浙江省七彩阳光新高考研究联盟（杭州市部分高中）2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考 高三数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对，都有，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 智慧农业又称数字农业或信息农业，通过利用人工智能､机器学习､物联网等技术使农业更加智能化，推动了农业生产变革，同时也促进了高校毕业生等青年的就业.某智慧农场计划招聘一批员工，为了制定更为合理的招聘策略，统计了现有的名员工的年龄（岁）的情况，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（ ） A. B. 这名员工的年龄的众数的估计值为 C. 这名员工的年龄的中位数的估计值为 D. 从这名员工中任选两人，两人的年龄都在内的概率为 10. 已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 点到点的最小距离为 C. 存在直线与曲线有3个交点 D. 满足横､纵坐标均为整数的点有且仅有3个 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最小值为 C. 当时，存在点，使得平面 D. 当时，点到直线的最小距离为 非选择题部分 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，若，则__________. 13. 已知数列的前项积为，，若数列是公差为1的等差数列，则__________. 14. 已知，若函数的图像存在对称轴，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； （2）记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望. 17. 设锐角的内角所对的边分别为，且. （1）若边上的中线长为3，求的面积； （2）若，且，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 定义1：已知向量，我们把称为向量与的叉乘积，记作. 定义2：具有某种共同性质的所有曲线的集合叫做曲线系，曲线系通常用含有参数的方程来表示.例如：以定点为圆心的圆系可以记作. 已知离心率，焦点在轴上的椭圆系，记椭圆的左，右顶点分别为，上顶点为，且. （1）求数列的通项公式； （2）为椭圆上的点，斜率为的直线交椭圆于两点. （i）若直线和的斜率均存在，求直线与的斜率之和； （ii）已知为坐标原点，直线与轴交于点，若.证明：. 2025学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考 高三数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 非选择题部分 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） 如图： 取中点，连接，， 因为为中点，所以且. 又底面为平行四边形，且为中点，所以，且. 所以且，所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 期望为 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：要证明时，，即证明， 令，求导得， 由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以存在，使得，即，可得， 两边取对数得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以 ， 由基本不等式（当且仅当时取等号），则， 因为，所以，即. （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）0； （ii）证明：由（i）可知，所以， ， 因为，所以， 整理得，解得， 因为直线与轴交于点，所以，即； 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $