精品解析：福建省莆田市北京大学附属中学莆田学校2024-2025学年七年级下学期期中考数学试卷

2024-2025学年北大附中七年级下学期期中考试试卷 一、单选题 1. 在实数：，，，，π，中，有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的定义，求一个数的立方根，根据整数和分数统称为有理数进行判断即可． 【详解】解：，，，，π，中，有理数有，，，共4个， 故选：D． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】 A选项，不等号两边同时×（-8），不等号方向改变，，故A选项错误； B选项，不等号两边同时-2，不等号方向不改变，，故B选项错误； C选项，不等号两边同时×6，不等号方向不改变，，故C选项错误； D选项，不等号两边同时×，不等号方向不改变，，故D选项正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 3. 二元一次方程的解为二元一次方程的解x为则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，根据二元一次方程组的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，既是方程的解， 又是方程的解， 关于，的二元一次方程组的解是． 故选：D． 4. 若，则的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，算术平方根，根据算术平方根与平方数的非负性求出x，y的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是， 故选A． 5. 对于点与点，下列说法不正确的是（ ）． A. 将点A向下平移5个单位长度可得到点B B. A、B两点的距离为5 C. 点A到y轴的距离为2 D. 直线与x轴平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，直接表示出点到点的横坐标与纵坐标的变化方法，然后根据平移规律解答．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点与点， 将点向下平移5个单位长度可得到点，、两点的距离为5，点到轴的距离为2，直线与轴平行． 故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 6. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意； B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意； C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意； D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，将平移，使点A移动到点，则平移后C点的对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标以及平行四边形的性质，先求得点的坐标，根据使点A移动到点，即向左平移1个单位向上平移1个单位，据此即可求得平移后C点的对应点的坐标 【详解】解：A，D 四边形是平行四边形， B的坐标为， ∵将平移，点A移动到点，即向左平移1个单位向上平移1个单位， ∴平移后C点的对应点的坐标为 故选D 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据平移方式求点的坐标，根据题意找到平移方式是解题的关键． 8. 如图所示，已知AB∥EF，CD⊥BC于点C，若∠D＝92°，则下列成立的是（　　） A. ∠E＝20° B. ∠E＝∠B C. ∠E﹣∠B＝2° D. ∠E+∠B＝38° 【答案】C 【解析】 【分析】延长DC和CD，交AB于G，交EF于H，根据平行线的性质得到∠CGB=∠DHE，根据外角的性质得到∠CGB+∠B=90°，∠DHE+∠E=92°，两式相减即可判断结论． 【详解】解：延长DC，交AB于G，交EF于H， ∵AB∥EF， ∴∠CGB=∠DHE， ∵CD⊥BC ∴∠DCB=90°=∠CGB+∠B， ∠CDE=92°=∠DHE+∠E， 两式相减得： ∴∠E-∠B=92°-90°=2°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是延长CD，构造内错角，利用外角的性质建立等量关系． 9. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，根据题目的规定可知，由此求即可． 【详解】解：，，， 即连续四个式子的和为零 故选：B． 10. 方程组有正整数解，则整数k的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用加减法得到，再由方程组有正整数解，可确定k+2=4或k+2=2或k+2=1，求出k的值即可． 【详解】解：， ①-②得，（k+2）y=6-k， 解得， ∵方程组有正整数解， ∴k+2=4或k+2=2或k+2=1， 解得k=2或k=0或k=-1， ∴整数k有3个， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解问题，熟练掌握二元一次方程组的解法，分数取整数的条件是解题的关键． 二、填空题 11. 请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是______．（写出一个值即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当时，， ∴“对于任意实数，一定大于”是假命题． 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 如图，标准魔方是魔方比赛中最常见的类型．标准魔方的一个面的面积约为， 若它的棱长为，a在两个连续的整数之间，则这两个连续整数中，较小的整数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的应用及无理数的估算是解题的关键．根据算术平方根的意义，可知，再根据无理数的估算方法，可得，即得答案． 【详解】解：根据题意，， ， ， 即， 则这两个连续整数中，较小的整数是5． 故答案为：5． 13. 已知点的坐标为，且轴，若，且点在第一象限，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，由轴，点的坐标为，则两点纵坐标都为，又，分当点在点左边时和当点在点右边时两种情况分析即可，解题关键是理解与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与轴平行的直线上所有点的横坐标相同． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴两点纵坐标都为， 又∵， ∴当点在点左边时，，在第二象限，不符合题意，舍去； 当点在点右边时，，符合题意， 故答案为：． 14. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用数轴确定a的取值范围，然后结合二次根式的性质及整式加减运算法则进行化简求解． 详解】解：由题意可得， ∴，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，整式的加减运算，理解二次根式的性质，利用数形结合思想解题是关键． 15. 已知方程组的解是，则方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，从而得到，求解即可． 【详解】∵， ∴， 设， 则， ∵方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的应用，正确理解方程组的解得意义是解题的关键． 16. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F），点C、D的对应点分别是，，交于G，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于H，给出下列结论：①；②；③；④若，则． 上述正确的结论是 __________________ 【答案】 【解析】 【分析】以现有条件无法证明，由此即可判断结论①；由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可得，由周角的定义可得，由此即可判断结论②；由两直线平行内错角相等可得，由轴对称的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，由轴对称的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可判断结论③；即，则，进而可得，由轴对称的性质可得，由两直线平行同位角相等可得，进而可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：以现有条件无法证明， 故结论①错误； 四边形是矩形， ， 将长方形纸片沿折叠得到四边形， ，， ， 又， ， ， ， 即：， 故结论②正确； ， ， 将长方形纸片沿折叠得到四边形， ， ， ， 将四边形沿折叠得到四边形， ， ， 故结论③正确； ，即， ， ， ，将四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，轴对称的性质，平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等），三角形外角的性质等知识点，熟练掌握矩形与折叠问题是解题的关键． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算： （1）先化简绝对值、开方、乘方，再算加减即可； （2）先化简绝对值、开方，再算加减即可； 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）通过代入消元法进行计算即可； （2）通过加减消元法进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 故方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 将得， 解得， 将代入①得， 解得 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法． 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示解集见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，解题关键是掌握解不等式的方法和步骤．根据解一元一次不等式的步骤求出不等式解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在数轴上表示如下， ． 20. 如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整． 结论：． 证明：∵（已知）， _________________（_______________）， ∴__________________（两直线平行，同位角相等）． 又∵(已知)， ∴__________________（等量代换）， ∴（___________）． 【答案】，，同旁内角互补，两直线平行；，；，；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行判断即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵(已知)， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同旁内角互补，两直线平行；，；，；内错角相等，两直线平行． 21. 已知点A、B的坐标分别为，将线段平移到，使点与点对应，点移与点对应，设平移过程中线段扫过的面积为． （1）若将线段向右平移3个单位，向上平移4个单位，在图1中画出平移后的线段，并写出点的坐标______； （2）若平移后点的坐标为，则点的坐标为______，则的值为______； （3）若，且点在轴上，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）作图见解析， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移性质，数形结合即可作出图形，从而得到点的坐标； （2）根据平移性质，数形结合作出图形，从而得到点的坐标，在网格中求出平行四边形面积即可得到答案； （3）根据题中条件，结合平移性质，数形结合作出图形，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示： ， 故答案为：； 小问2详解】 解：如图所示： ， ， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：若，且点在轴上，如图所示： 或． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及平移作图、平移性质、网格中求图形面积等知识，熟练掌握平移作图，数形结合，利用平移性质求解是解决问题的关键． 22. 初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 【答案】（1）甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 （2）方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 由题意可得， ， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； 【小问2详解】 解：设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，则由题意可得， ， 整理得，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液． 23. 如图1，已知． （1）探索与之间满足的数量关系，并说明理由； （2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； 【小问2详解】 如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点． （1）若点，求点和点的“阶距离”； （2）若点在轴上，且点和点的“阶距离”为4，求点的坐标； （3）若点，且点和点的“阶距离”为1，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程再解方程即可； （3）根据新定义可得 则可得 再分四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵点，， 由新定义可得：点和点的“阶距离”为： 【小问2详解】 点在轴上，设 且点和点的“阶距离”为4， 整理得： 解得：或 或 【小问3详解】 ∵点，且点和点的“阶距离”为1， 整理得： 由 可得： 同理可得： 当时，则 即 当时，则 则 即 当时，则 ∴ 同理可得： 当时，则 综上： 【点睛】本题考查的是新定义运算，利用新定义构建方程，不等式的基本性质，化简绝对值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 25. 如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． （1）直接写出之间的关系：　 　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； （2）根据，分别表示出和，再由，可得的度数； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时． 【小问1详解】 ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①当时，延长交边于，如图， ， ， ， ， ， 当绕点旋转时，， （秒） ②当时，如图， ，， ， ， 当绕点旋转时，， （秒）， ③当时，即与在同一直线上时， 当绕点旋转时，， （秒）， ④当时， ，， 当旋转时，， （秒） ⑤当时， ， ， 当旋转时，， （秒）， 综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． 26. 如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°． （1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM=　 　． （2）若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数． （3）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒） 【答案】（1）30° （2）67.5° （3）绕点顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段与的一条边平行． 【解析】 分析】（1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）分别过点，作FLMN，HRPQ，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转，分三种情况：①当BCDE时，②当BCEF时，③当BCDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵PQMN，， ∴， ， ∴． 故答案为：30° 【小问2详解】 解：如图3，分别过点，作FLMN，HRPQ， ∴，， ∵FLMN，HRPQ，PQMN， ∴FLPQHR，， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转， 分三种情况： 当BCDE时，如图5， 此时ACDF， ， ， 解得：； ②当BCEF时，如图6， ∵BCEF， ， ， ， 解得：； ③当BCDF时，如图7， 延长交于，延长交于， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，绕点顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段与的一条边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北大附中七年级下学期期中考试试卷 一、单选题 1. 在实数：，，，，π，中，有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二元一次方程的解为二元一次方程的解x为则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 5. 对于点与点，下列说法不正确的是（ ）． A. 将点A向下平移5个单位长度可得到点B B. A、B两点的距离为5 C. 点A到y轴的距离为2 D. 直线与x轴平行 6. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，将平移，使点A移动到点，则平移后C点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知AB∥EF，CD⊥BC于点C，若∠D＝92°，则下列成立的是（　　） A. ∠E＝20° B. ∠E＝∠B C. ∠E﹣∠B＝2° D. ∠E+∠B＝38° 9. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（　　） A. B. C. D. 10. 方程组有正整数解，则整数k的个数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 11. 请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是______．（写出一个值即可） 12. 如图，标准魔方是魔方比赛中最常见的类型．标准魔方的一个面的面积约为， 若它的棱长为，a在两个连续的整数之间，则这两个连续整数中，较小的整数是______． 13. 已知点的坐标为，且轴，若，且点在第一象限，则的坐标为______． 14. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后 _____． 15. 已知方程组的解是，则方程组的解是__________． 16. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F），点C、D的对应点分别是，，交于G，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于H，给出下列结论：①；②；③；④若，则． 上述正确的结论是 __________________ 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组： （1） （2） 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整． 结论：． 证明：∵（已知）， _________________（_______________）， ∴__________________（两直线平行，同位角相等）． 又∵(已知)， ∴__________________（等量代换）， ∴（___________）． 21. 已知点A、B的坐标分别为，将线段平移到，使点与点对应，点移与点对应，设平移过程中线段扫过的面积为． （1）若将线段向右平移3个单位，向上平移4个单位，在图1中画出平移后的线段，并写出点的坐标______； （2）若平移后点的坐标为，则点的坐标为______，则的值为______； （3）若，且点在轴上，请直接写出满足条件点的坐标． 22. 初春是甲型流感病毒高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 23. 如图1，已知． （1）探索与之间满足的数量关系，并说明理由； （2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点． （1）若点，求点和点的“阶距离”； （2）若点在轴上，且点和点的“阶距离”为4，求点的坐标； （3）若点，且点和点的“阶距离”为1，直接写出的取值范围． 25. 如图1，，点E，F分别在直线上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M． （1）直接写出之间关系：　 　． （2）若，求． （3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值． 26. 如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°． （1）若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM=　 　． （2）若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数． （3）若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $