精品解析：贵阳市花溪区磊庄中学2024-2025学年 八年级下学期3月质量监测数学试卷

贵阳市花溪区磊庄中学2024-2025学年度八年级下学期3月质量监测 数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下面四组数中是勾股数的一组是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 6，8，10 C. 5，11，12 D. 10，20，26 2. 下列说法中不正确的是（ ） A. 有一腰长相等的两个等腰三角形全等 B. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 C. 斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等 D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 3. 若直角三角形中的两个锐角之差为，则较小的一个锐角的度数是( ). A. B. C. D. 4. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4cm，最长边AB的长是( ) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 5. 直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于( ) A. 13 B. 12 C. 10 D. 5 6. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 8. 如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　） A. B. 10 C. D. 12 9. 已知△ABC的三边长为a，b，c，且分别满足下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A＝2∠B＝3∠C；③a2＋b2＝c2；④∠A＝∠B＝∠C；⑤a2－b2＝c2；⑥a＝，b＝2，c＝1，以上条件中可以判定△ABC为直角三角形的个数( ) A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 10. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.CD＝3，则BC的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 6 D. 3 12. 如图，三角形中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 如图，AB∥CD，AE⊥AC，∠ACE=65°，则∠BAE的度数为_____． 14. 如图，平分，，，于点，，则__________． 15. 如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m，如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了______ m. 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 三、解答题（共98分） 17. （1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ （2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 18. 已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD长． 19. 如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC平分线相交于CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF=AB. 20. 如图，△ABC中，D是AC的中点，且BD＝AC，已知AB＝3，∠CBD＝30°，求AC的长． 21. 如图，某公司(A点)与公路(直线l)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离． 22. 如图，在和中，，，与相交于点O． （1）求证：； （2）是何种三角形？证明你的结论． 23. 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． （1）已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证． （2）并写出证明过程． 24. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF. 证明:(1)△AED≌△AEF； (2)BE 2＋DC 2＝DE 2. 25. 如图所示，平分，，，于E点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市花溪区磊庄中学2024-2025学年度八年级下学期3月质量监测 数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下面四组数中是勾股数的一组是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 6，8，10 C. 5，11，12 D. 10，20，26 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义解答即可；掌握勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方成为解题的关键． 【详解】解：A、，但不是正整数，故选项错误； B、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确． C、，不能构成直角三角形，故选项错误； D、，不能构成直角三角形，故选项错误； 故选B． 2. 下列说法中不正确的是（ ） A. 有一腰长相等的两个等腰三角形全等 B. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 C. 斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等 D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 【答案】A 【解析】 【详解】有一腰长相等的两个三角形不一定全等，缺少底边相等或者顶角相等的条件，故A错误，故选A 3. 若直角三角形中的两个锐角之差为，则较小的一个锐角的度数是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，利用余角进行计算，设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为，利用一元一次方程解答即可 【详解】解：直角三角形两个锐角的和是， 设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为， 得：， 得：， 故选B． 4. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4cm，最长边AB的长是( ) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 【答案】D 【解析】 【详解】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+2x+3x=180°， 解得x=30°， 即∠A=30°，∠C=3×30°=90°， 即△ABC为直角三角形， ∵∠C=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC=2×4=8cm， 故选D． 5. 直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于( ) A 13 B. 12 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，然后根据勾股定理即可求出另一直角边的长． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5， ∴其斜边长为2×6.5=13， ∴另一条直角边长==12． 故选B． 【点睛】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 6. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C． 7. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 8. 如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　） A. B. 10 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查直角三角形斜边上中线与斜边的关系和等腰三角形的特性．因为AE平分∠BAC交BC于点E，所以BE=4,又因为点D为AB的中点，所以DE=BD=3,故△BDE的周长是3+3+4=10，B选项正确． 9. 已知△ABC的三边长为a，b，c，且分别满足下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A＝2∠B＝3∠C；③a2＋b2＝c2；④∠A＝∠B＝∠C；⑤a2－b2＝c2；⑥a＝，b＝2，c＝1，以上条件中可以判定△ABC为直角三角形的个数( ) A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①∠A+∠B=∠C=90°，△ABC是直角三角形，故正确； ②∵∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，∴3∠C+∠C+∠C=180°，解得∠C=，∴∠A=3∠C=，所以错误; ③a2＋b2＝c2,根据勾股定理的逆定理知本选项正确; ④设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故3x=90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确; ⑤a2-c2=b2,根据勾股定理的逆定理知本选项正确； ⑥a＝，b＝2，c＝1， 12+()2＝22，是直角三角形，正确. 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 10. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理计算即可． 【详解】解：有三个正方形a，b，c， ， ， ， ，， ， ， 在中，勾股定理得：， ． 故选C． 11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.CD＝3，则BC的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD,可得∠DAE=,易得∠ADC=, ∠CAD=,则AD为∠BAC的角平分线,由角平分线的性质得DE=CD=3,再根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE,得结果. 【详解】解:DE是AB的垂直平分线,AD=BD, ∠DAE=∠B=, ∠ADC=, ∠CAD=, AD为∠BAC角平分线,. ∠C=,DE⊥AB, DE=CD=3, ∠B=, BD=2DE=6, BC=9, 所以B选项是正确的. 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键. 12. 如图，三角形中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，根据垂直的定义、等腰三角形的性质判断；结合题意判断；根据线段垂直平分线的判定定理判断；根据三角形的面积公式判断，即可． 【详解】解：的平分线交于点，，， ，， ， ，故正确； 不一定等于， 一定平行，故错误． ， ， 又， 垂直平分，故正确； ，故正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和判定、平行线的判定，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 如图，AB∥CD，AE⊥AC，∠ACE=65°，则∠BAE的度数为_____． 【答案】25° 【解析】 【详解】∵AB∥CD， ∴∠BAC=180°﹣∠ACE=115°， ∵AE⊥AC， ∴∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=25°， 故答案为25°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补. 14. 如图，平分，，，于点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，能够熟练运用性质是解题关键．过作于，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得． 【详解】 解：如图，过作于， ∵，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴， 故答案是：． 15. 如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m，如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了______ m. 【答案】8 【解析】 【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题． 【详解】解：由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米， 在直角△ABC中，AC为直角边， ∴AC==24米， 已知AD=4米，则CD=24-4=20米， 在直角△CDE中，CE为直角边, ∴CE==15米， BE=15米-7米=8米． 故答案为8． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案． 【详解】解： ， 如图，连结 由作图可得：是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键． 三、解答题（共98分） 17. （1）一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ （2）1876年，美国总统利用图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 【答案】（1）10尺；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）设竹竿长为x尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）用两种方法表示出梯形的面积，然后得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：设竹竿长为x尺， ， 解得， 答：竹竿长10尺． （2）解：梯形的面积为： ， 或， 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 18. 已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长． 【答案】AB=10，CD=4.8. 【解析】 【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足D，BC=6，AC=8， 由勾股定理得：AB==10． ∵S△ABC=AB•CD=AC•BC， ∴CD===48． 19. 如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF=AB. 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先利用角平分线的性质证明△ABE是直角三角形，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论即可. 【详解】证明：∵AE、BE分别平分∠DAB和∠ABC， ∴∠DAB=2∠EAB，∠ABC=2∠ABE. ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∴2∠EAB+2∠ABE=180°. ∴∠EAB+∠ABE=90°. ∴∠AEB=90°. ∴△AEB是直角三角形. ∵F为AB边的中点， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查了直角三角形的判定以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质运用. 20. 如图，△ABC中，D是AC的中点，且BD＝AC，已知AB＝3，∠CBD＝30°，求AC的长． 【答案】AC＝6. 【解析】 【分析】先证得△ABC为直角三角形,再根据直角三角形中30º的角所对应的边是斜边的一半即可求出. 【详解】∵D是AC的中点， ∴CD＝AC＝AD， ∵BD＝AC， ∴CD＝AD＝BD， ∴∠1＝∠C，∠2＝∠A， ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∠ABC＝∠1＋∠2， ∴∠A＋∠C＋∠1＋∠2＝180°， ∴2(∠A＋∠C)＝180°， ∴∠A＋∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形． 又∵CD＝BD， ∴∠C＝∠CBD＝30°， ∴在Rt△ABC中，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝2×3＝6. 【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，能求出△ABC为直角三角形是解此题的关键． 21. 如图，某公司(A点)与公路(直线l)的距离为300米，又与公路车站(D点)的距离为500米，现要在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离． 【答案】312.5米 【解析】 【分析】作出点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得长，那么根据直角三角形的各边利用勾股定理即可求得物流站与车站之间的距离． 【详解】解：作于， 则米，米． 由勾股定理得：， 米． ∵在公路边建一个物流站(C点)，使之与该公司A及车站D的距离相等， ∴， 设米，则米， 在直角三角形中，由勾股定理，得 即， ， ， ． 答：物流站与车站之间的距离为312.5米． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解． 22. 如图，在和中，，，与相交于点O． （1）求证：； （2）是何种三角形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 23. 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． （1）已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证． （2）并写出证明过程． 【答案】（1），，垂足分别为、； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据文字描述证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，结合已知图形即可写出已知和求证； （2）根据，，得到，从而利用两个三角形全等的判定定理得到，最后利用两个全等三角形的对应边相等得到． 【小问1详解】 解：已知：如图，，点在上，，垂足分别为、； 求证：． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的解法步骤，涉及文字描述的几何证明题的已知和求证的书写、两个三角形全等的判定与性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理及相关性质是解决问题的关键． 24. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF. 证明:(1)△AED≌△AEF； (2)BE 2＋DC 2＝DE 2. 【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析. 【解析】 【分析】（1）易证∠FAE=45°，即可证明△AED≌△AEF，即可解题； （2）求出∠FBE=90°，再利用勾股定理列式整理即可得证． 【详解】(1)由题意，得AD＝AF，∠DAF＝90°，DC＝BF. 又∠DAE＝45°， ∴∠EAF＝45°, 在△ADE和△AFE中, ∴△ADE≌△AFE. (2)由△ADE≌△AFE， ∴DE＝EF 由∠BAC＝90°，得∠ABC＋∠ACB＝90°， 即∠FBA＋∠ABC＝90°， ∴∠FBE＝90° ∴BF2＋BE2＝EF2 即BE2＋DC2＝DE2. 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并准确识图，理清图中各角度和边之间的关系是解题的关键． 25. 如图所示，平分，，，于E点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）17 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过C点作，交的延长线于F点，先根据角平分线的性质定理，证明，再证明和，得到，，即可通过等量代换证明结论； （2）先根据（1）的结论求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：过C点作，交的延长线于F点， 平分， ，， ， 又，， ， ， ，，， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， 在中，， 又， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $