4.2认识一次函数课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。 2020年，我国人均生活用水量：城镇(含公共用水)207L/d,农村 100L/d。 （1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填人下表。在坐标纸上描出（t,V）对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律?请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？ 操作•思考 每分钟增加的漏水量是一样的。 （2）下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗? 操作•思考 （2）一天的漏水量： 一年的漏水量： 操作•思考 5.5×60×24×365=2890800ml。 5.5×60×24=7920ml。 不够一个人一年使用。 （3）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V与时间t之间的关系式吗？ （4）你的实验结果与小明的实验结果有何异同？ 操作•思考 V=5.5t。 分享各组的实验结果，并交流下列问题: （1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？ 思考•交流 （1）共同之处是滴漏每分钟增加的漏水量是固定的。 不同之处是不同的滴漏每分钟的漏水量不同。 （2）引起各组数据不--致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？ 思考•交流 （2）水龙头不同所拧的位置不同,造成漏水量不同。对表格的影响是表格中的数据不同，对图象的影响是在坐标系中点的位置不同，对表达式的影响是时间的系数不同。 （3）假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化？为什么？ 思考•交流 （3）如果漏水严重一些，那么每分钟的漏水量较大,则表格中的数据较大,图象中点的位置较高,表达式中时间的系数较大。 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测一次香可燃烧部分的长度，数据如下: 操作•思考 （1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。 （2）估计燃烧10min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。 （3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。 （4）试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的关系式。 操作•思考 （2）22.9-10×0.5=17.9（cm）。 （3）22.9÷0.5=45.8（min）。 （4）l=22.9-0.5t 。 在小颖的实验中，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度就减少0.5cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流。 思考•交流 所谓“均匀”变化是指:一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。 材料均匀， 燃烧条件稳定。 1.生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。 汽车在高速公路上以限速匀速行驶； 跑步机上的人 以固定速度跑步； 工厂传送带上产品以恒定速度移动。 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位:cm）与所挂物体的质量x（单位:kg)的关系如下表所示: （1）随着所挂物体质量 x的增加，弹簧长度》的增长是“均匀”的吗？ （2）写出y与x之间的关系式,并说明理由。 是“均匀”的。 y=0.5x+3.0。 某辆汽车油箱中原有汽油40L，汽车每行驶50 km耗油4L。 （1）完成下表: 尝试•思考 0 8 12 16 20 24 4 （2）写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式。 （3）写出油箱剩余油量z(单位: L)与汽车行驶路程x之间的关系式。 尝试•思考 0 4 8 12 16 20 24 y=0.08x 。 z=40-0.08x 。 （1）在上面情境中，我们得到y=0.5x+3， ， ，它们有什么共同的特征？ （2）请你写出一个具有这种特点的关系式。 观察•思考 都符合一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式。 y=2x+5 。 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。 例1.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断: y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60 km/h的速度速行驶，行驶路程y(单位： km)与行驶时间x（单位：h）之间的关系； 解：（1）由路程=速度x时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数； 例1.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断: y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （2）圆的面积y(单位: cm)与它的半径x（单位: cm）之间的关系； 解：（2）由圆的面积公式，得y=πx²， y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数； 例1.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断: y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （3）某水池有水15 m，现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h，经过xh这个水池内有水ym3。 解：（3）这个水池每小时增加水5 m， xh增加水 5xm3，因而y=15+5x，y是x的一次丽数，但不是x的正比例函数。 （1）例1中，两个一次函数的一次项系数和常数项b分别是多少，它的实际意义是什么？ 思考•交流 k=60，表示时间每增加1小时，路程的变化量。 b=0；表示时间为0时，路程的多少。 k=5，表示时间每增加1小时，水池水的变化量。 b15。表示时间为0时，水池水量的多少。 （2）一般地，k，b对一次函数y= kx+b有怎样的影响？与同伴进行交流。 思考•交流 k的正负决定直线的倾斜方向: 当>0时，直线从左到右上升，函数值y随自变量的增大而增大。 当<0时，直线从左到右下降，函数值y随自变量的增大而减小。 （2）一般地，k，b对一次函数y= kx+b有怎样的影响？与同伴进行交流。 思考•交流 k的绝对值大小决定直线的倾斜程度: |k|越大，直线越陡峭，函数值变化越快。 |k|越小，直线越平缓，函数值变化越慢。 （2）一般地，k，b对一次函数y= kx+b有怎样的影响？与同伴进行交流。 思考•交流 b决定直线与y轴的交点位置: 当b>0时，直线与y轴的交点在y轴正半轴。 当b<0时，直线与y轴的交点在y轴负半轴。 当b=0时，直线过原点。 例2.在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35 km/h。 （1）假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t（单位: s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义； （2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。 解：（1）刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1s汽车的速度减少35 km/h；于是经过ts汽车的速度减少了35tkm/h所以y与t的关系式是y=-35t+120。其中， k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度。 （2）汽车停止时速度y=0，解方程0=-35t+120，得 。因此,该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s。 1.某种大米的单价是3.8元/kg，当购买xkg大米时，需要花费y元。 y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ 解：y是x的一次函数，也是正比例函数。 2.如图，甲、乙两地相距500 km，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发。以350 km/h的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地之间的距离。 2.（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值。 y=500+350x 。 y是x的一次函数。 当x=0.5时， y=500+350×0.5=675。 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准:直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准:除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。 （1）假设该单位用车里程为30 km,你建议租用哪家公司的客车？ 甲公司费用:15x30=450（元） 乙公司费用:10 x30+200=300十200=500（元） 因为450<500， 所以租用甲公司的客车。 （2）假设该单位用车里程为52km，你建议租用哪家公司的客车？ 甲公司费用：15x52=780（元） 乙公司费用:10 x52+200=520+200= 720（元） 因为720<780， 所以租用乙公司的客车。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 设用车里程为x千米时，两家公司收费相同。 可列方程：15x=10x+200 解得：x=40 答：用车里程为40千米时，两家出租车公司的收费 相同。 例3.为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准: （1）当220＜x≤300时，写出水费y(单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量。 解：（1）当220＜x≤300时，用水量属于第二档。于是y=3.45×220+4.83×(x-220),即y=4.83x-303.6。 （2）当x=250时，y=4.83×250-303.6=903.9（元）。 （3）因为3.45×220=759，4.83×300-303.6=1145.4 759＜1000.5＜1145.4,所以该户年用水量属于第二档。 设该户年用水量为xm3，则1000.5=4.83x-303.6。 解这个方程，得x=270。 因此，该户去年一年的用水量为270 m3。 （1）在例3中，当x＞300时，你能写出水费y(单位:元）与用水量x之间的关系式吗？ 尝试•思考 当 ＞ 300时，用水量属于第三档 y=3.45 x 220 +4.83 x80+5.83×（x-300） 即y=5.83x-603.6 （2）像例3这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 尝试•思考 这样的计费方式可以起到鼓励市民节约用水的作用；在设计计费规则时要结合大部分家庭的实际情况；电费得计费方式是类似的。 1.为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准: （1）当300＜x≤600时，写出用气费y（单位：元)与之间的关系式； （2）某户一年用气量是400 m3,求该户这一年的用气费； （3）某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量。 y=819+3.28（x-300）。 819+3.28（400-300）=1147元。 450=819+3.28（x-300） x=450m3。 1、如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 作业一：习题4.2 作业二：导学案 作业三：对下一节课进行预习 $$