福建省福州市2025-2026学年高三第一次质量检测数学试卷

2025-2026学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 3. 一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（ ） A. B. C. 2 D. 18 4. 若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与交于点.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，各二项式系数的和为256，则（ ） A. B. 展开式中各项系数的和为 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中的系数为16 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为是上异于的一个动点，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. 当时， D. 直线与恰有一个公共点 11. 在中，，点为内一点，的延长线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在处的切线斜率为3，则实数______. 13. 已知两直线与被圆所截得的弦长相等，则圆的圆心可以是______，半径可以是______.（写出一组满足条件的结果即可） 14. 已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，点，分别为棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）点为线段上的点，且满足平面. （i）确定点在上的位置； （ii）若，求直线与直线所成角的余弦值. 18. 已知函数. （1）证明：曲线是轴对称图形； （2）若，求的值； （3）若恰有4个极值点，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，，椭圆的长轴长等于，离心率为. （1）求的方程； （2）设直线为椭圆短轴上的动点（不落在短轴的两端点），过作轴的垂线交于两点.直线与的另一个交点为，且与交于点；直线与的另一个交点为，且与交于点. （i）试探究直线是否经过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）当位于轴上方时，求的取值范围. 2025-2026学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，写出圆心在直线上，半径大于都对）. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：连接，如图所示. 因为四棱锥的底面为矩形，，点为棱的中点， 所以，且，所以，同理， 所以，即. 因为平面平面，所以. 又因为，且平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面， 即平面平面. （方法二）证明：因为四棱锥的底面为矩形，且平面， 故以点为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则所以 令，得； 设平面的法向量为， 则所以 令，得； 所以，所以， 所以平面平面； （2）（i）点为的一个三等分点，靠近点的位置（ii） 【18题答案】 【答案】（1） 的定义域， 对任意，都有，且， 所以为偶函数，曲线是轴对称图形，对称轴为轴； （2）1； （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）是，（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $