精品解析：辽宁省抚顺市教师进修学院附属中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026九年级上学期期初学情监测 数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及需满足的条件． 根据一元二次方程的定义，逐一分析选项，判断是否符合“只含一个未知数、未知数最高次数是2、整式方程”这几个条件． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，是一元一次方程，不满足一元二次方程“二次项系数不为0，且未知数最高次数是2”的条件，所以不一定是一元二次方程； B、不是方程，因为它没有等号，不构成等式关系，而方程是含有未知数的等式，所以不符合一元二次方程的定义； C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程（整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程），符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程； D、中含有两个未知数和，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的条件． 故选：C． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，确定对称轴为直线，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式中确定对称轴，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 4. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得，． 故选：A． 【点睛】考查了二次根式的意义的条件．概念：一般地，形如的式子叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 8. 两直线与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论不矛盾，故正确； 、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论矛盾，故错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第二、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 故选：． 9. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O顺时针旋转变为， ∴， 故A，B，D选项正确，不符合题意， C选项不正确，符合题意． 故选：C． 10. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 1.75 C. 1.5 D. 1.25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为4和正方形的边长为3， ∴正方形的面积为16，正方形的面积为9， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故选B． 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 将抛物线向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达式为． 故答案为：． 12. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个实数根为，，则，是解本题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 14. 如图，在的网格纸中，格点（网格线的交点）三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是图中的________点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心即可． 【详解】解：如图，连接和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点的距离相等，且夹角都是， 同理，分别连接点和两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点的距离不相等，因此格点不是所求的旋转中心； 因此格点就是所求的旋转中心． 故答案为： 15. 已知中，，，D为边一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取得最大值时的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决此题的关键是明确当点、、在同一条直线上时，有最大值． 当点在线段延长线上时，取得最大值，画出图形，过点作于点，求出的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进而可得的长． 【详解】解：当点在线段延长线上时，取得最大值．过点作于点，如图所示： ，， ， ， ∴， ，， ，， ， ∴在中，， 在中，． 故答案为：． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减运算和解一元二次方程． （1）把二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2） 由题意可得， ∵ ∴ ∴． 17. 为了鼓励学生养成良好的消费习惯，提升理财意识，某校在课后社团活动中开设了《理财小能手》特色课程．课程结束后，同学们为了解全校名学生每天使用零花钱的状况．随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如下统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中的值； （2）求抽取的该部分学生使用零花钱的众数； （3）根据以上数据，估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过元的学生人数． 【答案】（1）；补全统计图如下： （2）众数是元； （3）估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过元的学生有人． 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联、众数和平均数、样本关键总体等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出调查总人数，再求出每天使用零花钱元的学生数，即可补全统计图，再求出每天使用零花钱元的学生数的百分比即可求出扇形统计图中的值； （）根据众数定义进行解答即可； （）根据样本估计总体的方法计算即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）， ∴每天使用零花钱元的学生数为（人），， ∴， 【小问2详解】 解：学生使用零花钱是元的有人，人数最多， ∴众数是元； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过元的学生有人． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度. （1）在图中画出关于原点的中心对称图形； （2）在图中画出将绕点顺时针旋转得到的； （3）在平面内找一点，使得点，，，围成以为边的平行四边形，写出点所有可能的坐标 . 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、中心对称，平行四边形的性质，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （）根据中心对称的性质作图即可． （）根据旋转的性质作图即可； （）根据平行四边形的判定条件找到点的位置，即可写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图， 点的坐标为；点的坐标为； 综上，以，，，围成以为边的平行四边形的第四个顶点的坐标为或． 19. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 20. 如图，在等腰三角形中，，，于点D，将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转得，，可得，证明，可得； （2）由旋转得，，则，由勾股定理得，即可得． 【小问1详解】 解：， 将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段， ，， ， ， 【小问2详解】 ， ，， , 由（1）知，， ， ． 21. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 22. 如图1，在正方形 中 ， ， 点，分别在边，上， ，将 绕点A逆时针旋转， ，连接 ，．所在直线交直线 于点， 连接． （1）与的数量关系 ，位置关系是 ； （2）如图2，当时，求证 ； 小丽思考思路如下：构造全等三角形，转化边，在直角三角形中观察边之间的关系． 证明：过点作与延长线交于点 补充以上证明过程 （3）如图3，若点与重合于左侧，且 ， 求的值． 【答案】（1）， （2） 证明：如图，过点作与的延长线交于点， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，证明，得出，，令交于，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）过点作与的延长线交于点，则，由正方形的性质可得，，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解； （3）过点作交于，由题意可得为等腰直角三角形，则，由等腰直角三角形的性质可得，结合题意得出，从而可得，，最后再由勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 令交于， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作交于， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标； （2）当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？ （3）当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，它的顶点坐标； （2）或时，图象的最大值与最小值的差为； （3）当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （）用待定系数法求函数的解析式即可； （）根据点与点的位置，结合图象分类讨论即可； （）直线经过点时，直线与图象有两个交点，再结合图象，确定的取值即可． 【小问1详解】 解：将，代入， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， 由， ∴它的顶点坐标； 【小问2详解】 解：由（）得它的顶点坐标； 当时，， ∴或， 当时，图象的最大值为，最小值为 ， ∴ ， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述：或时，图象的最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当时， 解得：或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点， 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026九年级上学期期初学情监测 数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 两直线与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 1.75 C. 1.5 D. 1.25 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 将抛物线向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达式为_________． 12. 已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 13. 已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 14. 如图，在的网格纸中，格点（网格线的交点）三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是图中的________点． 15. 已知中，，，D为边一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取得最大值时的长为________． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）解方程：； 17. 为了鼓励学生养成良好的消费习惯，提升理财意识，某校在课后社团活动中开设了《理财小能手》特色课程．课程结束后，同学们为了解全校名学生每天使用零花钱的状况．随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如下统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中的值； （2）求抽取的该部分学生使用零花钱的众数； （3）根据以上数据，估计全校学生中每天使用零花钱的金额超过元的学生人数． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度. （1）在图中画出关于原点的中心对称图形； （2）在图中画出将绕点顺时针旋转得到的； （3）在平面内找一点，使得点，，，围成以为边的平行四边形，写出点所有可能的坐标 . 19. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 20. 如图，在等腰三角形中，，，于点D，将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 21. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 22. 如图1，在正方形 中 ， ， 点，分别在边，上， ，将 绕点A逆时针旋转， ，连接 ，．所在直线交直线 于点， 连接． （1）与的数量关系 ，位置关系是 ； （2）如图2，当时，求证 ； 小丽思考思路如下：构造全等三角形，转化边，在直角三角形中观察边之间的关系． 证明：过点作与延长线交于点 补充以上证明过程 （3）如图3，若点与重合于左侧，且 ， 求的值． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标； （2）当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？ （3）当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $