专题05 Sn与an、累加、累乘、构造、递推法求通项公 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题05 与、累加、累乘、构造、递推法求通项公式 递推公式基础：题型归纳型 一、若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 二、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。 1.“等差”累加法: 2.“等比”累加法: 3.“裂项”累加法: 4.无理根式裂项累加法: 三、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项. 累积法主要有“分式型”和“指数型”。 分式型： 指数型： 图文详解： 四、构造数列法 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出 图文详解： 2、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 3.倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 图文详解： 4.形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 课前热身 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A．153 B．161 C．163 D．238 答案B 解 因为，则．故选:B. 2．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 答案A 解 中，令 ，即， 所以 ，故选：A. 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 答案A 解 在数列中，即 , 所以 故选：A. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 答案C 解 ，即， 所以，, 显然满足上式，所以，则.故选：C. 5．（18-19高二上·山东济南·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 答案D 分析 当,两式做差整理求解即可. 解因 为，当，两式做差得： ，故，当，，符合；故. 故选：D 题型一 由Sn与an关系求通项 例1．（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 答案B 思路分析: 根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 解 由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以，所以.故选：B. 例2．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 思路分析: （1）根据给定条件，利用求解即得. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可推理得解. 解 （1），， 当时，， 两式相减得，即，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知，，则， 所以. 【感悟提升】 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 变式训练：1（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 答案 (1) (2)或 思路分析 （1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 解 （1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即；当时，，即， 所以，故当或时，取得最大值. 题型二 累加法求通项 例2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 答案B 思路分析 应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式. 解 由题设，即 ，且， 所以， 由满足上式，故.故选：B 3．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 答案 (1) (2) 思路分析 （1）根据，成等差数列得； （2）由. 解（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）. （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式，所以． 【感悟提升】 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 变式训练：2.（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 答案 (1)(2)证明见解析 思路分析（1）用累加法即可求出结果； （2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果. 解（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得，所以， 所以数列的前n项和，即. 题型三 累乘法求通项 例3．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 答案B 思路分析 根据数列满足的关系式，利用之间的关系结合累乘法可求得，代入计算可得结果. 解 由可得， 即，因此； 因此， 可得，所以. 故选：B 4．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 答案 (1) (2) 思路分析 （1）根据与的关系结合累乘法求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 解 （1）令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得，即，所以， 所以，即， 所以，又，符合上式，所以； （2），则， ， 两式作差得， 即，所以． 【感悟提升】 变式训练：3.（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 答案C 思路分析 首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 解 由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以，则的前6项和为.故选：C. 题型四 常数型构造法求通项 例4．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 答案C 思路分析 根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解. 解 数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 5.（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 答案 (1)． (2)． 思路分析 （1）由条件，结合关系，求数列的通项， （2）由（1）可得，利用错位相减法求结论. 解 （1）因为，取可得，又， 所以，解得，当时，用替换可得， 所以，即， 所以，又，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）因为，所以，① ，② ①－②得 所以，所以． 【感悟提升】 变式训练：4.（24-25高三·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 答案D 思路分析 根据条件构造等比数列，逐个求解即可判断各项. 解 ， ， 是以为首项，2为公比的等比数列，，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误；对于C、令，解得2，故C错误；对于D、令，解得2，是第10项，故D正确故选： 5.（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 答案 (1) (2) 思路分析 （1）利用即可得，构造等比数列即可求解； （2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解. 解（1）令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； （2）因为． 所以 ． 题型五 n阶型同除法求通项 例5.（24-25高三·陕西榆林·期末）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 答案D 思路分析 利用构造法，结合与等差数列的定义即可得解. 解 因为，则，整理得， 又，则，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则，所以.故选：D. 6.（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 答案 (1)；(2)当时，；当时，. 思路分析 （1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式， （2） 根据的关系，求得，构造函数，利用其单调性， 解 （1）由已知，所以，又， 所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，即 . （2）已知，① 当时，．当时，，② ①②得，也适合，所以；   设函数，则函数是上的减函数，且，， 所以当时，，即；当时，，即． 因此，当时，；当时，． 【感悟提升】 变式训练：5.（24-25高三·江苏苏州·期中考试）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，若，求． 答案 (1) (2)． 思路分析 （1）当时，得到，两式相减化简得到，进而得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 解（1）由题意，数列满足， 当时，， 两式相减得到，即， 即，所以， 令，可得，解得，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以，可得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由，可得， 则， 所以， 两式相减，可得 所以. 2026高考模拟热身训练 一、单选题 1．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 答案 B 解 由可得，即，因此； 因此， 可得，所以.故选：B 2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 答案 A 解 由，则， 由，则，故， 则、、、， 则.故选：A. 3．（2025·广西·模拟预测）(多选题)已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 答案 ACD 思路分析 当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可. 解 因为数列的前项和为，，且， 当时，，当时，由得， 上述两个等式作差得，可得，但， 所以数列从第二项开始成公比为的等比数列，故当时，，所以， 对于A选项，数列不是等比数列，A对；对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对；对于D选项，，D对.故选：ACD. 4．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 答案 ACD 思路分析 令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 解 对于A，由可得， 即，所以，因此A正确， 对于B，由可得，即， 显然不是定值， 因此数列不是等差数列，即B错误； 对于C，结合B分析由可知， 即数列是以为首项，公比为2的等比数列， 因此可得，所以，即C正确； 对于D， ，即D正确. 故选：ACD 5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）（多选题）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是等比数列 答案 AD 解 对于A，由可得，当时，，故A正确； 对于B，由可得，当时，， 两式相减可得， 即，即，但， 所以数列是从第二项起的等比数列，不是整个数列都是等比数列，故B错误； 对于C，由可得，即， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故C错误，D正确； 故选：AD 6．（2025·江西·三模）（多选题）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 答案BCD 解 因为，所以，解得，故A错误；当时， ， 则，且也符合，故B正确； ，故C正确； ，则，故D正确. 故选：BCD 7．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 答案 6 解 由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列，因为，， 所以当时，，即， 当时，，即，所以的最小值为6．故答案为：6 8．（2025·山东淄博·一模）已知数列的前项和为（），满足（），，则 . 答案/ 解 由可得， 又，则，即， 当时，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，则，所以.故答案为： 9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列． (1)求d； (2)若， （i）求数列的通项公式； （ii）若，数列满足的前n项和，证明：． 答案 (1)或． (2)（i）；（ii）证明见解析 思路分析 （1）应用等差数列基本量运算计算求解； （2）（i）应用计算结合累乘法得出通项公式； （ii）应用求和公式累加计算求和计算证明. 解（1）因为，且数列是公差为d的等差数列， 所以或， 于是或，且，所以或． （2）（i）解：当时，，即， 所以， 相减整理得，即得 所以， 所以，累乘得， 也满足上式，所以．                 （ii）证明：，显然． ， 所以， 累加得，得证． 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 答案 (1) (2) 解（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 与、累加、累乘、构造、递推法求通项公式 递推公式基础：题型归纳型 一、若已知数列的前项和与的关系， 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 二、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。 1.“等差”累加法: 2.“等比”累加法: 3.“裂项”累加法: 4.无理根式裂项累加法: 三、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项. 累积法主要有“分式型”和“指数型”。 分式型： 指数型： 图文详解： 四、构造数列法 1、形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出 图文详解： 2、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 3.倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 图文详解： 4.形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 课前热身 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A．153 B．161 C．163 D．238 答案B 解 因为，则．故选:B. 2．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 答案A 解 中，令 ，即， 所以 ，故选：A. 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 答案A 解 在数列中，即 , 所以 故选：A. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 答案C 解 ，即， 所以，, 显然满足上式，所以，则.故选：C. 5．（18-19高二上·山东济南·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 答案D 分析 当,两式做差整理求解即可. 解因 为，当，两式做差得： ，故，当，，符合；故. 故选：D 题型一 由Sn与an关系求通项 例1．（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 答案B 思路分析: 根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 解 由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以，所以.故选：B. 例2．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 思路分析: （1）根据给定条件，利用求解即得. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可推理得解. 解 （1），， 当时，， 两式相减得，即，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知，，则， 所以. 【感悟提升】 求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 变式训练：1（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 答案 (1) (2)或 思路分析 （1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 解 （1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即；当时，，即， 所以，故当或时，取得最大值. 题型二 累加法求通项 例2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 答案B 思路分析 应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式. 解 由题设，即 ，且， 所以， 由满足上式，故.故选：B 3．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 答案 (1) (2) 思路分析 （1）根据，成等差数列得； （2）由. 解（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）. （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式，所以． 【感悟提升】 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 大题注意检验n=1时满足条件. 变式训练：2.（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 答案 (1)(2)证明见解析 思路分析（1）用累加法即可求出结果； （2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果. 解（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得，所以， 所以数列的前n项和，即. 题型三 累乘法求通项 例3．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 答案B 思路分析 根据数列满足的关系式，利用之间的关系结合累乘法可求得，代入计算可得结果. 解 由可得， 即，因此； 因此， 可得，所以. 故选：B 4．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 答案 (1) (2) 思路分析 （1）根据与的关系结合累乘法求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 解 （1）令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得，即，所以， 所以，即， 所以，又，符合上式，所以； （2），则， ， 两式作差得， 即，所以． 【感悟提升】 变式训练：3.（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 答案C 思路分析 首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 解 由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以，则的前6项和为.故选：C. 题型四 常数型构造法求通项 例4．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 答案C 思路分析 根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解. 解 数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 5.（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 答案 (1)． (2)． 思路分析 （1）由条件，结合关系，求数列的通项， （2）由（1）可得，利用错位相减法求结论. 解 （1）因为，取可得，又， 所以，解得，当时，用替换可得， 所以，即， 所以，又，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）因为，所以，① ，② ①－②得 所以，所以． 【感悟提升】 变式训练：4.（24-25高三·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 答案D 思路分析 根据条件构造等比数列，逐个求解即可判断各项. 解 ， ， 是以为首项，2为公比的等比数列，，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误；对于C、令，解得2，故C错误；对于D、令，解得2，是第10项，故D正确故选： 5.（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 答案 (1) (2) 思路分析 （1）利用即可得，构造等比数列即可求解； （2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解. 解（1）令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； （2）因为． 所以 ． 题型五 n阶型同除法求通项 例5.（24-25高三·陕西榆林·期末）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 答案D 思路分析 利用构造法，结合与等差数列的定义即可得解. 解 因为，则，整理得， 又，则，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则，所以.故选：D. 6.（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 答案 (1)；(2)当时，；当时，. 思路分析 （1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式， （2） 根据的关系，求得，构造函数，利用其单调性， 解 （1）由已知，所以，又， 所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，即 . （2）已知，① 当时，．当时，，② ①②得，也适合，所以；   设函数，则函数是上的减函数，且，， 所以当时，，即；当时，，即． 因此，当时，；当时，． 【感悟提升】 变式训练：5.（24-25高三·江苏苏州·期中考试）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，若，求． 答案 (1) (2)． 思路分析 （1）当时，得到，两式相减化简得到，进而得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 解（1）由题意，数列满足， 当时，， 两式相减得到，即， 即，所以， 令，可得，解得，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以，可得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由，可得， 则， 所以， 两式相减，可得 所以. 2026高考模拟热身训练 一、单选题 1．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 答案 B 解 由可得，即，因此； 因此， 可得，所以.故选：B 2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 答案 A 解 由，则， 由，则，故， 则、、、， 则.故选：A. 3．（2025·广西·模拟预测）(多选题)已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 答案 ACD 思路分析 当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可. 解 因为数列的前项和为，，且， 当时，，当时，由得， 上述两个等式作差得，可得，但， 所以数列从第二项开始成公比为的等比数列，故当时，，所以， 对于A选项，数列不是等比数列，A对；对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对；对于D选项，，D对.故选：ACD. 4．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 答案 ACD 思路分析 令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 解 对于A，由可得， 即，所以，因此A正确， 对于B，由可得，即， 显然不是定值， 因此数列不是等差数列，即B错误； 对于C，结合B分析由可知， 即数列是以为首项，公比为2的等比数列， 因此可得，所以，即C正确； 对于D， ，即D正确. 故选：ACD 5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）（多选题）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是等比数列 答案 AD 解 对于A，由可得，当时，，故A正确； 对于B，由可得，当时，， 两式相减可得， 即，即，但， 所以数列是从第二项起的等比数列，不是整个数列都是等比数列，故B错误； 对于C，由可得，即， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故C错误，D正确； 故选：AD 6．（2025·江西·三模）（多选题）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 答案BCD 解 因为，所以，解得，故A错误；当时， ， 则，且也符合，故B正确； ，故C正确； ，则，故D正确. 故选：BCD 7．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 答案 6 解 由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列，因为，， 所以当时，，即， 当时，，即，所以的最小值为6．故答案为：6 8．（2025·山东淄博·一模）已知数列的前项和为（），满足（），，则 . 答案/ 解 由可得， 又，则，即， 当时，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，则，所以.故答案为： 9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列． (1)求d； (2)若， （i）求数列的通项公式； （ii）若，数列满足的前n项和，证明：． 答案 (1)或． (2)（i）；（ii）证明见解析 思路分析 （1）应用等差数列基本量运算计算求解； （2）（i）应用计算结合累乘法得出通项公式； （ii）应用求和公式累加计算求和计算证明. 解（1）因为，且数列是公差为d的等差数列， 所以或， 于是或，且，所以或． （2）（i）解：当时，，即， 所以， 相减整理得，即得 所以， 所以，累乘得， 也满足上式，所以．                 （ii）证明：，显然． ， 所以， 累加得，得证． 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 答案 (1) (2) 解（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $