江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

新生入学考试试卷 数学参考答案 一、单项选择题：每题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C C B D A A 二、多项选择题：每题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABC BD AD 三、填空题：每题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. 15．解析（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元， 则，解得， 答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元． （2）设购买A款材料包份，则， 解得，∵a为整数，∴a最小为， 答：至少购买A款材料包份． 16.解析：（1）组的频数为， 补全条形统计图如下： 中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组， 这60个数据的中位数落在组； 故答案为：； （2）解：（分钟）， 答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟； （3）解：（辆， 答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费． 17．（1）证明：如图，连接， 与相切于点，， ， 是的直径，， ，， ， ，； （2）解：如上图，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴同上可得：， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 18．（1）解：，理由如下： 由旋转的性质可得 过作于过点C作的延长线于， ，， ， ， ， 又，，， ， ， （2）证明：延长至， 使得， 连接， 为中点 为的中位线 由旋转的性质可得， ，， ， ， 四点共圆， ， ， 连接， 在中，点是的中点， ， 同理可得， 在中，点是的中点， ， 同理可得， ， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是平行四边形， ， 又， P，Q，R三点共线； （3）解：过点C作延长线于， 由旋转的性质可得， 由（1）得，由旋转的性质可得， ， ， ， ， 中，， ， 则S的最大值为25． 19．解析：（1）因为二次函数过点， 我们发现关于直线对称，所以，则 代入点得到，所以，即二次函数解析式为， （2）第（ⅰ）问的命题思路来源于右边的图形， 当然我们也可以用韦达定理来证明， 因为在二次函数的图象上， 所以是方程的不相等的两个根， 即是方程的不相等的两个根， 则，即， ，， 所以， 因为，所以， 即； （ⅱ）因为 由题意知，，， 可得， 所以， 因为为整数，故是的因数， 则的值可能为， 则的值可能为，又因为， 所以的所有可能取值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$1 南昌二中新高一入学试卷（数学） 一、单项选择题：每题 5分，共 40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，沿线段OA将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（ ） A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆 2．若 1x  在实数范围内有意义，则实数 x的值可以是（ ） A． 2 B． 1 C．0 D．2 3．计算： 2 3( 2 )1 x y （ ） A． 6 3 1 6 x y B． 2 31 8 x y C． 6 31 8 x y D． 5 43 2 x y 4．不等式组 1 0 3 x x     的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5.一个不透明的袋子中装有 4个红球与 2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 3个球， 下列事件为必然事件的是（ ） A．至多有 1个球是红球 B．至少有 1个球是红球 C．至多有 1个球是黑球 D．至少有 1个球是黑球 6．若点 1 2 3( 3, ), (1, ), (3, )A y B y C y 都在反比例函数 9y x   的图象上，则 31 2 ,,y y y 的大小关系 是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 3 2 1y y y  C． 1 3 2y y y  D． 2 3 1y y y  7．如图，在6 7 的网格中，每个小正方形的边长均为 1．若点 A，B，C都在格点上，则 sinB 的值为（ ） A． 2 13 13 B． 3 13 13 C． 2 3 D． 5 4 2 8．如图，在 ABC 中， 90ACB  ， 30CAB  ， AD平分 CAB ， BE AD ，E为 垂足，则 AD BE 的值为（ ） A． 2 3 B． 7 3 3 C． 5 3 2 D． 8 3 3 二、多项选择题：每题 6分，共 18分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选 对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．我国出土汉代玉器的下列纹样，是 轴对称图形或中心对称图形的有（ ） A． B． C． D． 10．如图为二次函数 2y ax bx c   的图象，下列代数式的值为负数的是（ ） A． c B．2a b C． 2 4b ac D． a b c  11．如图，在平面直角坐标系 xOy中， ,A B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是 矩形，函数 1 ( 0)y x x   的图象与边 AC交于点M ，与边 BC交于点N （ ,M N不重合）．则 下列结论正确的是（ ） A． COM 与 CON 的面积一定相等 B． MON 与 MCN 的面积可能相等 C． MON 一定是锐角三角形 D． MON 可能是等边三角形 三、填空题：每题 5分，共 15分. 12．分解因式： 23 12x y y  ____________． 13．如图，将三角形纸片 ABC折叠，使点 A落在边BC上的点 D处，折痕为CE．若 ABCV 的 面积为 8， BCE 的面积为 5，则 :BD DC  _______． （第 13题图） （第 14题图） 3 14. 如图，在平行四边形 ABCD中， 3AB  ， 4AD  ，点 E在 AD的延长线上，且 2DE  ， 过点 E作直线 l分别交边CD， AB于点 ,M N．若直线 l将平行四边形 ABCD的面积平分，则 线段CM 的长为_______． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. 15．（本题 13分）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用 A，B两款材料包，购买 3份 A款 材料包和 2份 B款材料包需 84元，购买 2份 A款材料包和 3份 B款材料包需 86元． （1）问购买一份 A款材料包和一份 B款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买 A，B两款材料包共 50份，总费用不超过 830元，则至少购买 A款材料包 多少份？ 16.（本题 15分）某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的 时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的 60个停车时长数据 （单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图；这 60个数据的中位数落在______组； （2）求本次采集的这 60个数据的平均数； （3）如果超市想对停车时长不超过 60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内 1000辆车中， 有多少辆车免收停车费？ 17．（本题 15分） 如图， 30MPN  ，点 O在 PM 上， O 与 PN 相切于点 A，与 PM 的交 点分别为 B，C．作CD PN∥ ，与 O 交于点 D，作CE PN ，垂足为 E，连接 EO并延长， 交 CD于点 F． （1）求证：CD PA ； （2）若 4PA  ，求 EF 的长． 组别 停车时长 x/分 钟 组内平均停 车时长/分钟 A 0 30x  15 B 30 60x  47 C 60 90x  80 D 90 120x  105 E 120x  200 4 18．（本题 17分） 如图 1，将Rt AOB 绕直角顶点 O旋转至 COD ，点 ,A B的对应点分别为 ,C D．连接 AD BC AC BD, , , ，直线 AC与 BD交于点 E． （1） AOD 与 BOC 的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图 2，连接OE，若 , ,AB CD OE的中点分别为 , ,P Q R．求证： , ,P Q R三点共线； （3）已知 5AB  ，随着 ,OA OB及旋转角的变化，若存在以 , , ,A B C D为顶点的四边形，其面 积为 S，求 S的最大值． 19．（本题 17分）已知二次函数 2( ) ( 0)y a x h a   过点 (0,1), (1,1)A B ． （1）求二次函数解析式； （2）已知 1 2( , ), ( , )M x m N x m 在二次函数图象上不同的两个点． （ⅰ）若 1m  ，求证： 1 2| | 1x x  ； （ⅱ）若 1 2 2 1 2 1x x x x   的值为整数，求m的所有可能取值．