+sinB+sin Asin B=sinC, …1分 由正弦定理得a2十b2十ab=c2,……2分 由余弦定理可知a2十b2一c2=2abc0sC,…3分 所以cosC=a2+b-c2=-ab …5分 2ab 2ab 2 因为C∈0，，所以C- ，…6分 (2)因为asin C+csin B=3sinC,所以ac+bc=3c,即a+b=3.…8分 由(1)可知c2=a2+b2+ab,所以c2+ab=(a+b)2,所以(7)2+ab=32,即ab=2,… 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 所以△ABC的面积S=absin C-马 2 …15分 17.(1)证明：取AD的中点M,连接CM,AC.可得四边形ABCM是边长为1的正方形， 则AC=2,CD=√2，又AC2+CD=AD2,所以CD⊥AC.… …2分 因为EA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以CD⊥EA,… …3分 又EA∩AC=A,EAC平面EAC,ACC平面EAC, 所以CD⊥平面EAC.…4分 又ECC平面EAC,所以CD⊥EC,即△ECD是直角三角形. 6分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,0,1), 所以CD=(-1,1,0),ED=(0,2,-1).…7分 设平面CDE的法向量为n=(xy,x), CD·n=-x+y=0 则 ED.n=2y--0, 令y=1,解得x=1,=2. 故平面CDE的一个法向量为n=(1,1,2). 10分 易知m=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量.…12分 设平面ABE与平面CDE的夹角为O, n。t 则cos0=|cos(m,n)川= mn 1×66 ,即平面ABE与平面CDE夹角的余弦值 为得 …15分 18.解：(1)由题可知c=√a2-b2=2,… …1分 若MF,|=lNFz,且MF,NF2,则此时MF1⊥x轴， 0....0.0................. 2分 所以g-亿，3分 解得a=2反.6=2，所以椭圆C的方程为十 ……4分 (2)设M(x1,y1),y1>0,V(x2,y2),y2>0. 由题可知MF=3NF2,则 -2-x1=3(2-x2), …5分 -y1=-3y2, =x1十8 2 解得 6分 3 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 i+y=1, 84 因为M,N在C上，所以 …7分 + 2=1, 解得x1=0,y1=2,即M的坐标为(0,2). …9分 (3)设O为坐标原点，M(x1,y1),N(x2,y2),则N关于原点O的对称点为N'(xg,y3),即 x3=一x2: y3=-y2. 由FM=(x1+2,y1),F2N=(x2-2,y),MF1∥NF2,得(x1+2)y2=(x2-2)y1 则-(x1+2)y3-(-x3-2)y1,即(x1+2)ya-(x3+2)y1, 则FMFN,则M,F1,N‘三点共线。 又△NOF≌△N'OF1,所以|NF,|=|N'F,.… 10分 设直线MN'的方程为x=my一2. x=my一2， 由x2+y=1得(m+2)y一4my-4=0, 4 △=32(m2+1),y1十y3= 242y1y3=- m2+2' …11分 则|MN'1=√1+m1y1一y|=√1+m 4m)2+16_42(m2+1D m2+2 m2+2 m2+2 …13分 MF1+INF:I=IMF,1+IN'F,I=IMNm+D m2+2 …14分 又点F2到直线MN'的距离d= √m2+1 所以梯形MNF,F,的面积S=MF,I+1NF,Dd=-8yE …15分 m2+2 令1=m2+1≥1.则12+1=m2+2, 则S-8EL-82 12+1 ≤42，当1=1，即m=0时，等号成立， t+ 故S的取值范围为(0,4√2]. …17分 19.解：1由题可知x)=号 3, …1分 又f'(x)=-sinx十x,所以f'(π)=-sinx十π=π， …2分 调描线一)在点（红处的切线方程为，y一（停一8）=一.即一y一号-3 =0. …4分 (2)由f(x)>(2-a)x2-1,可得1-cosx-ar<0, 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 令h(x)=1-cosx-ax,0<x<受，则h(x)<0在(o,)上恒成立，且h0)=0. 求导得h'(x)=sinx一2ax,则h'(0)=0. …5分 令gx)=sinr-2ar,0<r<受.则g(0)=0,g'(x)=cosx-2a,由g'(0)=1-2a≤0，解 …7分 当a≥2时，2ax>x,所以-2a.x≤-，所以h'(x)=sinx-2a.x≤sinx一x<0, 所以h(x)在(0,7)上单调递减，h(x)<h(0)=0,则1一cosx-ax2<0在(0，)内恒 成立 综上，a的取值范围是[号，十∞)， 9分 (3)f'(x)=一simx十x,易知当x∈[-π，0]时，f'(x)<0,当x∈[0，π]时，f'(x)>0,所以 f(x)在[一π，0]上单调递减，在[0，π]上单凋递增，f(0)=一1.…11分 又f(-x)=f0-号-3，所以fx)[-1,号-3] ，…12分 当1a1=|f(x)|≥1时，由二次函数可以计算出a2≥1，a3≥1，，a22s≥1，这与题干矛 盾…13分 当|a1|=|f(xa)<1时，可以记a1=cos0,则a2=2cos20-1=cos20,a3=2cos220-1= C0s40,…,以此类推，可得a。=C0s(2-0).…14分 不妨设a1=cosa=m∈(0,1)，倒推可得ag=cos号 …a1=c028, 只要存在0，使得cos0=fx),且0=号，同时f(xo)∈(-1.1)（因为f(x)e(-1,1)二 [-1-3]). …15分 又因为f(x)的值域包含（一1,1）的部分区间， 所以存在x∈[-π，π]，使得a1=f(xo)=cos0, 进而通过递推关系使得a1一m. 综上，存在xo∈[一π，元]，使得a∈(0,1). …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】高三起点考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填可在答题卡上， 2回答这择愿时，意也每小题客案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号徐 哪，如需改动，用橡皮擦干净后，再是除其他答案标号。回答津选择恩时，将答案写在 答慧卡上.写在本试程上无效。 3,考试结束后，将本试程和题卡一并交曰。 4,本试要主要考试内容：高考全部内容， 一、港择题：本题共8小题，每小想5分，共0分.在每小题给出的四个选顷中，只有一项是符合 整目要求的 1在复平面内，复数：一3i十2行+对应的点位于 A第一象限 我第二像限 C第三象限 D第四象限 2若集合U=(1,2,3,4,5,61,A=(1,2,3别，B={2,3,4,5),则(CuA)UB= A(4,5) B2,3,4,5] C{3,4,5,61 D{2,3,4,5,6 3,x>1“的个充分不必要条件是 A.> Bz>0 C:>2 D>1 到 万a∈(0，，则cs2 A名 息名 c- 反在正项等比敬列(a,)中a1,a,是方程x一15z+9-0的两个根，则a14,一4，一 A3 C.9 D.12 6,已知b:e均为单位向量，且a⊥b,则e·e十2站·e的最大值为 九百 且2 C. D3 了.已知数据1,2,5，士2,4，空这组据的报差是中位致的2倍，则情是条件的正整数x的个数为 Al B2 C.3 D.4 已知A,B,C双由授M号一立=1(a>0.>0)上的三点，且A,B关于原点对称，若 △ABC是等边三角形，则M的离心率的取值范唇为 A(2,十a》 B.(3,+oo) C12) D1,5) 二、进择题：本想共3小题，每小题6分，共18分，在每小圆给出的湛项中，有多项符合置日要 术全部选对的得6分，阁分遭对的得解分分，有造情的得0分 9,已知函数f化x)=tan(2a+音)，则 A.f(x)在定义域内是增函数 【有三数学第1页（线4页】 盘了x)的最小正周期为经 C直线x一是y一/x川图象的一条对路结 D.(爱d是：)图象的一个对称中心 10.《九章算术是我国的一部数学经奥著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两蚯堵， 暂堵是底面为直角三角形的直三校柱如图，在短堵ACA:B,C,中，CB一CA=AA,=6: D,E分别为AA1,AB的中点，则 A支暂蝽的体积为10够 BDE平面CBB,CG C该划培外接球的表面积为108： D平面DEC:与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 11.已知1是函数fr》-a2z一可++b的学点，则 A当a=1,b=一3时t∈(2,3) a当a-受6—时，e>- C4+女的最小值为 D当a+书取得最小值时，名-可 三，填空恩：本题共3小题，每小题5分，共15分 12已知S,是等发数列(a.)的前n项和，S,=S,则S。一▲ 1a已知活数f)-”+拉则不等式-+十切>0的第集为人一 14,将分别标有号码】一6的8个小球平均分为两姐，记这两组小球中最小的号码分别为m, X一|m一，则数学期望E(X)一▲ 日，解答影：本题共5小聪，共7分.解答应写出文字说明、证明过程城演算步 15.13分》 某区体有老师为了了解初中学生喜欢管球是青和性别有关，随机调查了该区100名初中学 生，其中女生占了是经调查，在喜玫蓝球的学生中，女生的人数是男生的2倍，在不喜衣放 球的学生中，女生的人数是男生的7倍 (1)根据恩中信息，完成下面列联表 是否喜欢篮球 性捌 合计 喜欢 不喜欢 男生 女生 合计 100 [高三数学第2夏（共4气）川 (2》根据小概率值。=Q05的独立性检验，能否认为喜欢整球与族区初中学生的性别有 关联？ n(ad-bcyi (a(eF)(a(cd. a03 a01 4605 000 元635 1.879 1a823 16(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分紫为a,b,c,已知A十B十oC+mA血B-L (1)求C: (2若c-一/7，asin C十cinB-3sinC,求△MBC的图积 17.(15分) 如图，在四棱帷E-ABCD中，EA⊥平面ABCD,ADBC,∠ABC=时，AD=2,AB= BC-1. (1D证明：△ECD是直角三角形 (2)若EA-1,求平面ABE与平面CDE夹角的余弦值， [高三数学第9页（共4直）】 1珠17分) 已知《-2，，0分别精题C后+话-1>6>0的左右能点一轴上方的两 点M,N在C上，且MFNF.当MF,-NF,时，lMF,I-√2， )求精测C的方是： (2)若MF,=3引NF:,求M的坐标： (3)求四边形MNF:F,的面积S的取值范围 19,17分) 已知商数f化x)=ox+2-2 (1D求曲线y一f(x)在点(x,f()处的切线方程， (因若对任意x€(o.受》)>（分-）以-1恒度立，求a的取值范牌 (3)设无湖数列a.}t一f红>a一2a!一1，请探究是否存在x:∈一，使得a一∈ (0,10. 1有三敛学第4页（典4丙】