精品解析：2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学第一附中七年级（下）竞赛班选拔数学试卷

2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学第一附中七年级（下）竞赛班选拔数学试卷 一、选择题（每小题3分，共6小题，总分18分） 1. 设个正整数，，，，，任意改变它们的顺序后，记作，，，，，若，则（ ） A. 一定是奇数 B. 一定是偶数 C. 当是奇数时，是偶数 D. 当是偶数时，是奇数 2. 已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（ ） A. B. C. D. 3. 某裁缝做一件童装，一条裤子，一件上衣，所用时间之比为，他一天共能做件童装，条裤子，件上衣，则他做件上衣，条裤子，件童装，需（ ）天． A. B. C. D. 4. 已知一块小立方体木块，每个面上涂有不同颜色．如果要在木块面上分别刻上、、、、、个小点．且点与点、点与点、点与点分别刻在对面，则不同的刻点种数有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共9小题，总分27分） 7. 小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级台阶或两级台阶，若她要从地面（0级）步行到第9级，则她共有_______种不同的上楼梯的方式． 8. ，，，为互不相等的有理数，且，，则_____． 9. 已知的三边长，，都是整数，且满足与的值互为相反数，那么该三角形的周长等于 _____． 10. 已知，求的最大值与最小值的差_____________． 11. 如图中，一共能数出 _______个长方形． 12. 在三个圆A，B，C中分别有13，17，18个点，同时在圆A和B中有4个点，同时在圆A和C中有7个点，同时在圆B和C中有5个点，同时在三个圆中有2个点．则在三个圆中共有_______个点． 13. 如图，把三角形的边延长到D，使为的3倍，把边延长到E，使为的2倍，把边延长到F，使等于．已知的面积是1，则的面积为_________． 14. 如图，已知，若以，，，，为边的各角之和等于，则 ________． 15. 从变电站到五羊医院的输电线路有一处发生故障，外表看不出，需派人爬到电线杆顶检查．每次检查都可以发现故障出现在线路哪一端．如果输电线路中共有根电线杆．为加速查出在哪两根相邻电线杆之间，每次派人爬上杆顶，则在最佳方案中，最多_____次便可以确保查明故障所在． 三、解答题（共5小题，总分55分） 16. 计算下列各式： （1）； （2）． 17. 两个9位整数相乘：，求乘积的各位数字之和是多少？ 18. 在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“”“”号，如果可使其和为n，就称数n是“可被看出的数”，否则称n是“不可被看出的数（如1是可看出的数，这是因为是1的一种可看出的方法）． （1）证明：7是可看出的数，而8是不可看出的数； （2）求25是可看出的数的不同方法的种数． 19. 某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离． 20. 、两地相距千米，甲、乙两人分别从，同时出发，各在，间往返一次，甲比乙先回到出发地，两人第一次在地迎面相遇，第二次在地迎面相遇，从出发到两人第二次相遇经过的时间为小时分钟，若两地相距千米，求甲、乙两人的速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学第一附中七年级（下）竞赛班选拔数学试卷 一、选择题（每小题3分，共6小题，总分18分） 1. 设个正整数，，，，，任意改变它们的顺序后，记作，，，，，若，则（ ） A. 一定是奇数 B. 一定是偶数 C. 当是奇数时，是偶数 D. 当是偶数时，是奇数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整数的奇偶性，利用排除法即可进行判断，正确理解奇数与偶数的性质是解题的关键． 【详解】解：、若是奇数，则每个因式必须为奇数，根据奇偶性质，奇数偶数奇数，偶数奇数奇数，即与奇偶性不同，若，则为偶数，故原选项错误； 、当为偶数且原数中奇数与偶数个数相等时，可排列使每个与奇偶性不同，此时每个差为奇数，乘积为奇数，故原选项错误； 、当是奇数时，原数中奇数与偶数个数不相等， 设奇数个，偶数个，， 则至少存在一个奇数对应奇数或一个偶数对应偶数，其差为偶数，故为偶数，故原选项正确； 、当是偶数时，若原数中奇数与偶数个数相等，可排列使每个差为奇数，此时为奇数，若，则为偶数，故原选项错误； 故选：． 2. 已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是，根据题意列出方程组为，解方程组即可解答，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设黄铜含有铜的百分比是，锌的百分比是，青铜在混合物中的百分比是， 根据题意得为， 解得：， ∴黄铜含有铜和锌的比， 故选：． 3. 某裁缝做一件童装，一条裤子，一件上衣，所用时间之比为，他一天共能做件童装，条裤子，件上衣，则他做件上衣，条裤子，件童装，需（ ）天． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，解题关键是找到已知和问题之间的关系． 利用时间比，设出参数，表示出一天共能做件童装，条裤子，件上衣的时间参数；设出未知数，再用参数表示出做件上衣，条裤子，件童装的时间，建立方程即可解答． 【详解】解：设做一件童装，一条裤子，一件上衣所需时间依次为：，，， 再设件上衣，条裤子，件童装需天， 根据题意列方程得， 整理得， 解得． 故选：． 4. 已知一块小立方体木块，每个面上涂有不同颜色．如果要在木块面上分别刻上、、、、、个小点．且点与点、点与点、点与点分别刻在对面，则不同的刻点种数有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】三对点选择三个对面则有种不同选择，然后使两对面的数字互换这样可有，分别计算出一组对面的数字互换、两组对面的数字互换、三组对面的数字互换的选择数，进而可得出答案． 【详解】解：三对点选择三个对面则有种不同选择， 对于每一种选择，使对面的数字互换则可有如下几种： ①一组对面的数字互换，此时有三种选择； ②两组对面的数字互换，此时有三种选择； ③三组对面的数字互换，此时有一种选择； 综上可得不同的刻点种数有：种． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是排列组合问题，解题关键是“不重不漏”，先确定对面，再确定对面数字互换的方案数． 5. 将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折的性质可知，；由此可得：得出，再通过角的和差关系即可求出的值； 【详解】解：∵四边形为正方向 ∴ 由翻折的性质可知：，； ∴ 即： 解得： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形的翻折；熟练运用翻折的性质建立角之间的数量关系是解题的关键． 6. 如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的判定和性质求出，并表示出，再由三角形外角的性质求出，然后在中，根据三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，本题的关键是根据三角形内角和为列式计算． 二、填空题（每小题3分，共9小题，总分27分） 7. 小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级台阶或两级台阶，若她要从地面（0级）步行到第9级，则她共有_______种不同的上楼梯的方式． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查规律型问题，从一级、二级、三级、四级……研究得出规律：从第三级开始，每一级上楼梯的方式等于它前两级上楼梯的方式的和，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，1级：1种； 2级：2种； 3级：（种）； 4级：（种）； 5级：（种）； 6级：（种）； 7级：（种）； 8级：（种）； 9级：（种）； 故答案为：55． 8. ，，，为互不相等的有理数，且，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是绝对值的几何意义，解题关键是分类讨论． 根据已知条件确定，，，之间的关系，然后利用分情况讨论得出的值． 【详解】解：、、、为互不相等的四个有理数， 且，， ，或，， 当，，时， 或， 又，，，互不相等，， ，则； 当，，时，或， 又， ，则， 综上，． 故答案为：． 9. 已知的三边长，，都是整数，且满足与的值互为相反数，那么该三角形的周长等于 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义、绝对值的非负性、平方的非负性得出，，的关系式，分别用表示出、后，结合三角形的三边关系求出的整数解，找出符合题意的取值后即可求出三角形的周长． 【详解】解：与的值互为相反数， 又，， ，， 即， ，， 由三角形三边关系可知，且， 即且， 解得且， 则， 或或， 时，，，满足题意； 或时，，都不是整数，不符合题意； 则该三角形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是绝对值的非负性、平方的非负性、三角形三边关系、解一元一次不等式，解题关键是结合三角形三边关系找出的可能取值． 10. 已知，求的最大值与最小值的差_____________． 【答案】 【解析】 【分析】表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． ∴的最大值为15，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 11. 如图中，一共能数出 _______个长方形． 【答案】63 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，枚举法，熟练掌握用枚举法分析问题是解题的关键．将长方形分解成小长方形的组成个数来分类，求出每一类中长方形的个数，再求和即可． 【详解】解：由单个小长方形组成的长方形有13个， 由2个小长方形组成的长方形中，横向排列的有10个，纵向排列的有8个，共18个， 由3个小长方形组成的长方形中，横向排列的有7个，纵向排列的有3个，共10个， 由4个小长方形组成的长方形中，一字排列的有4个，按田字排列的有6个，共10个， 由5个小长方形组成的长方形有2个， 由6个小长方形组成的长方形中，排成两行，每行3个的排列有4个，排成两列，每列3个的排列有2个，共6个， 由8个小长方形组成的长方形有2个， 由9个小长方形组成的长方形有1个， 由10个小长方形组成的长方形有1个， 所以共有． 故答案为：63． 12. 在三个圆A，B，C中分别有13，17，18个点，同时在圆A和B中有4个点，同时在圆A和C中有7个点，同时在圆B和C中有5个点，同时在三个圆中有2个点．则在三个圆中共有_______个点． 【答案】34 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的图形类规律探索，正确理解题意是解题的关键．根据题意作出图形即可求解． 【详解】解：如图，根据题意作出图形，则在三个圆中共有34个点， 故答案为：34． 13. 如图，把三角形的边延长到D，使为的3倍，把边延长到E，使为的2倍，把边延长到F，使等于．已知的面积是1，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与中线有关的面积问题，三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形，以及，得，因为，所以，再结合面积之间关系列式代入数值化简，得，即可作答． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 则 ∵，的面积是1， ∴ ∴ 解得． 故答案为： 14. 如图，已知，若以，，，，为边的各角之和等于，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了角的计算，理解题意，准确识图，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．以为一边的角有：，，，，以为一边的角有：，，，以为一边的角有：，，以为一边的角有：，再根据以，，，，为边的各角之和等于，列式求解即可． 【详解】解：以为一边的角有：，，，， 以为一边的角有：，，， 以为一边的角有：，， 以为一边的角有：， 又∵以，，，，为边的各角之和等于， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 15. 从变电站到五羊医院的输电线路有一处发生故障，外表看不出，需派人爬到电线杆顶检查．每次检查都可以发现故障出现在线路哪一端．如果输电线路中共有根电线杆．为加速查出在哪两根相邻电线杆之间，每次派人爬上杆顶，则在最佳方案中，最多_____次便可以确保查明故障所在． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三分法，每次检查可派人同时爬上两根电线杆顶，通过检测电流（有电或无电）可判断故障位置． 【详解】每次选择两个检查点（电线杆），将线路分为段 根据两个检查点的检测结果（有电或无电），可确定故障在哪一段： 若两个点都有电，故障在第二个点之后；若第一个点有电、第二个点无电，故障在两个点之间；若两个点都无电，故障在第一个点之前； 输电线路有根电线杆，相邻杆之间的线段数为， 第次后，，但是问题是关于最佳方案的最多次数，不会是那段，，一定是那段 同理： 第次后，，所以剩余最多条； 第次后，，所以剩余最多条； 第次后，，所以剩余最多条； 第次后，，因此可确定具体故障线段（因剩余不超过条，一次检查即可区分）． 故答案为：． 三、解答题（共5小题，总分55分） 16. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）885 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数加减法的简便运算，含乘方的有理数的混合运算，利用高斯求和及分数的拆项是解题的关键． （1）先计算每一个括号内的加法，在利用高斯求和计算即可； （2）先化简每一个括号内的算式，然后将每一个分数拆项，再求和即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 两个9位整数相乘：，求乘积的各位数字之和是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘法，有理数的加法，弄清题中的规律是解本题的关键．归纳总结得到一般性规律，求出乘积的各位数字之和即可． 【详解】解：，数字之和为， ，数字之和为， ，数字之和为， 依次类推， 乘积的各位数字之和为：． 18. 在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“”“”号，如果可使其和为n，就称数n是“可被看出的数”，否则称n是“不可被看出的数（如1是可看出的数，这是因为是1的一种可看出的方法）． （1）证明：7是可看出的数，而8是不可看出的数； （2）求25是可看出的数的不同方法的种数． 【答案】 （1）证明：因，所以7是可表出的数．又是奇数，而对任意两个整数，它们的和与差有相同的奇偶性，因此，无论怎样填“”“”号，所得代数和一定是奇数，所以偶数8是不可表出的数． （2）9 【解析】 【分析】 【详解】（1）略 （2）设填“”号的数字和为x，填“”号的数字和为y，则．又，解得．又，故填“”号的数至少2个，至多4个，并且填“”号的数字和等于10．故只要从1到9中选出若干数，使其和等于10，这种不同选法的种数就是25可表示的不同方法的种数． （i）10表示或2个不同正整数之和：，有4种方法； （ii）10表示成3个不同或整数之和：，有4种方法； （iii）10表示成4个不同正整数之和：，只有1种方法． 综上所述，25可被表出的不同方法有（种）． 19. 某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离． 【答案】甲、乙两地之间的距离为9千米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设山路长为，平路长为，根据先下山后走平路，到乙地用了，后回到甲地用了，列方程组求解． 【详解】解：设山路长为，平路长为， 由题意得，， 解得：， 则． 答：甲、乙两地之间的距离为9千米． 20. 、两地相距千米，甲、乙两人分别从，同时出发，各在，间往返一次，甲比乙先回到出发地，两人第一次在地迎面相遇，第二次在地迎面相遇，从出发到两人第二次相遇经过的时间为小时分钟，若两地相距千米，求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时． 【解析】 【分析】设甲、乙两人第一次相遇时，甲行的路程为千米，则甲、乙第二次相遇时，甲行的总路程为千米，根据题意可列出方程，求解方程，即可得到甲、乙第一次相遇时，甲行的路程和乙行的路程，然后再求出甲、乙合走一个全程需要的时间，用路程时间速度的公式，即可得出结果．本题考查的是列代数式，理解题意并正确列代数式是解题的关键． 【详解】解∶设甲、乙两人第一次相遇时，甲行的路程为千米，则甲、乙第二次相遇时，甲行的总路程为千米， 根据题意可列出方程：， 解得：，即甲、乙第一次相遇时，甲行千米，乙行（千米）， 3小时20分小时， 甲、乙合走一个全程需要的时间为（时）， 故甲的速度为（千米/时），乙的速度为（千米/时）， 答：甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $