精品解析：贵州省贵阳市美的中学2024-2025学年八年级下学期6月质量监测数学试卷

贵州省贵阳市美的中学2024-2025学年度八年级下学期6月质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形的对角线长为，其中一边长为，则该矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则等于（　　） A. B. C. D. 4. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. C. 6，8，10 D. 5，12，13 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长?若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动，表列出了随机抽取的名学生一周参与志愿者活动的时间情况： 参与志愿者活动的时间（小时） 参与志愿者活动的人数（人） 根据表中数据，下列说法中不正确的是（    ） A. 表中的值为 B. 这组数据的众数是人 C. 这组数据的中位数是小时 D. 这组数据的平均数是小时 8. 直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　） A. 5 B. 7 C. 25 D. 25或7 9. 已知正比例函数（k为常数且），若y的值随着x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一次函数（，为常数，且）表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ） … 0 1 2 3 … … 1 4 8 10 … A. 1 B. 4 C. 8 D. 10 11. 如图，点是平行四边形对角线的交点，，、是边上的点，满足；、是边上的点，满足，、分别表示和的面积，则与之间的等量关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______ ． 14. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学竞赛，那么应选_____同学． 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方差 4.2 4.2 5.4 5.8 15. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 16. 如图，，，，…都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 实数，在数轴上的位置如图所示： （1）化简：______，______ （2）化简求值：，其中，． 19. 已知一次函数的图象过点与点． （1）求这个一次函数的解析式． （2）若这个一次函数的图象与直线的交点为，求交点的坐标． 20. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求证：． （2）求需要绿化的空地的面积． 21. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业，睡眠，手机，读物，体质的管理．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次共抽查学生______人，并将条形统计图补充完整． （2）这部分学生的平均睡眠时间的众数为______小时，中位数为______小时． （3）如果该校共有学生1200名，请你估计平均睡眠时间少于8小时的学生人数． 22. 如图，正方形，连接，是边上一点，连接、，交于点，连接． （1）求证：； （2）当是的中点时，请判断与的位置关系，并证明你的判断． 23. 我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高500元，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元； （2）该校计划购买两种设备共50台，且型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并结合的取值范围求出费用最少的购买方案？ 24. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB． （1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论； （2）求EF的最大值与最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，点为点关于轴的对称点，连接． （1）求直线的解析式； （2）点为直线上一动点，且满足，求点的坐标； （3）点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省贵阳市美的中学2024-2025学年度八年级下学期6月质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】由题意得：x+2≥0， 解得：x≥−2， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 矩形的对角线长为，其中一边长为，则该矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，根据勾股定理可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，矩形，对角线，， ∴， 在中，， ∴该矩形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识是解题的关键． 3. 如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质． 利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果． 【详解】解：∵和的中点分别是点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 6. 《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长?若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动，表列出了随机抽取的名学生一周参与志愿者活动的时间情况： 参与志愿者活动的时间（小时） 参与志愿者活动的人数（人） 根据表中数据，下列说法中不正确的是（    ） A. 表中的值为 B. 这组数据的众数是人 C. 这组数据的中位数是小时 D. 这组数据的平均数是小时 【答案】B 【解析】 【分析】用分别减去其它组的频数可得的值，再根据众数、中位数以及加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：A．由题意看得，，故选项A不符合题意； B．这组数据中出现的次数最多，故众数是小时，故选项B符合题意； C．将志愿者活动时间从小到大进行排序，排在中间位置的两个数都是， ∴这组数据的中位数是（小时），故选项C不符合题意； D．这组数据的平均数是（小时），故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查加权平均数、众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 8. 直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　） A. 5 B. 7 C. 25 D. 25或7 【答案】D 【解析】 【分析】此题有两种情况：①当a，b为直角边，c为斜边，由勾股定理求出c2即可；②当a，c为直角边，b为斜边，利用勾股定理即可求解；即可得出结论． 【详解】解：当b为直角边时，c2＝a2+b2＝25， 当b为斜边时，c2＝b2﹣a2＝7， 故选D． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握；解答此题要用分类讨论的思想，学生容易忽略a，c为直角边，b为斜边时这种情况，很容易选A，因此此题是一道易错题． 9. 已知正比例函数（k为常数且），若y的值随着x值的增大而增大，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，可得，从而可以判断一次函数图象经过第一、三、四象限． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图像经过第一、三、四象限， 故选：C 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键在于能够求出． 10. 对于一次函数（，为常数，且）表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ） … 0 1 2 3 … … 1 4 8 10 … A. 1 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】经过观察5组自变量和相应的函数值得（-1，-2），（0，1），（1，4），（3，10）符合解析式y=3x+1，（2，8）不符合，即可判定． 【详解】解：把（-1，-2）和（0，1）代入得， ， 解得，， ∴一次函数的解析式为：y=3x+1， ∵（-1，-2），（0，1），（1，4），（3，10）符合解析式y=3x+1，当x=2时，y=7≠8， ∴这个计算有误的函数值是8， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解决本题的关键． 11. 如图，点是平行四边形对角线的交点，，、是边上的点，满足；、是边上的点，满足，、分别表示和的面积，则与之间的等量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，，再由点是平行四边形对角线的交点，可得，即可解答． 【详解】连接，，， ∵，， ∴，， ∵点是平行四边形对角线的交点， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的概念，熟练掌握其性质是解题的关键． 12. 如图所示，四边形为正方形，边长为6，点A，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查线段最垂直平分线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟知正方形的对称性与勾股定理的运用是解题的关键． 连接，由正方形的性质得垂直平分，连接交于P点，然后说明最小值为，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，A点关于直线的对称点C，连接交于P点， ∴， ∴， ∴当C、P、D三点共线时，最小，最小为， ∵， ∴， ∵， ∴最小值为． 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，根据题意可知这两个最简二次根式是同类二次根式，然后列出方程求解即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 14. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学竞赛，那么应选_____同学． 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方差 4.2 4.2 5.4 5.8 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定.于是应选平均数较大、方差较小的同学参赛． 【详解】解：∵乙的平均数较大且方差较小， ∴应选乙同学， 故答案为：乙． 15. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，，，…都是边长为的等边三角形，点在轴上，点，，，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与等边三角形的综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征并找出坐标之间的规律是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，利用待定系数法求出函数解析式，进一步可得，，按照上面的规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，，，…都是边长为的等边三角形， ∴， 过点作轴于点，如图所示： ∴为的中点， ∴， 根据勾股定理，可得， ∴， 把点代入中，得， ∴直线的解析式为， ∴，，… ∴． 按照此规律，可得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： = ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 18. 实数，在数轴上的位置如图所示： （1）化简：______，______ （2）化简求值：，其中，． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、实数与数轴； （1）根据数轴得到，，再根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，把的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：由数轴可知：，， ， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，， ，，， 原式 ， 当，时，原式． 19. 已知一次函数的图象过点与点． （1）求这个一次函数的解析式． （2）若这个一次函数的图象与直线的交点为，求交点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）联立方程求解即可得出交点坐标． 【小问1详解】 解：设这个一次函数的解析式为， ∵的图象过点与点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∴交点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数解析式，一次函数的图象，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 20. 如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求证：． （2）求需要绿化的空地的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业，睡眠，手机，读物，体质的管理．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次共抽查学生______人，并将条形统计图补充完整． （2）这部分学生的平均睡眠时间的众数为______小时，中位数为______小时． （3）如果该校共有学生1200名，请你估计平均睡眠时间少于8小时的学生人数． 【答案】（1）60； 补全条形图如下： （2）7，7 （3）780人 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算并补全图形即可； （2）根据众数，中位数的定义即可得到结论； （4）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 所抽查的学生人数为：人； 学生每天的平均睡眠时间为8小时的学生人数为：（人）； 故答案为：60； 【小问2详解】 这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，中位数为7， 故答案为：7，7； 【小问3详解】 （人） 答：睡眠少于8小时的学生人数约为780人． 【点睛】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 22. 如图，正方形，连接，是边上一点，连接、，交于点，连接． （1）求证：； （2）当是的中点时，请判断与的位置关系，并证明你的判断． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： 如图，设交于点P， ∵， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）先证明，可得，从而得到，进而得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高500元，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元； （2）该校计划购买两种设备共50台，且型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并结合的取值范围求出费用最少的购买方案？ 【答案】（1）型设备单价为3000元 型设备单价为2500元 （2），购买型设备13台，型设备37台，总费用最少 【解析】 【分析】（1）设每台A型设备的价格为x万元，则每台B型号设备的价格为万元，根据“用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可； （2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：设每台A型设备的价格为x元，则每台B型号设备的价格为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每台A型号设备的价格为3000元，则每台B型设备的价格为2500元； 【小问2详解】 解：设购买台型设备，则购买台B型设备， ∴， 由实际意义可知，， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当自然数取最小值13时总费用最小， ∴购买型设备13台，型设备37台，总费用最少． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB． （1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论； （2）求EF的最大值与最小值． 【答案】（1） BE=BF，证明如下： ∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4， ∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形， ∵AE+CF=4， ∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE， 又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°， 在△BDE和△BCF中， DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC, ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴BE=BF； （2）EF的最大值为4，最小值为． 【解析】 【详解】试题分析：（1）AE+CF=4，DF+CF=4，则DF=AE,根据题目已知条件可通过角边角证明,从而证明BE=BF（2）可先证明∆BEF为等边三角形．那么BE=BF=EF,点E在AD上运动，当BE AD时，BE最短，当E与A或D重合时最长． 解：（1）略 （2）∵△BDE≌△BCF， ∴∠EBD=∠FBC， ∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF， ∴∠EBF=∠DBC=60°， 又∵BE=BF， ∴△BEF是正三角形， ∴EF=BE=BF， 当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4， 当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为， ∵EF=BE， ∴EF的最大值为4，最小值为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，点为点关于轴的对称点，连接． （1）求直线的解析式； （2）点为直线上一动点，且满足，求点的坐标； （3）点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数与几何图形综合； （1）先求得直线的解析式，进而得出，根据轴对称的性质求得点的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，设，进而分点在第一象限和第二象限，分别讨论，即可求解； （3）根据菱形的性质，结合坐标系，根据轴对称的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线交轴于点， ∴ 解得：， ∴，, ∵点为点关于轴的对称点，， ∴ 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：依题意， 设， ∵，， ∴， 当时， ∴，解得：； 当时， ∴，解得：， ∴或； 【小问3详解】 解：①当在的延长线上时，点和点的横坐标相等都为， ∴关于对称轴， ∴； ②当与点重合时，关于轴对称， ∴ 综上所述， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $