精品解析：广东省东源中学2026届高三上学期开学考试数学试题

东源中学2026届高三第一学期开学考试数学试卷 考试时间：150分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题5分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由一元二次不等式可得，再由交集的概念即可得解. 【详解】由题意，，， 所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知等式，将表示为分数形式，利用复数的除法运算法则，将分母实数化，求出. 【详解】 故选：C. 3. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为矩形，为的中点， 所以. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 5. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦差角公式即可求解. 【详解】因为，都是锐角，所以，则，． 所以． 故选：C 6. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 7. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它为次品的概率是（ ） A. 0.078 B. 0.077 C. 0.076 D. 0.075 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D，根据全概率公式求解. 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D， 则，，，，， 任取一个零件是次品的概率:. 故选：D 8. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，少选得部分分，错选或不选0分） 9. 某校对名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 估计该校学生竞赛成绩的众数为 C. 该校学生竞赛成绩的中位数大于 D. 估计该校学生竞赛成绩的平均数落在内 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数据的频率分布直方图估计数据的数字特征. 【详解】由于组距为，所以有，得，故A正确. 竞赛成绩在内的学生最多，可以将该区间的中点值作为众数的估计值，故B正确. ，两组的频率之和为，的频率为，所以中位数一定落在内，小于，故C错误. ，落在内，故D正确. 故选：ABD. 10. 若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 为递增数列 C. D. 的前4项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质运算得解；对B，求出通项，进而求出数列的通项公式，判断；对C，由等差数列前项和公式求解判断；对D，求出的通项，利用裂项相消法求和. 【详解】对于A，由，则，所以，即，又，所以，故A错误； 对于B，设等差数列的公差为，由A知，则， ，， 所以，故数列为递增数列，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为， 所以的前4项和为，故D错误. 故选：BC. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为判断C；求出图象的对称中心判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确. 故选：BD 三、填空题（每小题5分，14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 13. 在的展开式中，含项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理，的通项为，把分成和两部分，分别求其项的系数再求和即可. 【详解】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知，， . 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值，无极大值． 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，并求出切点坐标，利用点斜式，即可求解； （2）求出单调区间，即可判断极值点，求出极值. 【小问1详解】 因为，所以，切点为， 因为，所以， 切线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）可知，有， 当时，令，得， 当x变化时，和的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，有极小值，无极大值． 17. 一个车间为了规定工时，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间分钟 62 68 75 81 89 （1）如果与线性相关，求回归直线方程； （2）根据（1）所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间. 附：，. 【答案】（1） （2）101.8分钟 【解析】 【分析】（1）根据题中公式，结合表中数据进行运算求解即可； （2）根据（1）的结论，运用代入法进行求解即可. 【小问1详解】 由题中数据得，， ， ， ，. 因为，， 所以所求的回归直线方程为. 【小问2详解】 由（1）所求的回归直线方程可知，在时，（分钟）. 所以预计此车间加工这种零件70个时，所需要加工时间为101.8分钟. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 【答案】（1） （2） （3） 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 【解析】 【分析】（1）推导出，利用勾股定理可求得的长； （2）分别取、、的中点、、，连接、、、，由异面直线所成角的定义可知，异面直线、所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理求解即可； （3）利用勾股定理证明出，同理得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，为的中点，所以， 故. 【小问2详解】 分别取、、的中点、、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 且， 同理可得，，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 因为平面，所以平面， 因为平面，故，所以， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【小问1详解】 因为，， 所以，故的标准方程为· 【小问2详解】 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东源中学2026届高三第一学期开学考试数学试卷 考试时间：150分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题5分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它为次品的概率是（ ） A. 0.078 B. 0.077 C. 0.076 D. 0.075 8. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，少选得部分分，错选或不选0分） 9. 某校对名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 估计该校学生竞赛成绩的众数为 C. 该校学生竞赛成绩的中位数大于 D. 估计该校学生竞赛成绩的平均数落在内 10. 若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 为递增数列 C. D. 的前4项和为 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 三、填空题（每小题5分，14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 抛物线的焦点坐标为________． 13. 在的展开式中，含项的系数是______． 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的极值． 17. 一个车间为了规定工时，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间分钟 62 68 75 81 89 （1）如果与线性相关，求回归直线方程； （2）根据（1）所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间. 附：，. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $