精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学考数学试题

长春外国语（南关、净月）学校2025-2026学年第一学期 初三年级期初考试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 当时，一次函数的函数值为（　　） A. B. 1 C. 5 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求函数值，把代入求出函数值即可解题． 【详解】解：当时，， 故选：A． 2. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据题意，得到，即，结合选项，可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 观察四个选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 3. 如图，直线过点和点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据方程的解，即为函数图象与x轴交点的横坐标即可求解． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与x轴交点的横坐标， ∵直线过点， ∴方程的解是， 故选：B． 4. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】设乙同学的速度是x米/分， 根据题意得， ． 故选：C． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开手机就有未接电话 B. 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键． 根据必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意； B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意； C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不符合题意； D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意． 故选D． 6. 若a+b=2，ab=2，则a2+b2的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用a2+b2=（a+b）2﹣2ab代入数值求解． 解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8﹣4=4， 故选B． 点评：本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方公式，灵活运用它的变化式． 7. 如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，已知是反比例函数上一点，轴与点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（ ）． A. B. 1 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， ，或（舍去）， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. A、B、C三人分别进行了10轮投标枪比赛，平均成绩均为8环，方差分别是：，则投标枪成绩最稳定的是___． 【答案】C 【解析】 【分析】比较方差大小后作出决策即可． 本题考查了方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， 故C最稳定， 故答案为：C． 10. 已知，化简_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 11. 在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】如图所示， 由图象可得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，勾股定理，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 12. 如图，平行四边形绕点A逆时针旋转30度，得到平行四边形，点B与点是对应点，点C与点是对应点，点恰好落在边上，则∠C的度数是________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行四边形的性质． 根据旋转的性质得出，，进而得出的度数，再利用平行四边形的性质得出的度数即可． 【详解】解：∵平行四边形绕点A逆时针旋转30度，得到平行四边形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为： 13. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，设，先求出，则，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：2． 14. 如图①，在四边形中，，，直线．当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图②所示，则下列说法：①；②；③；④四边形的周长是，正确的是________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据，直线，含角的直角三角形的性质，可得的值，结合图形运动，分类讨论，当点在上时，如图所示，作于点，作交于点，作交于点，可得的值，根据平行线的判定和性质，等腰三角形、等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：，直线，直线向右平移的距离为，线段的长为， 当点在上时， 在中，，， ∴，， 由图②可知，当时，，此时点与点重合， ∴； 当点在上时，如图所示，作于点，作交于点，作交于点，且，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴，， 根据图②可知，，运动到与重合时，， ∴，故③错误； 当在上运动时，如图②所示， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴从点的时间是，且，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故①正确； 根据上述证明可得，， ∴四边形的周长为，故④正确； 综上所述，正确的有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握图形运动规律，一次函数图象的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等综合知识的运用是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． （1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， 或， 所以，． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，利用乘法分配律进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 17. 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 18. 学期伊始，初三年级同学计划参与植树活动，原计划植树960棵，由于初二年级同学的加入，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，求原计划多长时间完成植树任务． 【答案】原计划8天完成植树任务 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划天完成植树任务，根据实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划天完成植树任务，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：原计划8天完成植树任务． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点，分别按下列要求画出图形． （1）在图1中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5； （2）在图2中，画一个钝角三角形，使它的面积为3； （3）在图3中，画一个平行四边形，使它的面积为6． 【答案】（1） 如图1，即为所作等腰直角三角形； （2）如图2，即为所作钝角三角形， （3）如图3，即为所作， 【解析】 【分析】此题主要考查了格点作图，勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理和网格的特点． （1）画一个边长为的直角三角形即可； （2）画一个底为3，该底上的高为2的钝角三角形即可； （3）画一个边长为3，该边上的高为2的平行四边形即可． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：它的面积为； 【小问3详解】 解：它的面积为； 20. 某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成如下统计表和统计图（条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 a分 b分 9分 八年级 8.8分 9分 c分 （1）根据以上信息填空：______，______，______． （2）把条形统计图补充完整． （3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）8.5，9，9 （2） 解：补全图形如下： （3） 解：小红的判断不正确 理由：由样本知，七年级优秀率为，八年级优秀率为， 用样本估计总体，八年级优秀率高于七年级优秀率，但各年级的总人数不确定，就不能断定优秀人数的多少，所以八年级成绩优秀的人数“可能”多于七年级，但不能断定八年级“一定”多于七年级，所以小红的判断不正确． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）先计算出七年级各等级的人数，利用加权平均的计算方法可求得的值；再利用中位数的定义即可求解；再求得八年级C等级人数，根据众数的定义即可解答； （2）根据题意补充条形统计图即可求解； （3）根据样本估计总体即可回答． 【小问1详解】 解：七年级A等级人数人， B等级人数人， C等级人数人， D等级人数人， ∴； 将七年级竞赛成绩从低到高排列，中位数位于第两个同学成绩的平均数， ∵， ∴； 八年级C等级人数人， B等级出现的人数最多，故众数为9分，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）2.4 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 22. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． （3）请观察函数的图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程的解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2） 画图如下， （3），； 或； ． 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知与 的函数关系式应为，分别把和代入函数的解析式求出、的值即可； 根据表格中的数据，描点、连线即可画出函数图象； 由中的函数图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 因为不等式，所以可得不等式：或，解不等式求出解集即可； 把点和代入一次函数中，利用待定系数法求出、的值，即可得到一次函数的解析式为，画出函数图象，根据图象写出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知与 的函数关系式应为， 当时，， 即， 当时，， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； 不等式， 可得：或， 当时，解得：， 当，解得：， 不等式的解集为：或， 故答案为：或； 当一次函数的图象经过点是和时， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 画函数图象如下， 从图象上可以看出：当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式、函数图象上点的坐标的求法、函数图象的画法，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法是解决本题关键． 23. 【模型建立】如图1，等腰中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 （1）如图1，若，，则的面积为_______； （2）如图2，在等腰中，，，点，点，则点的坐标_______； （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转至直线（如图3），求直线的函数表达式． 【答案】（1）17 （2） （3） 【解析】 【分析】（）过作于点，过作于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，所以，由勾股定理得，然后通过面积公式即可求解； （）过作轴，过作于点，过作于点，易得四边形，四边形是矩形，则，，，，证明，故有，，从而得，然后求出解析式，通过一次函数的性质即可求出点的坐标； （）过作交于点，过作轴于点，则有，则，同（）理可证，然后求出点，点，，再通过待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：过作于点，过作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴，过作于点，过作于点，易得四边形，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴点； 【小问3详解】 解：如图，过作交于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， 同（）理可证：， ∴，， 由直线可得，当时，；当时，； ∴点，点， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”． （1）在平面直角坐标系中，点P是原点O的“正方形关联点”． ①若，则点O、P的“关联正方形”的周长为 ； ②若点P在直线上，则点O、P的“关联正方形”面积的最小值为 ； （2）如图2，已知点，点B在直线l：上，正方形是点A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别为a、b，求的最小值． 【答案】（1）①4；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“关联正方形”的定义可知，是某个正方形的两个对角顶点，根据两点间的距离公式求出，乘以，得到该正方形的边长，进而求出周长； ②根据正方形的面积公式可知，当正方形的边长最小时，面积最小，由垂线段最短得出此时与直线互相垂直，根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出最小面积； （2）过P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为C、D，证明，得出，当直线l时有最小值．求出此时的长，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①∴， ∴O、P的“关联正方形”的边长是， ∴周长是． 故答案为：4； ②设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则, ∴ ∴． 如图，作于P，此时最小，则O、P的“关联正方形”面积最小． ∵， ∴， ∴O、P的“关联正方形”的边长为， ∴O、P的“关联正方形”的面积为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过P、Q分别作直线的垂线，垂足分别为C、D． ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴求的最小值即求正方形边长的最小值， 又， ∴即是求的最小值， 根据垂线段最短可知，当直线l时，最小，即有最小值． 过点作直线的垂线，垂足为B． 设直线的解析式为： 把代入， 解得， ∴． 解方程组，得， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，利用待定系数法求直线的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的性质，两点间的距离公式，两条直线交点坐标的求法等知识，正确理解“关联正方形”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语（南关、净月）学校2025-2026学年第一学期 初三年级期初考试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 当时，一次函数的函数值为（　　） A. B. 1 C. 5 D. 13 2. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 3. 如图，直线过点和点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开手机就有未接电话 B. 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 五个人分成四组，这四组中有一组有两人 6. 若a+b=2，ab=2，则a2+b2的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知是反比例函数上一点，轴与点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（ ）． A. B. 1 C. 4 D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. A、B、C三人分别进行了10轮投标枪比赛，平均成绩均为8环，方差分别是：，则投标枪成绩最稳定的是___． 10. 已知，化简_______． 11. 在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点，则______． 12. 如图，平行四边形绕点A逆时针旋转30度，得到平行四边形，点B与点是对应点，点C与点是对应点，点恰好落在边上，则∠C的度数是________． 13. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为______． 14. 如图①，在四边形中，，，直线．当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图②所示，则下列说法：①；②；③；④四边形的周长是，正确的是________（填序号）． 三、解答题（共78分） 15. （1）计算： （2）解方程： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 18. 学期伊始，初三年级同学计划参与植树活动，原计划植树960棵，由于初二年级同学的加入，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，求原计划多长时间完成植树任务． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点，分别按下列要求画出图形． （1）在图1中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5； （2）在图2中，画一个钝角三角形，使它的面积为3； （3）在图3中，画一个平行四边形，使它的面积为6． 20. 某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成如下统计表和统计图（条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 a分 b分 9分 八年级 8.8分 9分 c分 （1）根据以上信息填空：______，______，______． （2）把条形统计图补充完整． （3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由． 21. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 22. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． （3）请观察函数的图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程的解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 23. 【模型建立】如图1，等腰中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 （1）如图1，若，，则的面积为_______； （2）如图2，在等腰中，，，点，点，则点的坐标_______； （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转至直线（如图3），求直线的函数表达式． 24. 如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”． （1）在平面直角坐标系中，点P是原点O的“正方形关联点”． ①若，则点O、P的“关联正方形”的周长为 ； ②若点P在直线上，则点O、P的“关联正方形”面积的最小值为 ； （2）如图2，已知点，点B在直线l：上，正方形是点A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别为a、b，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $