精品解析：湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二上学期11月测试数学试题（11.10）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中 为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知有8个样本数据分别为4，6，8，10，12，15，21，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 18 3. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 4. 直线：与圆：的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 5. 已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 B. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则的取值范围是 C. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 D. 若圆：上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 11. 在棱长为的正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 过点，，作正方体的截面，则截面面积为 C. 若为线段上一动点(包括端点)，则直线与平面所成角的正弦值的范围为 D. 若为线段上一动点(包括端点)， 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是事件的对立事件，，，，则 __________． 13. 直线的倾斜角的取值范围是______. 14. 在平面直角坐标系中由点发出的一条光线，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为____________. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 16. 某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)中的市民有200人心理测评评价标准 调查评分 [0，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 心理等级 E D C B A （1）求n的值及频率分布直方图中t的值； （2）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50)的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60)的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率； （3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100) 17. 在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点. （1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，，求边上的角平分线长； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中 为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件，利用复数相等，得到，，再根据复数的几何意义即可判断. 【详解】设，则， 由，即， 所以，解得，， 则，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A． 2. 已知有8个样本数据分别为4，6，8，10，12，15，21，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由第三四分位数的计算方法可得结果. 【详解】由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个， 由，所以第三四分位数为. 故选：D. 3. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 4. 直线：与圆：的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定. 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 5. 已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由两圆方程可得公共弦方程，由点在弦上有，进而利用基本不等式求最小值即可. 【详解】圆：和圆：两个方程相减，即可得到两圆的公共弦：， 又点在两圆的公共弦上，即， 则 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为 故选：D. 6. 已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值. 【详解】如图， 设，则， 因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 7. 已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点的轨迹，再设，结合辅助角公式求出即可； 【详解】 由题意可得直线恒过定点，恒过定点， 且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直， 所以点在以线段为直径的圆上运动， ，设， 则， 所以， 所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为. 故选：D. 8. 中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求出，再在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算，解出和，可得出答案． 【详解】中，，，， 则， ，， 又，同理可得：，代入上式， ，解得：， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ） A. 事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”是互斥事件 B. 事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”是对立事件 C. 事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”是相互独立事件 D. 事件“至少有1人投得1点”与事件“甲投得1点且乙没投得2点”是相互独立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的概念，即可判断出选项A、B和C的正误，对于选项D，利用相互独立的概率公式即可判断出结果的正误. 【详解】对于选项A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得1点”与事件“甲投得2点”不可能同时发生，由互斥事件的概念知，所以选项A正确； 对于选项B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得1点”与事件“甲、乙不全投得2点”可以同时发生，所以选项B错误； 对于选项C，因为事件“甲投得1点”与事件“乙投得2点”相互间没有影响，所以选项C正确． 对于选项D，至少一人投6点的事件为M，则， 甲投1点且乙没投得2点事件为N，则为，，，故选项D错误． 故选：AC. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 B. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则的取值范围是 C. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 D. 若圆：上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据直线截距式的概念判断；对B，根据题意可得圆心到直线的距离，满足，运算得解；对C，由题可得是以为直径的圆与圆的公共弦，求出以为直径的圆的方程进而求得公共弦所在的直线方程得解；对D，由题可得以为圆心，为半径的圆与圆相交，利用两圆的位置关系列式运算得解. 【详解】对于A，选项中的直线不能表示截距为 0 的直线，故A错误； 对于B，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离，满足，即，解得或，故B正确； 对于C，因为点为直线上一动点，所以设， 因为过点向圆引两条切线，所以点不能在圆上， 所以，即且， 因为，是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心， 所以，所以点在以为直径的圆上， 即弦是圆和圆的公共弦. 因为圆心的坐标是，且半径， 所以圆的方程为 ， 又， 所以，得， 即公共弦所在的直线方程为， 所以由，得 所以直线过定点，故C正确； 对于D，依题可知以为圆心，为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为，所以  ， 又  ，所以  ，解得  ，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为的正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 过点，，作正方体的截面，则截面面积为 C. 若为线段上一动点(包括端点)，则直线与平面所成角的正弦值的范围为 D. 若为线段上一动点(包括端点)， 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置，求出球的半径，由此可得结论； 对于B：分析可知截面为，其截面正六边形，即可得面积； 对于C：根据体积关系求得点到平面的距离，可得，进而分析范围； 对于D：根据平面性质作截面，设，结合平面几何性质分析求解即可. 【详解】对于选项A：由题意可得：，且平面， 则，即，可知三角形外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的球心为的中点， 可得三棱锥的外接球的半径为， 所以其表面积为，故A错误； 对于选项B：取的中点分别为， 可知过点，，作正方体的截面为，其截面正六边形，边长为 所以其面积为，故B正确； 对于选项C：设点到平面的距离为， 由正方体的性质可得：，不在平面内，平面， 则平面， 当点在线段上运动时，则点到平面的距离即为点到平面的距离， 由的体积可得，解得， 设直线与平面所成角，则， 若为的中点时，，； 当点为线段的端点时，； 即，所以，故C正确； 对于选项D：设， 可知平面即为平面，则， 可得，设， 当时，由相似三角形知识可得：，， 即，， 且当或时，也符合，； 则， 且，可得， 所以的取值范围是，D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积. 2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值； 3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是事件的对立事件，，，，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的性质得出以，再结合计算求解. 【详解】因为， 所以． 又，所以． 故答案为：. 13. 直线的倾斜角的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分，，讨论即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 当时，直线为，； 当时，，当且仅当时取等号， ∴； 当时，， 当且仅当时取等号， ∴，综上可得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中由点发出的一条光线，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设光线的反射点为，到达区域边界的点为，求出点关于直线的对称点，总路程为，要使总路程最短，只需最短，数形结合求解. 【详解】设光线的反射点为，到达区域边界的点为. 由题意，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为， 总路程为，要使总路程最短，只需最短，即点到边界的距离最短. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第一象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第二象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第三象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第四象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 综上，光线经过的最短总路程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【小问1详解】 设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)中的市民有200人心理测评评价标准 调查评分 [0，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 心理等级 E D C B A （1）求n的值及频率分布直方图中t的值； （2）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50)的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60)的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率； （3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100) 【答案】（1） ，t=0.002； （2） ； （3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由如下： 由频率分布直方图可得， 45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7. 估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7， 所以市民心理健康指数平均值为. 所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动. 【解析】 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； （3）利用频率分布直方图的平均数求出平均数即得解. 【小问1详解】 由已知条件可得 又因为每组的小矩形的面职之和为1. 所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002. 【小问2详解】 由(1)知：t=0.002， 所以调查评分在[40，50)中的人数是调查评分在[50，60)中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人， 设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以 所以 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 【小问3详解】 略 17. 在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点. （1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明可得结论，再利用三角形相似可得； （2）建立空间直角坐标系分别求得两平面的法向量，利用面面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 证明：连接，在中，作于点； 因为，可得， 又因为平面，平面，所以； 因为可得， 又，平面，所以平面； 因为平面，所以， 而，平面，可得平面； 易知，，又∽， 可得，即； 即在侧棱上存在一点，使得平面，且； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 由，可得点的坐标为； 由（1）的平面的一个法向量为， 又 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 可得即为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 因此可得， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，，求边上的角平分线长； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得答案； （2）延长交于，延长交于，设，分别求出、，再根据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 又因为，，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则 ，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； 【小问2详解】 延长交于，延长交于，设， 所以，在中， 在中，，，所以， 在中， 同理可得在中，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】（1）， （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【小问1详解】 当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $