专项47 不定方程解应用题-小升初奥数思维提升讲义

该小学数学讲义聚焦小升初不定方程解应用题专题，目标是让学生掌握整除法、试错法等五种解题方法，提升用方程思想解决实际问题的能力。通过经典范例点拨思路建立思维模型，巩固提升强化解题能力，综合测试累积考试经验，形成“讲-练-测”系统复习链条。 亮点在于紧密对接小升初实战需求，每种方法配套“例题解析+分层练习”，如用整除法解“苹果装盒问题”时，引导学生抽象13x+6y=137的数量关系，培养运算能力与模型意识。通过试错法、列举法等多样化解题策略，帮助学生从数学角度分析问题，教师可借助资料精准把握考点，提升复习效率。

经典奥数系列——不定方程解应用题 5种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 一、不定方程相关概念。 (1)定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组) (2)不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解。 一般情况下，不定方程的解不唯一。 二、方程思想解应用题。 （1）审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系； （2）用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量； （3）找到题目中的等量关系，建立方程(组)； （4）解方程(组)； （5）通过求到的关键量求得题目最终答案。 【整除法】 【经典例题】甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完。请问:张明共买了多少支铅笔? 【答案】14支或10支 【解析】 1.问题重述。 题目给出条件： （1）甲级铅笔的价格：7角一支 （2）乙级铅笔的价格：3角一支 （3）张明用5元钱（即50角）买这两种铅笔，钱恰好花完。 问：张明共买了多少支铅笔？ 2.理解问题。 首先，我们需要明确以下几点： （1）铅笔有两种：甲级和乙级，价格分别为7角和3角。 （2）张明总共花费了50角，且恰好花完，即没有剩余的钱。 （3）需要求出张明购买这两种铅笔的总数量。 3.设定变量。 为了便于表达，我们可以设： （1）甲级铅笔的数量为𝑥支，乙级铅笔的数量为𝑦支。 （2）根据题意，可以列出以下方程：7x+3y=50 （3）我们的目标是求出x+y的值。 4.我们需要在非负整数范围内解这个方程： 7𝑥+3𝑦=50 可以尝试将其中一个变量用另一个表示： 从方程中解出y： 3𝑦=50−7𝑥 y= 因为y必须是整数，所以50−7x必须能被3整除。我们可以尝试𝑥的值，从0开始，逐步增加，直到7𝑥≤50。 5.让我们计算几个x的值： （1）当x=0时，y=≈16.3（不满足） （2）当x=1时，y=≈14.3（不满足） （3）当x=2时，y==12（满足），x+y=14 （4）当x=3时，y=≈9.6（不满足） （5）当x=4时，y=≈7.3（不满足） （6）当x=5时，y==5（不满足），x+y=10 （7）当x=6时，y=≈2.6（不满足） （8）当x=7时，y=≈0.3（不满足） 6.所以张明共买了14或10支铅笔。 1. 把137个苹果放入礼盒中，每个礼盒都装满。恰好装完而没有剩余。大盒每盒 13 个，小盒每盒6个。需要大盒几个，小盒几个? 2. 大船限坐6人，小船限坐4人，如果26人租船过河，租几条大船和几条小船刚好? 3. 月季花每盆5元，茉莉花每盆3元，如果两种花都买，买几盆月季花和几盆茉莉花共用 27 元? 【试错法】 【经典例题】图中两个矩形的面积之和与为43平方厘米，两个矩形的边长都是整数厘米,求两个矩形的面积之差。 【答案】13平方厘米 【解析】 （1）设长7厘米的矩形宽为x厘米，长5厘米的矩形宽为y厘米，根据面积和公式： 7x+5y=43 （2）由于x和y均为整数，且x≥1（长7厘米的矩形宽度至少为1厘米），通过试错法可得： 当x=4时，y=3（满足整数条件） （3）此时两个矩形的面积分别为7×4=28平方厘米和5×3=15平方厘米，差值为28-15=13平方厘米。 （4）验证： 若将长7厘米的矩形宽设为其他值（如1、2、3），则无法满足面积和为43且长7厘米的矩形宽度为整数的条件。 ‌ 1. 小明有一些1元、5元和10元的硬币,他一共有20个硬币,并且他所拥有的硬币的总面值是45元。请问小明有多少个1元硬币、5元硬币和10元硬币各是多少个? 2. 新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书.已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问:搬书的老师、男生、女生各有多少人? 3. 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖。问:甲、乙二人谁搬的多?多几块? 【列举法】 【经典例题】某地收取电费的标准是:若每月用电不超过50千瓦时，超千瓦时收5角;若超过 50千瓦时,则超出部分按每千瓦时8角收费。某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电? 【答案】51千瓦时，45千瓦时。 【解析】 （1）‌判断用电量范围‌： 由于3元3角既不是5角的倍数（如5×6=30角），也不是8角的倍数（如8×3=24角），说明甲用户用电量超过50千瓦时，而乙用户未超过。 ‌（2）列方程式‌： 设甲用户超出50千瓦时的部分为x千瓦时，乙用户比50千瓦时少用的部分为y千瓦时，则方程为：8x+5y=33‌ ‌（3）通过列举法求解，当x=1、y=5时，满足方程。 ‌（4）计算结果‌： 甲用户总用电量：50+1=51（千瓦时）； 乙用户总用电量：50-5=45（千瓦时）。 1. 一批布长36米，用此布做一套成人衣服用布3米,做一套儿童衣服用布1.6米。要把这批布刚好用完,应做多少套成人衣服?多少套儿童衣服? 2.在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000人，每个航空兵师有 8000人，在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有 27.1万人，如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师? 3.现有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，若把每一个白球都记作数 2，每个红球都记作数 3，则总数为 60，求白球和红球的数量。 【倍数法】 【经典例题】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问:庙里至少有多少个和尚? 【答案】556个。 【解析】 解：设大和尚有7x个，共吃41x个馒头；小和尚有29y个，共吃11y个馒头。根据总馒头数等于总人数： 41x+11y=7x+29y 整理得 34x=18y → 17x=9y x和y满足最小正整数解为x=9，y=17。 总和尚数为7×9 +29×17=556，验证总馒头数41×9+11×17=556，等式成立。因此最少有556个和尚。 1. 一个工人将零件装进两种盒子中，每只大盒子装12 个零件，每只小盒子装5个零件，恰好装完，如果零件一共是 99 个，盒子只数大于 10，那么大盒子有多少只?小盒子有多少只? 2.小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声;若是晚上见面，小花狗叫两声,波斯猫叫三声。细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面,在这15天内它们共叫了61声。问:波斯猫至少叫了多少声? 3.小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12,然后把两个乘积加起来刚好等于400。你知道小明的生日是几月几日吗? 【消元法】 【经典例题】14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢殊每个12克,中号每个重8克,小号每个重5克。问:大、中、小号钢珠各重多少克? 【答案】36克,24克,40克。 【解析】 设大号、中号、小号钢珠分别为x、y、z个，根据题意可列出方程组： 𝑥+𝑦+𝑧=14（总数） 12𝑥+8𝑦+5𝑧=100（总重量） 通过消元法或代入法解方程组，最终得出： 𝑥=3（大号钢珠数量），12×3=36（克） 𝑦=3（中号钢珠数量），8×3=24（克） 𝑧=8（小号钢珠数量），5×8=40（克） 1.袋子里有三种球,分别标有数字2,3和5,小明从中摸出12个球,它们的数字之和是 43。问:小明最多摸出几个标有数字2的球? 2.篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共 30个,价值24元,已知煮蛋每个0.6元,茶蛋每个1.00元,皮蛋每个1.20元。问: 篮子中最多有几个皮蛋? 3.商店里的白糖有4千克、3千克和1千克三种不同包装,一位顾客要买15千克白糖。问:售货员给这位顾客白糖可以用多少种不同方法? 共10题 满分100分 测试时间：50分钟 一、解答题： 1. 装某种产品的盒子有大、小两种,大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个? 2.大客车有39个座位，小客车有30个座位,现有267位乘客,要使每位乘客都有座位且没有空座位。问:需大、小客车各几辆? 3.某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔,共收入500元,问:这两种钢笔共卖出多少支? 4.工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子。问:可以有多少种不同取法? 5.用1分、2分和5分硬币凑成1元钱,共有多少种不同的凑法? 6. 小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封? 7. 学校买来一些足球和篮球,已知买11个足球和15个蓝球需1506元,买11个足球,和17个蓝球需1632元现在要买20个足球和20个蓝球，一共需要多少钱? 8.在一次活动中,丁丁和冬冬到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5,让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数。丁丁和冬冬分别命中几次? 9.n名棋手进行单循环比赛，即任两名棋手间都比赛一场，胜者得两分，平局各得一分，负者没分:比赛完毕后，前四名各得 8、7、5、4 分，求 n。 10.某人打靶,8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环上。问:他命中10环、7环和5环各几发? 1. 把137个苹果放入礼盒中，每个礼盒都装满。恰好装完而没有剩余。大盒每盒 13 个，小盒每盒6个。需要大盒几个，小盒几个? 【答案】5个，12个 【解析】 本题需解方程 13x+6y=137，其中x和 y为非负整数。 （1）取值范围: x最大为[]=10，依次从x=0到x=10； 当x=5时，13×5=65，剩余苹果数137-65=72； 此时y==12，符合要求且y为非负整数。 其他x值均导致剩余苹果无法被6整除。 （2）唯一解验证: 综合所有可能的x值后，仅有x=5 和 y=12满足条件。 因此，答案为大盒5个、小盒12个。 2. 大船限坐6人，小船限坐4人，如果26人租船过河，租几条大船和几条小船刚好? 【答案】3条，2条或1条，5条。 【解析】 假设租大船x条，小船y条，则6x+4y=26，只要x、y是合适的自然数，即可得解。 解：假设租大船x条，小船y条。 则：6x+4y=26 当x=3时，y=2； 当x=1时，y=5； 所以可以租大船3条，小船2条或大船1条，小船5条． 故答案为：3（或1），2（或5）。 【点评】 此题考查了不定方程问题，应结合实际情况，只要把26化成6的整数倍加上4的整数倍即可。 3. 月季花每盆5元，茉莉花每盆3元，如果两种花都买，买几盆月季花和几盆茉莉花共用 27元? 【答案】3盆，4盆 【解析】 设买了“盆月季花，盆茉莉花，根据题意可得方程:5x+3y=27，方程可以变形为:x=，因为两种花都要买所以y≥1，且27-3y≥5，由此可得，的取值范围是≥y≥1，因为x、y都是整数，所以27-3y应该是5的倍数，根据5的倍数的特点可知27-3y的末尾应该是0或5;则3y的积的末尾应该是2或7，根据乘法口诀可得，y的末尾只能是4和9，根据,y的取值范围可知，只能是4。 当y=4时，x=3 答:买了3盆月季花，4盆茉莉花。 1.小明有一些1元、5元和10元的硬币,他一共有20个硬币,并且他所拥有的硬币的总面值是45元。请问小明有多少个1元硬币、5元硬币和10元硬币各是多少个? 【答案】15枚，4枚，1枚。 【解析】 设1元硬币数量为x，5元为y，10元为z。根据题意得方程组： （1）x+y+z=20 （2）x+5y+10z=45 用消元法将第二个方程减第一个方程，得到： 4y+9z=25 需寻找非负整数解。依次代入z的可能值： 当z=1时，代入方程得4y=16 得：y=4。此时总硬币数x=20-4-1=15。 验证面值总和：15×1+4×5 +1×10=45，符合条件。 当z=0或z≥2时，方程无整数解。 最终唯一符合条件的解为：x=15，y=4，z=1。 2. 新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书.已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问:搬书的老师、男生、女生各有多少人? 【答案】3人，3人，8人。 【解析】 设老师x人，男生y人，则女生(14-x-y)人，根据题意得: 12x+8y+5(14-x-y)=100 化简得:7x+3y=30 本题中x、y应为自然数，且x+y＜14; 经试算:x=3，y=3时符合题意，14-3-3=8，即女生有8人； 答:搬书的老师有3人、男生有3人、女生有8人。 3. 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖。问:甲、乙二人谁搬的多?多几块? 【答案】甲搬的砖多，多24块。 【解析】 甲搬的砖数是18的倍数，可以表示为18x块，乙搬的砖数是23的倍数，可以表示为23y块，根据两人共搬了300块砖可得不等方程:18x+23y=300，然后求出整数解即可。 解:设甲搬的砖数表示为18x块，乙搬的砖数表示为23y块。 18x+23y=300 即x=； 因为300、18都是6的倍数，所以y也应当是6的倍数； 又因为，23y≤300，即y≤13，所以，y=6或12； 当y=6时，x=9； 当y=12时，x=，不合题意，舍去； 所以，甲搬的砖有:18×9=162(块)， 乙搬的砖有:23×6=138(块)，因为162＞138，所以甲搬的砖多；多162-138=24(块)。 答:甲搬的砖多，多24块。 1. 一批布长36米，用此布做一套成人衣服用布3米,做一套儿童衣服用布1.6米。要把这批布刚好用完,应做多少套成人衣服?多少套儿童衣服? 【答案】4套,15套。 【解析】 根据题干，可设儿童服装做了x套，成人服装做了y套，根据等量关系：“儿童服装用去的长度+成人服装用去的长度=这批布的总长度”，列出方程，求出x、y的整数解即可解决问题。 解：设儿童服装做了x套，成人服装做了y套，根据题意可得方程： 1.6x+3y=36，方程可以变形为：y=； 因为x、y都是整数，且x≥1，所以1.6x是整数，所以x的值末尾是0或者是5， 当x=5时，y=9.33，不是整数，不符合题意舍去； 当x=10时，y=6.66，不是整数，不符合题意舍去； 当x=15时，y=4，符合题意； 当x=20时，y=1.33，不是整数，不符合题意舍去； 当x=25时，1.6x=40大于36，不符合题意； 答：应该做出成人服装4套，儿童服装15套。 2.在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000人，每个航空兵师有 8000人，在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有 27.1万人，如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师? 【答案】23个，9个 【解析】 解：设苏军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师，再根据“从两个集团军抽调部分师参与战斗，一共有27.1万人”列出方程解答。 解：设军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师。 9000x+8000y=271000 9x+8y=271 因为8y是偶数，所以9x必须是奇数，所以x必须是奇数； 而x= 所以x=15，此时y=17； 答：苏军参与战斗的有15个步兵师，17个航空兵师。 【点评】 关键是根据题意列出不定方程，再利用未知数的取值受限，利用试一试的方法解答即可。 3.现有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多，若把每一个白球都记作数 2，每个红球都记作数 3，则总数为 60，求白球和红球的数量。 【答案】9个，14个。 【解析】 解：设白球有x个，红球有y个。 由题意得： （1）x＜y＜2x （2）2x+3y=60 由第一个不等式得:3x＜3y＜6x， 由第二个式子得，3y=60-2x， 则有3x＜60-2x＜6x，即7.5＜x＜12, 则可取8，9，10，11.又因为2x=60-3y=3(20-y)， 所以2x应是3的倍数，所以x只能取9； 此时y=60-2×9=14. 答:白球有9个，红球有14个 1. 一个工人将零件装进两种盒子中，每只大盒子装12 个零件，每只小盒子装5个零件，恰好装完，如果零件一共是 99 个，盒子只数大于 10，那么大盒子有多少只?小盒子有多少只? 【答案】2个，15个。 【解析】 解：设大盒子有x个，小盒子有y个，根据题意可列出方程： 12x+5y=99； 由于盒子数量需大于10，需排除x=7的解（此时y=3，总盒数10不满足条件）。 通过逐一验证或同余方程分析，最终确定x=2时，y=15为唯一符合条件的整数解。 2.小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声;若是晚上见面，小花狗叫两声,波斯猫叫三声。细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面,在这15天内它们共叫了61声。问:波斯猫至少叫了多少声? 【答案】27声 【解析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声. 解：设在这15天内早晨见面x次，晚上见面y次。 根据题意有：3x+5y=61（x≤15，y≤15）。 当x=2时，y=11; 当x=7时，y=7; 当x=12时，y=5。 因为小花狗共叫了2(x+y)声，那么(x+y)越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少； 所以当x=12，y=5时波斯猫叫得最少，共叫了1×12+3×5=27(声)。。 答：波斯猫至少叫了27声. 3.小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12,然后把两个乘积加起来刚好等于400。你知道小明的生日是几月几日吗? 【答案】4月23日 【解析】 解：设小明的生日是x月y日。 则有31x+12y=400； 31x=400-12y=4(100-3y) 所以x=4或8； 代入x=4得y=23； x=8得y不是整数； 所以小明的生日是4月23日。 1.袋子里有三种球,分别标有数字2,3和5,小明从中摸出12个球,它们的数字之和是 43。问:小明最多摸出几个标有数字2的球? 【答案】5个 【解析】 解：设摸出标有数字2、3和5的球的个数分别为x个、y个、z个，则有 （1）x+y+z=12 （2）2x+3y+5z=43 消去z可得:3x+2y=17。 由于z，y是正整数，则当y=1时，x最大，此时x=5。 答:最多摸出5个标有数字2的球。 2.篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共 30个,价值24元,已知煮蛋每个0.6元,茶蛋每个1.00元,皮蛋每个1.20元。问: 篮子中最多有几个皮蛋? 【答案】8个 【解析】 由上可知：z=2x-30，y=60-3x, 由于篮子里有三种蛋，所以三个未知数都大于零。 所以15＜x＜20，当x=19时，z=8。 当三种蛋都存在时，最多有8个皮蛋。 3.商店里的白糖有4千克、3千克和1千克三种不同包装,一位顾客要买15千克白糖。问:售货员给这位顾客白糖可以用多少种不同方法? 【答案】12种 【解析】 解：设4千克x袋，3千克y袋，1千克z袋，那么4x+3y+z=15。 （1）x=0,y=5,z=0 （2）x=3,y=1,z=0 （3）x=2,y=2,z=1 （4）x=0,y=4,z=3 （5）x=3,y=0,z=3 （6）x=2,y=1,z=4 （7）x=1,y=2,z=5 （8）x=0,y=3,z=6 （9）x=1,y=1,z=8 （10）x=0,y=2,z=9 （11）x=1,y=0,z=11 （12）x=0,y=1,z=12 有12种不同方法。 【经典测试】参考答案 共10题 满分100分 测试时间：50分钟 一、解答题： 1. 装某种产品的盒子有大、小两种,大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个? 【答案】3个，7个 【解析】 设大盒子有x个，小盒子有y个，且x、y必为整数。 依题意11x+8y=89。 由奇偶性判断，8y为偶数，89为奇数，则11x必为奇数，x为奇数。结合代入排除法，将x=3代入方程中，得y=7，符合题意。 2.大客车有39个座位，小客车有30个座位,现有267位乘客,要使每位乘客都有座位且没有空座位。问:需大、小客车各几辆? 【答案】3辆，5辆。 【解析】 解：设需要大客车x辆，小客车y辆。根据题意，列出方程： 39x+30y=267 要求x和y均为非负整数。 通过枚举x的可能值（0到6），计算对应的y是否为整数： 当x=3时，39×3=117，剩余座位267-117=150，150÷30=5，y=5为整数解。 其他x值代入后y均不为整数。 验证：3×39+5×30=117+150=267，满足条件，无空座。 因此，唯一解为3辆大客车和5辆小客车。 3.某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔,共收入500元,问:这两种钢笔共卖出多少支? 【答案】26支 【解析】 解：设23元一支的钢笔卖出了x支，16元一支的钢笔卖出了y支， 则23x+16y=500， 因为16y、500均是偶数， 所以23x也是偶数，x是一个偶数， 又因为23x＜500， 所以x＜22，而且x是一个偶数， 所以x=2、4、6、8、10、12、14、16、18或20， （1）当x=2、4、6、8、10、14、16、18或20时， y没有整数解，不符合题意； （2）当x=12时， 可得23×12+16y=500， 所以16y=224， 解得y=14， x+y=12+14=26（支） 所以这两种钢笔共卖出26只。 4.工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子。问:可以有多少种不同取法? 【答案】6种 【解析】 解：不能废料，则用3米和5米的管子铺，一定要正好，应用一一列举的方法，可得： 78=26×3 78=3×5+21×3 78=6×5+16×3 78=9×5+11×3 78=12×5+6×3 78=15×5+1×3 答：一共有6种不同的铺法。 5.用1分、2分和5分硬币凑成1元钱,共有多少种不同的凑法? 【答案】541种 【解析】 假定五分硬币有20个，则没有二分硬币，因此只有一种凑法；假定五分硬币有19个，币值为5×19=95分，因此要使总币值不超过1元=100分，所取二分硬币的币值不能超过5分．很明显，二分硬币的个数可以为0个，1个，或2个，这样就有三种不同的凑法，如此继续下去，即可求解。 解：1+3+6+8+11+13+…+48+51 =（1+48）+（3+46）+（6+43）+…+（23+26）+51 =49×10+51 =541（种） 答：共有541种凑法． 6. 小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封? 【答案】9封 【解析】 解：设平信x封，航空信y封，挂号信z封，需满足8x + 10y + 20z = 122分，且x、y、z为非负整数。目标是最小化x+y+z。 （1）优先最大化高价信（挂号信）： 当z=6时，20×6=120，剩余2分无法分配，舍去。 当z=5时，20×5=100，剩余22分。22分无法拆解为8分和10分的组合。 当z=4时，20×4=80，剩余42分。 42分可拆解为： 航空信1封（10分）+平信4封（32分），即y=1、x=4，总和x+y+z=4+1+4=9。 （2）验证其他可能性： 当z=3时，20×3=60，剩余62分。最佳拆解为航空信3封（30分）+平信4封（32分），总和x+y+z=4+3+3=10＞9。 当z≤2时，总和均大于9。 综上，最小总和为9封，对应的解为x=4、y=1、z=4。 7. 学校买来一些足球和篮球,已知买11个足球和15个蓝球需1506元,买11个足球,和17个蓝球需1632元现在要买20个足球和20个蓝球，一共需要多少钱? 【答案】228元。 【解析】 篮球单价=(1632-1506)÷(17-15) =126÷2 =63（元） 足球单价=(1506-15×63)÷11=51（元） 所以20个足球和20个篮球价格=20×(63+51)=2280（元） 答:买20个足球和20个蓝球一共需要2280元。 8.在一次活动中,丁丁和冬冬到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5,让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数。丁丁和冬冬分别命中几次? 【答案】3,4 【解析】 设丁丁命中次数为x次，东东为y次，根据题意建立方程： 5x+4y=31 x和y为非负整数。代入x的可能值验证： x=3时， 4y=31-5×3=16，所以y=4 其他x值无法得到整数y。验证唯一解成立且和为31。因此答案成立。 9.n名棋手进行单循环比赛，即任两名棋手间都比赛一场，胜者得两分，平局各得一分，负者没分:比赛完毕后，前四名各得 8、7、5、4 分，求 n。 【答案】6 【解析】 先求出一共进行了 场比赛，则总得分为n（n-1），所以n（n-1）≤8+7+5+4+4（n-4），由此求出n的取值范围，再进行验证即可． 解：总场数为： 场， 总得分为：n（n-1）， n（n-1）≤8+7+5+4+4（n-4） n2-5n-8≤0 n≥4， 4≤n≤6 n=4，总分4×3=12分，与已知不符； n=5，总分5×4=20分，也与已知不符； n=6，总分6×5=30分，符合题意； 因此n=6。 10. 某人打靶,8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环上。问:他命中10环、7环和5环各几发? 【答案】10环1发、7环4发、5环3发。 【解析】 解：设命中10环、7环、5环分别为𝑥发、y发、z发，列出方程： （1）x+y+z=8 （2）10x+7y+5z=53 消去z，得5𝑥+2𝑦=13，因为x,y为非负整数，可得𝑥=1,𝑦=4，进而z=3。 14 学科网（北京）股份有限公司 $$