精品解析：江苏省南京市中华中学2026届高三上学期8月学情调研数学试题

中华中学2026届南京市高三学情调研模拟考试 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女生，则不同的方法数为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 24 4. 南宋数学家杨辉重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（ ） A. 676 B. 678 C. 731 D. 733 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A. 若，则为实数 B. 若，则 C. D 10. 在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答)． 13. 已知函数（）在区间有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． （1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 16. 如图，在三棱锥中，，，点在上，且，. （1）若为线段的中点，求证：直线平面； （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若. （1）求证：数列是等比数列，并求出数列{an}通项公式； （2）令，设数列{bn}的前n项和为，若，求n的最小值. 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求实数取值范围； （3）若，其中，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2026届南京市高三学情调研模拟考试 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分集合. 【详解】由题得，，则或， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A 2. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】由题意，在上的投影向量为，则， 因为是单位向量，即，所以， 则． 故选：B． 3. 从2名男生、3名女生中选2人分别担任班长和学习委员，要求选出的2人中至少有一名女生，则不同的方法数为（ ） A 10 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列、组合计数问题，结合两个基本原理列式计算即可. 【详解】依题意，选出2人中至少有一名女生的方法数为，对选取的2人分配职务有种， 所以不同方法数为. 故选：C 4. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（ ） A. 676 B. 678 C. 731 D. 733 【答案】B 【解析】 【分析】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值. 【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有， 故选：B. 6. 若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 7. 已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台的几何性质确定内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求解上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为， 所以，则半径， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数、、，求导，利用导数研究函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】构造，， 则对恒成立，则在单调递增， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 构造，， 则对恒成立，则在单调递减， 此时，当且仅当时取等， 所以，则； 则，； 下面比较b和c的大小： 设，，， 设，，， 易知在上单调递增，则， 所以在上单调递减，， 即在上恒成立，则在上单调递减， 由，则，即，则， 综上所述， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用导数研究函数的单调性问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是其共轭复数，下列说法正确的是（　　） A. 若，则为实数 B. 若，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，得到，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意设，则. 选项A， ，则，所以为实数，所以A正确； 选项B， 当时，，此时，所以B错误； 选项C，当，，此时，所以C错误； 选项D，，即，所以D正确. 故选：A D. 10. 在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义即可判断A；利用独立事件的概率公式即可判断B；根据公式计算可判断C；利用条件概率的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，事件与可以同时发生，如两次取到球的号码分别为1和2，则与不互斥，故A错误； 对于B，，，. 所以与相互独立，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D正确 故选：BCD. 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D. 【详解】对于A，由可得， 则或，即或， 因为三角形为斜三角形，若，则，， 不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可得，则， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 且，则， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由C可知，， 则， 令， 由可得，则， 所以，故， 且， 所以， 当时，取得最大值， 当或时，最小值为， 所以，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，可求得，再用赋值法，令即可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 所以展开式中第2项的系数为，第2项的二项式系数为， 所以，解得． 令，二项式展开式中的所有项的系数之和为. 故答案为：. 13. 已知函数（）在区间有且仅有3个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将（）运用辅助角公式变为的形式，将看作整体后，注意表示出的范围，考虑函数，若求函数零点，则令，即，在内满足有且仅有三个零点列出不等式即可. 【详解】因为（）， 令，则，因为，， 令得：，由题意可知函数在区间上有且仅有3个零点，所以，所以． 故答案为： 14. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出离心率. 【详解】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得又， 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． （1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 【答案】（1）76.5 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式，利用每组区间的中点值乘以该组的频率再求和来计算平均数，需要先根据频率分布直方图的性质求出的值. （2）先求出甲厂产品为“优秀品”的概率，由于是有放回的抽取，所以随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望. 【小问1详解】 由题知，，解得． 设为样本数据的平均数，则， 故这组样本数据的平均数为． 【小问2详解】 设表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知， 随机变量，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量的数学期望． 16. 如图，在三棱锥中，，，点在上，且，. （1）若为线段的中点，求证：直线平面； （2）若平面，求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，在平面中，过点作，连接，先证明四边形是平行四边形，再根据线面平行判定定理证明； （2）过点作交于点，根据条件证明两两互相垂直.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算平面与平面的夹角. 【小问1详解】 取中点，在平面中，过点作，连接， 因为为线段的中点，所以， 又因为，，，所以， 由上可得，所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以直线平面 【小问2详解】 过点作交于点， 因为平面，所以平面 因为，所以 因为，所以两两互相垂直. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 根据题意，. 所以 设平面的一个法向量为， 所以即可取． 平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 所以即可取． 可得平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 所以平面与平面夹角为. 17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若. （1）求证：数列是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）令，设数列{bn}的前n项和为，若，求n的最小值. 【答案】（1）证明见解析， （2）3 【解析】 【分析】（1）利用与之间的关系化简变形即可证明； （2）由（1）得数列{bn}的通项公式，再运用裂项的方法求其前项和，然后解不等式即可. 【小问1详解】 证明：由：① 时，得. 时：② ①②即. ， 数列是首项为2公比为2等比数列. . 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 若， n的最小值为3. 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②存在，. 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆的定义，基本不等式求椭圆参数，即可得方程； （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【小问1详解】 因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 19. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）若，其中，证明：． 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得对恒成立，令，，求出函数的导函数，分、两种情况说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围； （3）依题意可得，即，由（1）不妨设，即可得到，令， 利用导数说明单调性，即可证明，再令，利用导数说明单调性，即可证明，从而得证. 【小问1详解】 函数的定义域为． 又， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令，，注意到， 又， 当时，所以在上单调递增，则当时， 即对，恒成立，不符合题意； 当时，则当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上单调递减，则当时，符合题意； 当，即时，在上单调递增，则当时，不符合题意； 综上可得实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，其中， 则，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， 令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $