微专题7　 由数列的递推关系求通项公式an讲义-2026届高三数学一轮复习

微专题7　 由数列的递推关系求通项公式 ‌一、核心原则‌ 1、‌递推公式的本质‌ 递推公式是通过前一项或多项定义后一项的数学关系式，反映数列项间的内在规律。 ‌关键转化‌：将递推关系转化为通项公式，需根据递推形式选择对应方法（如累加、累乘、构造法等）。 2、‌通项公式的求解目标‌ 明确目标为找到与n的直接关系式，摆脱对前项的依赖。 3、‌分类思想‌ 根据递推关系的结构特征（如线性、分式、含f(n)等）选择匹配的解题策略。 ‌二、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：累加法 ‌ ‌策略‌：逐项累加 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式，所以， 故选：B． ‌题型2：累乘法 ‌ ‌策略‌：逐项累乘： 【例2】已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立，所以. 故选：B. ‌题型3：构造法 ‌ ‌策略‌：构造等比数列： 【例3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，即， 所以，解得，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． 故选：C. ‌题型4：取倒数法 ‌策略‌：取倒数后转化为线性递推：​。 【例4】（1） [2025·四川雅安四校联考] 数列{an}满足a1=4,an+1=,则a985=　　　　.  （2）[2025·广东湛江联考] 在数列{an}中,a1=1,an+1=,则a34= (　 ) A. B. C. D.100 【详解】 （1） 因为an+1=,所以an+1-1=,得==+,又=,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以=,解得an=,所以a985=. （2）将an+1=两边取倒数,得==3+,即-=3,又=1,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,所以a34==.故选C. 四、典例欣赏 【例5】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【详解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， （2）由（1）有， 所以， 上式相加有， 所以， 所以； （3）由（2）有， 所以，所以 ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题7　 由数列的递推关系求通项公式 ‌一、核心原则‌ 1、‌递推公式的本质‌ 递推公式是通过前一项或多项定义后一项的数学关系式，反映数列项间的内在规律。 ‌关键转化‌：将递推关系转化为通项公式，需根据递推形式选择对应方法（如累加、累乘、构造法等）。 2、‌通项公式的求解目标‌ 明确目标为找到与n的直接关系式，摆脱对前项的依赖。 3、‌分类思想‌ 根据递推关系的结构特征（如线性、分式、含f(n)等）选择匹配的解题策略。 ‌二、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：累加法 ‌ ‌策略‌：逐项累加 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． ‌题型2：累乘法 ‌ ‌策略‌：逐项累乘： 【例2】已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． ‌题型3：构造法 ‌ ‌策略‌：构造等比数列： 【例3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． ‌题型4：取倒数法 ‌策略‌：取倒数后转化为线性递推：​。 【例4】（1） [2025·四川雅安四校联考] 数列{an}满足a1=4,an+1=,则a985=　　　　.  （2）[2025·广东湛江联考] 在数列{an}中,a1=1,an+1=,则a34= (　 ) A. B. C. D.100 四、典例欣赏 【例5】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$