第18讲 计算特训（3）——力与曲线运动（学考第22题）-2026年1月浙江省物理学业水平考试冲A计划

第18讲 力与曲线运动 1．如图所示为某滑雪训练场地的模型图，左侧斜坡轨道的倾角为，斜坡长度为，斜坡底端有一小段水平轨道，A为水平轨道的末端，右侧有一倾角为的斜面体BC，A、C两点等高．运动员从斜坡的最高点O由静止滑下，由A点离开轨道，经过一段时间运动员垂直落在斜面体BC上，忽略空气阻力和一切摩擦，运动员可视为质点，重力加速度取，，，，。求： （1）运动员离开A点时的速度大小； （2）A、B两点之间的高度差； （3）若运动员改变下滑的位置，则落在斜面体BC上的最小速度（结果保留整数）。 2．如图所示，一辆满载西瓜的卡车从某地由静止出发，以0.5m/s2的加速度沿直线运动了30s，由于司机疏忽大意，车头撞在断桥桥头的护栏上（车立即停下），碰撞瞬间安全气囊弹出，司机（上半身，质量为40kg）被气囊护住相对于地面向前移动了75cm后停住，与此同时车顶上绑住行李箱的绳子断裂，行李箱（可看作质点）在车顶上滑行了1m后飞出，已知箱子与车顶的动摩擦因数为0.75，车顶距地面的高度为h1=2.45m，平底河床距离地面h2=2.55m，求： (1)卡车与护栏碰撞时的速度大小； (2)气囊对司机（上半身）的作用力大小； (3)箱子的落点到河岸侧壁的距离。（结果中可以保留根号） 3．炎炎盛夏，人们盼来了一场消减暑气的大雨。雨后雨伞上会沾有雨滴，转动雨伞时边缘的雨滴可视为随伞做水平面的圆周运动，当雨伞的角速度达到某值时，雨滴会从伞面边缘沿圆周切线甩出，如图所示。某同学拟通过该现象估算出雨伞转动的角速度大小，他测出雨伞边缘距离地面的高度h=1.8m，转动半径R=0.6m，假设图示雨滴甩出瞬间的速度与雨伞边缘的速度相等，在地面上形成一个“水圈”，“水圈”半径为r，重力加速度大小g=10m/s2。 （1）用R和r表示该雨滴的水平位移大小x； （2）若x=1.44m，，计算该雨滴刚离开雨伞边缘时的水平速度大小； （3）由（2）的结果计算雨伞转动的角速度ω。    4．汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量m=2.0×103kg的汽车（可视为质点）在水平公路的弯道上行驶，速度的大小v=10m/s，其轨迹可视为半径r=50m的圆弧。求： （1）这辆汽车转弯时需要向心力的大小F； （2）这辆汽车转弯时需要向心加速度的大小an； （3）在冬天如果路面出现结冰现象，为防止汽车侧滑而发生危险，请给汽车驾驶员提出一条驾驶建议。 5．2022年5月14日，在场地自行车世界杯男子1公里个人计时赛中，我国运动员薛晨曦以1分00秒754的成绩获得冠军。取重力加速度，在比赛中， （1）他先沿直道由静止开始加速，前24m用时4s，此过程可视为匀加速直线运动，求他在4s末时的速度大小； （2）若他在倾斜赛道上转弯过程可视为半径12m的水平匀速圆周运动，速度大小为16m/s，已知他（包括自行车）的质量为90kg，求此过程他（包括自行车）所需的向心力大小； （3）在（2）问中，自行车车身垂直赛道，此时自行车不受侧向摩擦力，赛道的支持力通过薛晨曦和自行车的重心，实现匀速平稳转弯，如图，求转弯处赛道与水平面的夹角的正切值。 6．某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下。已知轿车在A点的速度，AB长；BC为四分之一水平圆弧段，限速（允许通过的最大速度），轮胎与BC路段间的动摩擦因数，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段，长为，重力加速度g取。 （1）若轿车到达B点速度刚好为，求轿车在AB下坡段加速度的大小； （2）为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值； （3）轿车从A点到D点全程的最短时间。 7．带有转盘的圆形餐桌是中国饮食文化的重要构成。每逢佳节，亲朋好友团聚在餐桌周围，共同品尝美味佳肴。如图所示，某位亲属面前的茶托、茶杯和杯中茶水的总质量为0.2kg，距中心转轴的距离为0.5m，该亲属轻转中间的转盘，使茶杯随转盘以0.2m/s的速率匀速转动，转动过程中茶杯和转盘相对静止。 （1）求茶杯的向心加速度大小； （2）求桌面对茶托的摩擦力大小； （3）有的同学认为，桌面对茶托的摩擦力与茶托的运动方向相反，你认为他的说法正确吗？请说明理由。 8．如图所示为马戏团的猴子表演杂技示意图．平台上质量为5kg的猴子（可视为质点）从平台边缘A点抓住长l＝0.8m水平绳的末端，由静止开始绕绳的另一个固定端O点做圆周运动，运动至O点正下方B点时松开绳子，之后做平抛运动．在B点右侧平地上固定一个倾角为37°的斜面滑梯CD，猴子做平抛运动至斜面的最高点C时的速度方向恰好沿斜面方向．已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力影响，求（g取10 m/s2） （1）猴子刚运动到B点时的速度大小； （2）猴子刚运动到B点且绳子还未脱手时，其对绳子的拉力； （3）猴子从B点运动到C点的时间以及BC两点间的水平距离． 9．喷灌是现代灌溉的一种方式，有省水、省工、提高土地利用率、增产和适应性强等优点。如图所示为植物园里浇灌水平草皮的情景。已知该喷头距地面高度，，喷头可向四周以相同速率喷出大量水射流（水射流是由喷嘴流出的高速水流束），水射流可以与水平面成的所有角度喷出。当水射流水平喷出时，水平射程为。忽略空气阻力，取重力加速度为 。 (1)求水射流喷出时的速率； (2)水射流水平喷出时，落地速度v；（结果可用根式表示，方向由角的正切值表示） (3)若保持水射流与水平面成斜向上喷出，求水射流在地面上的落点所形成圆的半径（结果可用根式表示）。 10．跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，调节飞行姿势，身子与滑雪板平行呈水平状态，如图所示，使空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，在空中飞行一段距离后着陆。现有总质量m=60kg的运动员（含滑雪板）A滑到跳台a处，不小心撞出一块冰块B，两者同时从a点沿水平方向飞出，其中A的速度为20m/s，最后分别落在与水平方向成θ=37°的直斜坡b、c上，已知a、b两点之间的距离为，a、c两点之间的距离为，sin37°=0.6，重力加速度g=10m/s2，不计冰块下落时空气的作用力，求： (1)冰块B从a点飞出时的速度大小vB； (2)A、B落到斜坡上的时间差∆t； (3)空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小。 11．如图所示，同学们在课外活动时玩投沙包游戏，水平地面上的得分区域用平行标线均匀分成9格，每格宽度d=0.3m，在地面上依次标记为1，2，3，……9，要求参赛者站在离得分区域边界AB的距离为L=3m处，每次总是从距离地面高度为h=1.8m处的P点垂直于AB且沿水平方向抛出沙包，沙包落地后立即停止不动，沙包可视为质点，空气阻力不计，重力加速度大小为g=10m/s2。求： (1)当沙包恰好落到第6格和第7格的分隔标线上时的速度大小； (2)为了使沙包能落入第5格内并且不能落在标线上，初速度大小的取值范围。 12．风洞被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一个竖直方向的直径的圆柱形固定风洞中，将质量为的小球从风洞左侧壁上的A点以 的速度沿其直径方向水平抛入风洞。关闭风洞时，小球刚好落在风洞口的中心点，开启风洞时，小球受到竖直向上的恒定风力作用，可运动到风洞右侧壁上的点。已知到A、的竖直距离相等，取，求： (1)A、两点的竖直距离； (2)开启风洞时，小球受到的风力大小； (3)若欲使小球刚好落在风洞口右侧的点，求风洞最少要开启多长时间（用根号表示）。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 力与曲线运动 1．如图所示为某滑雪训练场地的模型图，左侧斜坡轨道的倾角为，斜坡长度为，斜坡底端有一小段水平轨道，A为水平轨道的末端，右侧有一倾角为的斜面体BC，A、C两点等高．运动员从斜坡的最高点O由静止滑下，由A点离开轨道，经过一段时间运动员垂直落在斜面体BC上，忽略空气阻力和一切摩擦，运动员可视为质点，重力加速度取，，，，。求： （1）运动员离开A点时的速度大小； （2）A、B两点之间的高度差； （3）若运动员改变下滑的位置，则落在斜面体BC上的最小速度（结果保留整数）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）运动员在斜坡上运动时，根据牛顿第二定律得 解得 又由运动学公式得 代入数据解得 （2）设运动员落在斜面体上时的竖直分速度大小为，则由 运动员离开A点后做平抛运动，则竖直方向有 解得平抛时间为 设水平位移为x，竖直位移为y，则有 结合几何关系，有A、B两点之间的高度差为 （3）设运动员从斜坡上D点静止释放，运动到A点时的速度为，从A点离开平台做平抛运动.由 ， 由几何关系得 又 落在斜面上瞬时速度为 由以上整理得 当 时，即 时，速度最小，代入数据解得 2．如图所示，一辆满载西瓜的卡车从某地由静止出发，以0.5m/s2的加速度沿直线运动了30s，由于司机疏忽大意，车头撞在断桥桥头的护栏上（车立即停下），碰撞瞬间安全气囊弹出，司机（上半身，质量为40kg）被气囊护住相对于地面向前移动了75cm后停住，与此同时车顶上绑住行李箱的绳子断裂，行李箱（可看作质点）在车顶上滑行了1m后飞出，已知箱子与车顶的动摩擦因数为0.75，车顶距地面的高度为h1=2.45m，平底河床距离地面h2=2.55m，求： (1)卡车与护栏碰撞时的速度大小； (2)气囊对司机（上半身）的作用力大小； (3)箱子的落点到河岸侧壁的距离。（结果中可以保留根号） 【答案】(1)15m/s  (2)6000N   (3)m 【详解】(1)汽车匀加速过程，根据速度时间关系可得： v=a1t=0.5×30m/s=15m/s (2)把司机与气囊相互作用当作匀减速过程，根据v2=2a2x解得： a2=150m/s2 作用力为： F=ma2=6000N (3)行李箱在车厢上滑行过程中有： a3==μg=7.5m/s2 平抛运动的初速度为： v0==m/s 飞行的高度h=5m，则飞行时间为： t==1s 则有： x=vt=m． 3．炎炎盛夏，人们盼来了一场消减暑气的大雨。雨后雨伞上会沾有雨滴，转动雨伞时边缘的雨滴可视为随伞做水平面的圆周运动，当雨伞的角速度达到某值时，雨滴会从伞面边缘沿圆周切线甩出，如图所示。某同学拟通过该现象估算出雨伞转动的角速度大小，他测出雨伞边缘距离地面的高度h=1.8m，转动半径R=0.6m，假设图示雨滴甩出瞬间的速度与雨伞边缘的速度相等，在地面上形成一个“水圈”，“水圈”半径为r，重力加速度大小g=10m/s2。 （1）用R和r表示该雨滴的水平位移大小x； （2）若x=1.44m，，计算该雨滴刚离开雨伞边缘时的水平速度大小； （3）由（2）的结果计算雨伞转动的角速度ω。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题图及数学知识知 （2）雨滴离开雨伞后做平抛运动，竖直方向上 解得 水平方向上 解得 （3）由 解得 4．汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量m=2.0×103kg的汽车（可视为质点）在水平公路的弯道上行驶，速度的大小v=10m/s，其轨迹可视为半径r=50m的圆弧。求： （1）这辆汽车转弯时需要向心力的大小F； （2）这辆汽车转弯时需要向心加速度的大小an； （3）在冬天如果路面出现结冰现象，为防止汽车侧滑而发生危险，请给汽车驾驶员提出一条驾驶建议。 【答案】（1）;（2）;（3）转弯时要减速 【详解】（1）汽车转弯时需要向心力的大小 （2）由牛顿第二定律，这辆汽车转弯时需要向心加速度的大小 （3）从驾驶员的角度：汽车在水平道路上转弯时，向心力由静摩擦力提供，为了防止最大静摩擦力小于所需的向心力，发生侧滑，转弯时要减速。 5．2022年5月14日，在场地自行车世界杯男子1公里个人计时赛中，我国运动员薛晨曦以1分00秒754的成绩获得冠军。取重力加速度，在比赛中， （1）他先沿直道由静止开始加速，前24m用时4s，此过程可视为匀加速直线运动，求他在4s末时的速度大小； （2）若他在倾斜赛道上转弯过程可视为半径12m的水平匀速圆周运动，速度大小为16m/s，已知他（包括自行车）的质量为90kg，求此过程他（包括自行车）所需的向心力大小； （3）在（2）问中，自行车车身垂直赛道，此时自行车不受侧向摩擦力，赛道的支持力通过薛晨曦和自行车的重心，实现匀速平稳转弯，如图，求转弯处赛道与水平面的夹角的正切值。 【答案】（1）12m/s；（2）1920N；（3）2.13 【详解】（1）设薛晨曦沿直道由静止开始加速4s时的速度大小为v，则 解得 v＝12m/s （2）薛晨曦和自行车在转弯过程中所需的向心力 解得 F＝1920N （3）设赛道与水平面的夹角为，则 6．某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下。已知轿车在A点的速度，AB长；BC为四分之一水平圆弧段，限速（允许通过的最大速度），轮胎与BC路段间的动摩擦因数，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段，长为，重力加速度g取。 （1）若轿车到达B点速度刚好为，求轿车在AB下坡段加速度的大小； （2）为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值； （3）轿车从A点到D点全程的最短时间。 【答案】（1）；（2）20m；（3）。 【详解】（1）初速度，AB长，，对AB段匀减速直线运动有 代入数据解得。 （2）轿车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，有 为了确保安全，则要满足，解得，即。 （3）设AB段时间为，BC段时间为，CD段时间为，全程所用最短时间为t。则通过L1 而 联立解得。 7．带有转盘的圆形餐桌是中国饮食文化的重要构成。每逢佳节，亲朋好友团聚在餐桌周围，共同品尝美味佳肴。如图所示，某位亲属面前的茶托、茶杯和杯中茶水的总质量为0.2kg，距中心转轴的距离为0.5m，该亲属轻转中间的转盘，使茶杯随转盘以0.2m/s的速率匀速转动，转动过程中茶杯和转盘相对静止。 （1）求茶杯的向心加速度大小； （2）求桌面对茶托的摩擦力大小； （3）有的同学认为，桌面对茶托的摩擦力与茶托的运动方向相反，你认为他的说法正确吗？请说明理由。 【答案】（1）（2）（3）不正确 【详解】（1）茶杯的向心加速度大小 （2）桌面对茶托的摩擦力大小 （3）不正确；茶托所桌面一起做匀速圆周运动时，沿运动方向不受力，仅受指向中心转轴的摩擦力。 8．如图所示为马戏团的猴子表演杂技示意图．平台上质量为5kg的猴子（可视为质点）从平台边缘A点抓住长l＝0.8m水平绳的末端，由静止开始绕绳的另一个固定端O点做圆周运动，运动至O点正下方B点时松开绳子，之后做平抛运动．在B点右侧平地上固定一个倾角为37°的斜面滑梯CD，猴子做平抛运动至斜面的最高点C时的速度方向恰好沿斜面方向．已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力影响，求（g取10 m/s2） （1）猴子刚运动到B点时的速度大小； （2）猴子刚运动到B点且绳子还未脱手时，其对绳子的拉力； （3）猴子从B点运动到C点的时间以及BC两点间的水平距离． 【答案】（1）4m/s      （2）150N，竖直向下     （3） 0.3s  1.2m 【分析】猴子从A到B摆动的过程中，应用机械能守恒定律求出它运动到最低点B时的速度；猴子刚运动到B点且绳子还未脱手时，由重力和拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求绳子的拉力；猴子做平抛运动至斜面的最高点C时的速度方向恰好沿斜面方向，由速度的分解法求出到达C点时的竖直分速度，从而求出平抛运动的时间，再求水平距离。 【详解】（1）设猴子在B点的速度为v，由A到B的过程中，由机械能守恒定律得 代入数据解得 v=4m/s （2）设在B点时猴子所受的拉力为F，由牛顿第二定律得 联立解得 F=150N 由牛顿第三定律得：猴子拉绳的力等于绳拉猴子的力大小等于150N，方向竖直向下． （3）据题得：猴子到达C点时竖直分速度 vy=vtan37°=3m/s 平抛时间 BC间的水平距离 x=vt=1.2m 【点睛】本题要分析猴子的运动情况，把握每个过程的物理规律，由牛顿第二定律可得猴子对绳子的拉力。 9．喷灌是现代灌溉的一种方式，有省水、省工、提高土地利用率、增产和适应性强等优点。如图所示为植物园里浇灌水平草皮的情景。已知该喷头距地面高度，，喷头可向四周以相同速率喷出大量水射流（水射流是由喷嘴流出的高速水流束），水射流可以与水平面成的所有角度喷出。当水射流水平喷出时，水平射程为。忽略空气阻力，取重力加速度为 。 (1)求水射流喷出时的速率； (2)水射流水平喷出时，落地速度v；（结果可用根式表示，方向由角的正切值表示） (3)若保持水射流与水平面成斜向上喷出，求水射流在地面上的落点所形成圆的半径（结果可用根式表示）。 【答案】(1) (2)，与水平面间夹角的正切值为 (3) 【详解】（1）当水射流水平喷出时，做平抛运动，竖直方向 水平方向 联立解得 （2）竖直速度 故 落地时方向与水平面间的夹角的正切值 （3）若水射流保持与水平面成斜向上喷出，水射流向上运动的时间 水射流从最高点运动到地面过程中，有 解得 水射流水平射程为 故水射流在地面上的落点所形成圆的半径为 10．跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，调节飞行姿势，身子与滑雪板平行呈水平状态，如图所示，使空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，在空中飞行一段距离后着陆。现有总质量m=60kg的运动员（含滑雪板）A滑到跳台a处，不小心撞出一块冰块B，两者同时从a点沿水平方向飞出，其中A的速度为20m/s，最后分别落在与水平方向成θ=37°的直斜坡b、c上，已知a、b两点之间的距离为，a、c两点之间的距离为，sin37°=0.6，重力加速度g=10m/s2，不计冰块下落时空气的作用力，求： (1)冰块B从a点飞出时的速度大小vB； (2)A、B落到斜坡上的时间差∆t； (3)空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小。 【答案】(1) (2)2s (3)150N 【详解】（1）以B为研究对象，竖直方向有 解得 水平方向有 解得 （2）以A为研究对象，水平方向有 解得 所以，A、B落到斜面上的时间差为 （3）以A为研究对象，竖直方向有 解得 由牛顿第二定律得 解得 11．如图所示，同学们在课外活动时玩投沙包游戏，水平地面上的得分区域用平行标线均匀分成9格，每格宽度d=0.3m，在地面上依次标记为1，2，3，……9，要求参赛者站在离得分区域边界AB的距离为L=3m处，每次总是从距离地面高度为h=1.8m处的P点垂直于AB且沿水平方向抛出沙包，沙包落地后立即停止不动，沙包可视为质点，空气阻力不计，重力加速度大小为g=10m/s2。求： (1)当沙包恰好落到第6格和第7格的分隔标线上时的速度大小； (2)为了使沙包能落入第5格内并且不能落在标线上，初速度大小的取值范围。 【答案】(1)10m/s (2)7m/s<v<7.5m/s 【详解】（1）由题意可知，沙包做平抛运动，在竖直方向上 解得，沙包运动时间为 当沙包恰好落到第6格和第7格的分隔标线上时，沙包的水平位移大小为 则平抛的水平速度为 竖直分速度大小为 所以，落地时的速度大小为 （2）当沙包恰好落到第4格和第5格的分隔标线上时，沙包的水平位移大小为 则平抛的水平速度最小，为 当沙包恰好落到第5格和第6格的分隔标线上时，沙包的水平位移大小为 则平抛的水平速度最大，为 又因为不能落在标线上，所以初速度大小的取值范围为7m/s<v<7.5m/s 12．风洞被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一个竖直方向的直径的圆柱形固定风洞中，将质量为的小球从风洞左侧壁上的A点以 的速度沿其直径方向水平抛入风洞。关闭风洞时，小球刚好落在风洞口的中心点，开启风洞时，小球受到竖直向上的恒定风力作用，可运动到风洞右侧壁上的点。已知到A、的竖直距离相等，取，求： (1)A、两点的竖直距离； (2)开启风洞时，小球受到的风力大小； (3)若欲使小球刚好落在风洞口右侧的点，求风洞最少要开启多长时间（用根号表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从A运动到的时间为 A、两点的竖直距离为 （2）小球从A运动到，在竖直方向 其中， 可解得加速度大小为 由牛顿第二定律可得 小球受到的风力大小 （3）小球在竖直方向的速度一时间图像如图所示 小球从A到的运动时间为，竖直方向的位移为，均为定值，为使风洞的开启时间最短，应在小球刚被抛入风洞时开启风洞，设经过时间关闭风洞，小球刚好落在点，小球在竖直方向的位移 可解得风洞开启的最短时间为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$