第十四章 全等三角形 单元测试-2025-2026学年人教版八年级上册数学

第十四章 全等三角形 单元测试-2025-2026学年人教版八年级上册数学 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．如图，，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 2．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（　　） ①；②；③若，则；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3． 如图， ， 记 ， 当 时， 与 之间的数量关系为（ ） A． B． C． D． 4．如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 5．如图，图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为（　　）． A． B． C． D． 7．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，，且，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，共24分） 9．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　. 10．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 11．如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　． 12．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动　 　秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 13．如图，在△ABC中，∠C=90°.按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为径作圆弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D. 若∠CAB=52°，则∠ADC的大小为　 　. 14．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动　 　分钟后，与全等. 三、解答题（共6小题，共44分） 15．如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长. 16．如图，△ABD≌△CAE，点A，D，E三点在一条直线上. （1）求证：BD=CE+DE； （2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE? 请说明理由. 17．如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：. 18．如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变?并说明理由. 19．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E. （1）若点B，C在AE的同侧，如图1. ①求证：△ABD≌△CAE. ②BD+CE=DE成立吗?为什么? （2）若B，C在AE的异侧，如图2，其他条件不变，则BD，DE与CE有怎样的数量关系?直接写出结果 20．如图， 在 Rt 中， ， 点 在 的延长线上， 目 . 过点 作 ， 与 的垂线 交于点 . （1） 求证： （2） 若 ， 求 的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 单元测试-2025-2026学年人教版八年级上册数学 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．如图，，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【解析】【解答】解：，， ， ，， ， 故选：A． 【分析】根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 2．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（　　） ①；②；③若，则；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：①在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故①正确，符合题意； ②若， ∴， ∴， ∴， 而由已知条件无法证明， 故②错误，不符合题意； ③如图，延长至G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图，作的平分线交于点G， 由①得， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 故答案为：C． 【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得； 即可得出①正确；假定，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。 3． 如图， ， 记 ， 当 时， 与 之间的数量关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： ∵ △AOB≌△ADC ∴∠ABO=∠ACD=β，∠CAD=∠BAO，AB=AC ∵∠O=∠D=90° ∴在△AOB中 ∠OAB=90°-β ∵AB=AC ∴△ABC为等腰三角形 ∴∠CBA=∠ACB ∵BC∥OA ∴∠CBA=∠OAB=90°-β，∠OAC+∠ACB=180° ∴∠ACB=∠CBA=∠OAB=∠DAC=90°-β ∵∠ABO=α ∴∠OAC+∠ACB=α+∠DAC+∠ACB=180°=α+90°-β+90°-β=180° ∴α-2β=0即α=2β 故答案为B. 【分析】通过△AOB≌△ADC可得边与角的关系，可得出∠OAB，∠ABC以及等腰三角形ABC，再结合平行线性质列等式，化简等式即可得出α与β之间的数量关系。 4．如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，得，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据题意可知，，然后利用“”即可证明，从而得，据此即可得到答案. 5．如图，图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据图中信息和全等三角形的判定可知，∠1=∠α， ∵∠1=180°-50°-71°=59°， ∴∠α=∠1=59°， 故答案为：B． 【分析】根据三角形的内角和定理求得∠1=59°，再结合图中信息和全等三角形的判定条件可得∠1=∠α，即可得出答案. 6．如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ∴BC=EF=4cm， ∵BF=6cm， 所以BE=2cm. 故答案为：B. 【分析】本题根据全等三角形的对应边相等得到EF即可求出BE的长. 7．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 【分析】根据全等三角形性质可得，，再根据边之间的关系即可求出答案. 8．如图，，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解： ∵， ∴∠C=180°-∠A-∠B=30°， ∵， ∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）， ∴= ∠C=30°. 故答案为：C. 【分析】利用三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据SSS证明△ABC≌△A1B1C1，利用全等三角形的性质即可求解. 二、填空题（共6小题，共24分） 9．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　. 【答案】9＜AB＜19 【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE. 在△ADC和△EDB中， ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）. ∵AC=5，AD=7， ∴BE=5，AE=14. 在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE， ∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19. 故答案为9＜AB＜19. 【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围. 10．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换求出CH的长即可. 11．如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　． 【答案】 【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−40)°， ∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−40°)−(x°−40°)=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA PM=PF， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)， ∴∠FAP=∠PAC=50°. 【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案. 12．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动　 　秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 【答案】或或 【解析】【解答】解：①当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ∴， 则， ∴， 即时间为秒，不合题意舍去； ②当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ③当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ④当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°， ∴， 则， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 【分析】本题分两种情况：①当 P在线段上，②当 P在射线上，再分别分和两种情况进行讨论，根据全等三角形边的性质计算出PB的长，继而可得CP的长. 13．如图，在△ABC中，∠C=90°.按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为径作圆弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D. 若∠CAB=52°，则∠ADC的大小为　 　. 【答案】64° 【解析】【解答】解：由作图痕迹可知：AG平分∠CAB， ∵∠CAB=52°， ∴， ∵∠C=90°， ∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-90°-26°=64°， 故答案为：64°. 【分析】由角平分线的尺规作图可知AG平分∠CAB，从而求出∠CAD的度数，进而由三角形内角和定理即可求解. 14．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动　 　分钟后，与全等. 【答案】4 【解析】【解答】解：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米）， 则BQ＝AP＝AB−BP＝12−4＝8（米）， A的运动时间是：4÷1＝4（分钟）， Q的运动时间是：8÷2＝4（分钟）， 则当t＝4分钟时，两个三角形全等； ②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米）， AP＝BP=AB＝6（米）， 则P运动的时间是：6÷1＝6（分钟）， Q运动的时间是：4÷2＝2（分钟）， 所以不能成立． 综上所述，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等. 故答案为：4. 【分析】分类讨论：①当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（米），②当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（米），再利用“速度、路程和时间”的关系分别列出算式求出时间即可. 三、解答题（共6小题，共44分） 15．如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长. 【答案】解：∵ △ACF≌△ADE， ∴AF=AE=5， ∴DF=AD-AF=12-5=7. 【解析】【分析】根据三角形全等，可得出AF=AE=5，进而得出DF=7。 16．如图，△ABD≌△CAE，点A，D，E三点在一条直线上. （1）求证：BD=CE+DE； （2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE? 请说明理由. 【答案】（1）证明：∵△ABD≌△CAE ∴BD=AE，AD=CE ∵AE=AD+DE ∴BD=CE+DE （2）解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE ∵△ABD≌△CAE ∴∠ADB=∠CEA ∵∠ADB=90° ∴∠CEA=90°，∠BDE=90° ∴∠CEA=∠BDE ∴BD∥CE 【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质知：BD=AE，AD=CE，等量代换即可证明. (2)当BD∥CE时，∠BDE=∠AEC，再根据 △ABD≌△CAE 得到∠ADB=∠AEC，最后得到∠ADB=90°，即可求解. 17．如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：. 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵在和中 ∴ ∴． 【解析】【分析】先利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得． 18．如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变?并说明理由. 【答案】（1）解：∵CA⊥AB，DB⊥AB， ∴. ， 又 即AC，BQ，AB之间的数量关系为 （2）解：不会改变 理由： 又， ， 即（1）中的数量关系不会改变 【解析】【分析】（1）根据已知条件，可以推断出，根据三角形内角和定理，可以确定出∠ACP，根据平角的定义，可以推断出∠BPQ，即可推断出∠ACP=∠BPQ，根据全等三角形的判定和性质，可以推断出 AC，BQ，AB之间的数量关系. （2）根据（1）的推断，即可证明 AC，BQ，AB之间的数量关系 . 19．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E. （1）若点B，C在AE的同侧，如图1. ①求证：△ABD≌△CAE. ②BD+CE=DE成立吗?为什么? （2）若B，C在AE的异侧，如图2，其他条件不变，则BD，DE与CE有怎样的数量关系?直接写出结果 【答案】（1）解：①由∠D=∠E=90°，∠BAC=90°， 可得∠BAD=∠ACE. 又AB=AC， ∴△ABD≌△CAE. ②BD+CE=DE成立. 理由如下：由△ABD≌△CAE， 得AD=CE，BD=AE， ∴DE=AD+AE=BD+CE， 即BD+CE=DE. （2）解：；理由如下： ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴（AAS）， ，， ， ． 【解析】【分析】本题考全等三角形的判定方法的理解及运用． （1）根据∠D=∠E=90°，∠BAC=90°，利用角的运算可得：∠BAD=∠ACE，再根据AB=AC，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用线段的运算和等量替换可推出：； （2）先利用垂直的定义可得：，利用角的运算可得，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用等量替换可推出：． 20．如图， 在 Rt 中， ， 点 在 的延长线上， 目 . 过点 作 ， 与 的垂线 交于点 . （1） 求证： （2） 若 ， 求 的长. 【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠A+∠ACB=90°， ∵AC⊥BE， ∴∠DBE+∠ACB=90°， ∴∠A=∠DBE， 在 和 中：∵∠A=∠DBE，∠ABC=∠BDE=90°，AB=BD， ∴≌ ； （2）解：由（1）知： ≌ ， ∴AB=BD=12，BC=DE=5， ∴CD=BD-BC=12-5=7. 【解析】【分析】(1)根据AAS可证明≌ ； （2）由（1）知：≌ ，可得出AB=BD=12，BC=DE=5，再根据线段的差，可求得CD的长。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 单元测试-2025-2026学年人教版八年级上册数学 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．如图，，若，则的长为（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 2．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（　　） ①；②；③若，则；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3． 如图， ， 记 ， 当 时， 与 之间的数量关系为（ ） A． B． C． D． 4．如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 5．如图，图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为（　　）． A． B． C． D． 7．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，，且，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，共24分） 9．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　. 10．如图，在中，，高，交于点H．若，，则　 　． 11．如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 　． 12．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动　 　秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 13．如图，在△ABC中，∠C=90°.按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为径作圆弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D. 若∠CAB=52°，则∠ADC的大小为　 　. 14．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每分钟走，点Q从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动　 　分钟后，与全等. 三、解答题（共6小题，共44分） 15．如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长. 16．如图，△ABD≌△CAE，点A，D，E三点在一条直线上. （1）求证：BD=CE+DE； （2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE? 请说明理由. 17．如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，.求证：. 18．如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变?并说明理由. 19．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E. （1）若点B，C在AE的同侧，如图1. ①求证：△ABD≌△CAE. ②BD+CE=DE成立吗?为什么? （2）若B，C在AE的异侧，如图2，其他条件不变，则BD，DE与CE有怎样的数量关系?直接写出结果 20．如图， 在 Rt 中， ， 点 在 的延长线上， 目 . 过点 作 ， 与 的垂线 交于点 . （1） 求证： （2） 若 ， 求 的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$