山东省青岛第一中学2025-2026学年高三上学期期初开学检测数学试题

数学试题 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 注意事项 （请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明．） 试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. D. 4. 在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ） A. 平均数为5.5 B. 平均数为6.5 C. 方差为12.5 D. 方差为13.5 6. 则三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球半径为（ ） A. 3 B. C. D. 6 7. 已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在边长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的最小值是 D. 的最小值为 10. 已知,，下列说法正确的是（ ） A. 存在使得是奇函数 B. 任意､的图象是中心对称图形 C. 若为的两个极值点，则 D. 若在上单调，则 11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则（ ） A. 、在直线上 B. 双曲线的离心率 C. 内切圆半径最小值是 D. 的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中含项的系数为___________. 13. 已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则的前项和___________. 14. 若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知在中，边,,所对的角分别为，，，. （1）证明：,,成等比数列； （2）求角的最大值. 16. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率； （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 19. 已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 数学试题 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 注意事项 （请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明．） 试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABC 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分． 【15题答案】 【答案】（1） 证明：通分化简可得， ，即， 即， 整理得，由正弦定理可得，所以a､b､c成等比数列； （2） 【16题答案】 【答案】（1）取中点，连接､， 因为，为的中点，所以，故， 因为为等边三角形，所以， 又因为，面，因此平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以直线在平面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角为，则， 因为，，所以是正三角形，则， 因为为等边三角形，，则， 所以在中，由，得， 则，所以， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，在中，，， 所以，又，所以，即， 又平面， 所以平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）. 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由，求导得， ①当时，，，在上单调递增； ②当时，令 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 ③当时，令 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $