精品解析：广东省揭阳市第一中学榕江新城学校、惠来县第一中学两校联考2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试题

2025-2026学年第一学期摸底考试（两校联考）高三数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个 2. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 5. 设，随机变量的分布列为： 0 1 则当在上增大时（ ） A. 单调递增，最大值为 B. 先增后减，最大值为 C. 单调递减，最小值为 D. 先减后增，最小值为 6. 为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳.据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有（ ）分钟.（参考数据：，，，） A. 22.828 B. 9.172 C. 21.172 D. 21.477 7. 已知函数．若，则实数a取值范围为（ ） A. B. C D. 8. 已知函数,若，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知对数函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则______. 13. 设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是_______． 14. 已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合{方程表示圆锥曲线C} （1）若圆锥曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，求实数a的取值范围； （2）若圆锥曲线C表示双曲线，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若，求的面积的最大值. 17. 设各项均为正数的等差数列的前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，且. ①证明数列等比数列； ②若集合，求实数k的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性 （2）若函数有一个大于的零点，求实数的取值范围； （3）若，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年第一学期摸底考试（两校联考）高三数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个 【答案】B 【解析】 【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合为，由交集，补集的概念可得结果. 【详解】由题意，集合， ，所以阴影部分表示的集合为， 有个元素. 故选：B 2. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义列式求解即可. 【详解】由奇函数的定义得， 故选：D. 3. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式及诱导公式可求的值. 【详解】, 故选：B. 4. 已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，，对于A，根据基本不等式可得即可判断；对于B，利用换元法可得；对于C，根据换元法得，再利用配方可得最值；对于D，由“1”的妙用求解即可. 【详解】由题知，即，且， 对于A，，当，即时取等， 所以ab的最大值为2，故A错误； 对于B，，又，所以，故B错误； 对于C，， 当时取等，所以的最小值为，故C正确； 对于D，， 当时，即时取等，所以的最小值为，故D错误. 故选：C. 5. 设，随机变量的分布列为： 0 1 则当在上增大时（ ） A. 单调递增，最大值为 B. 先增后减，最大值为 C. 单调递减，最小值为 D. 先减后增，最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得. 【详解】由题知，解得， 所以 所以 由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有最小值. 故选：D 6. 为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳.据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有（ ）分钟.（参考数据：，，，） A. 22.828 B. 9.172 C. 21.172 D. 21.477 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象求出分段函数的解析式，根据题意列出不等式，求解相关不等式，可求出最佳时间段. 【详解】由题意可设， 由图象得,所以. 又因为,所以, 要使学习效率最佳，需,所以或. 解得：或, 所以， 因为 所以最佳的时间共有22.828分钟. 故选：A. 7. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过对变量替换，即令，将原函数变为，通过求导判断的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为，最终求解一元二次不等式. 【详解】令，则原函数可改写为：， 定义辅助函数，则， 由，故是奇函数， ，又（当且仅当时取等号），且,, 因此，上严格递增， 原不等式转化为：，即， 因为为奇函数，即，所以， 又在上严格递增，故，所以，得， 故选：A 8. 已知函数,若，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的简图，结合绝对值及对数的运算性质，逐个分析，判断正误，得到答案. 【详解】函数的简图如下： 若，且， 则有. 且, 因为简图如下： 所以，,, 所以即所以所以①正确； 所以，.所以③错误； 因为,所以, 所以,则，即.所以②错误； 因为所以，. 所以.所以④正确. 因此，正确的有①④，正确的个数为2. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知对数函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】设，且，将点代入，得，解得，所以．因此． 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特值可判断A；利用函数单调性判断BC；作差法判断D. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题； 对于B，因为函数在上单调递增，若，则，故B是真命题； 对于C，若，因为函数在上单调递增， 所以，故C是真命题； 对于D，若，则， 所以，故D是真命题. 故选：BCD. 11. 设函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法推导可得数列的特性，计算判断AB；取，再取，结合奇函数定义判断C；由选项C的结论，结合等差数列求和判断D. 【详解】函数的定义域为，且， 对于AB，取，则， 因此数列是以为首项，公差为1的等差数列，， 则，，AB正确； 对于C，由，得，取，得， 取，得，即，因此，是奇函数，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算可得和，即可求解. 【详解】解：因为，，所以， 因为，所以，所以，即， 所以，，则 故答案为： 13. 设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，判断或 或即可得解. 【详解】由题意的解集不包含，或的解集不包含2， 所以或 或， 解得，或或， 故答案为：. 14. 已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 “若，使得”转换为集合交集非空，分别根据导数求，的值域，进一步求出答案. 【详解】因为 所以 当，，所以单调递减， 因为，所以， 当，，所以单调递增， 因为，使得， 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题. 本题主要是转换的思想，“若，使得”可以转换为集合交集非空. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合{方程表示圆锥曲线C} （1）若圆锥曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，求实数a的取值范围； （2）若圆锥曲线C表示双曲线，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的标准方程，求出的范围； （2）再确定集合，由双曲线的标准方程得集合，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出的不等关系，求得结论． 【详解】（1）由方程表示的曲线是表示焦点在x轴上的椭圆 ∴， ∴ 解不等式可得 方程表示的曲线是双曲线 ∴， ∴或 因为A是B的充分不必要条件 所以是的真子集 所以或 解得或 所以a的取值范围是或． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于消去角A，然后通过和差公式展开化简可得； （2）余弦定理结合基本不等式可得ac最大值，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 即， 整理得， 又，所以，所以， 即，又， 所以，即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得 ， 所以，当且仅当时取等号， 所以，故的面积的最大值为. 17. 设各项均为正数的等差数列的前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，且. ①证明数列是等比数列； ②若集合，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）①见详解；②. 【解析】 【分析】(1)设等差数列的公差为，根据已知条件列出关于和的方程组，解方程组可得和，进而得到数列的通项公式.特别注意等差数列各项均为正数. (2)根据及，得到与关系式，构造与的关系，并求出，即证明数列是等比数列.对于②，将集合进行转化，得无正整数解，分离参数转化为不等式恒成立问题．研究相关函数的最值，可得到实数k的取值范围. 【小问1详解】 解：因为等差数列的各项均为正数，所以设其公差为 则由题可知:,整理得,所以(舍)或. 所以，所以 所以数列的通项公式为：. 【小问2详解】 ①证明:因为， 当时，，所以， 当时，， 因为当时，,所以, 所以, 所以，, 所以，数列是以-1为首项，以为公比的等比数列. ②由（1）知，；由①知，,即. 因为集合，所以无正整数解， 即无正整数解，即,恒成立. 令， 则， 令,其对称轴为, 因为,所以当时，单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为. 因为所以. 因为, 所以存在， 因为,所以当时，，所以，单调递增. 当时，,所以恒成立，单调递减. 因为,且 所以当时，取得最大值，最大值为.所以 所以实数k的取值范围是:. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，先用线面垂直的性质定理和判定定理得出平面，再用线面垂直的性质定理得出所证结论. （2）用线面垂直的判定定理得出平面，进而得到，结合已知得出，根据相似三角形对应线段成比例得出结论. （3）以为原点建系，设出，的长度，表示出平面的法向量，再用含的式子表示，进而将所给线面角表示为关于的函数表达式，借助函数在区间内有解得出长度的取值范围. 【小问1详解】 平面，平面， ， 又，， 平面， 平面， ， 又，， 平面， 平面， . 【小问2详解】 由（1）可知，又，， 平面， 平面， ， 由（1）可知，在中，， . 与相似，则， 在中，，， ，. . 【小问3详解】 以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系. ，， 不妨设，，，， 即， 由知， 于是，，，， 设，则，， 由可得， ，. ，， 设平面的一个法向量为，于是 令，得，， 平面的一个法向量为， ， 结合，化简得， 设，， 要存在，使与平面所成角为， 在上有零点. 结合知函数图象的对称轴， 故， 又， 只需满足，解得. 的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问中，可将用到的线段长度设两个未知量，表示，再用勾股定理消掉一个未知量，将题中所给线面角度关系表示为含和的函数关系式，因为，可将看作主元，将所求问题变为求函数在区间内有解问题，进而得到结果. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性 （2）若函数有一个大于的零点，求实数的取值范围； （3）若，且，求证：. 【答案】（1）答案见解析.（2）.（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导后，分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调性； （2）当和时，根据函数的单调性和，可知不满足题意；当时，得到函数单调性；由，利用导数证得，根据零点存在定理可知有一个大于的零点，满足题意，由此得到结果； （3）由（2）可知，将所证不等式转化为，令，利用导数可说明，由此证得结论. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知：当时，且单调递增，不存在大于的零点. 当，即时，在上单调递减，又， 在上恒成立，无零点，不符合题意. 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ，， 令，设，则， ，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即， 在上无零点，在上有唯一零点，即有一个大于的零点； 综上所述：满足条件的实数的取值范围是. （3）证明：由（2）得：且， 由知：要证，即证， 即证， 令，则， 在上单调递增，， ，由此证得：. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数解决函数零点的问题、不等式的证明问题；本题证明问题的关键是能够通过分析法将所证不等式转化为仅有一个变量的形式，通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$