专题04 万有引力定律与天体运动（专项训练）物理人教版高一下学期期末复习

**基本信息** 以“知识梳理-方法提炼-分层训练”为框架，系统构建万有引力定律应用的物理观念与科学思维体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3个核心知识点|开普勒定律→万有引力定律→卫星运动规律→变轨与双星模型递进|从基础规律到应用拓展，形成“定律-公式-模型”完整逻辑链| |方法技巧|3类解题技巧|重力加速度计算（黄金代换）、天体质量密度估算、卫星追及临界分析|针对核心问题提炼可迁移方法，强化科学推理| |巩固训练|17道分层题型|覆盖万有引力应用、宇宙速度、变轨、双星等高频考法|题型与知识点精准对应，突出模型建构| |综合训练|13道综合题|结合航天案例设计情境题|体现科学探究与社会责任，衔接高考趋势|

专题04 万有引力定律与天体运动 目录 【知识梳理】·····································································································1 知识点 1 万有引力定律及应用·········································································1 知识点 2 人造卫星　宇宙速度·········································································2 知识点 3 卫星变轨问题　双星模型···································································3 【方法技巧】······································································································2 方法技巧 1星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)··········································5 方法技巧 2 天体质量和密度的计算···································································5 方法技巧 3天体“追及”问题的处理方法···························································6 【巩固训练】······································································································6 【综合训练】······································································································16 【知识梳理】 知识点 1 万有引力定律及应用 1．开普勒定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 2．万有引力定律 (1)自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。 (2)①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 知识点 2 人造卫星　宇宙速度 1．卫星运行参量的分析 （1）基本公式 线速度大小：由G＝m得v＝。 角速度：由G＝mω2r得ω＝。 周期：由G＝m()2r得T＝2π。 向心加速度：由G＝man得an＝。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。 （2）“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 （3）人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 ①极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 ②同步卫星 静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 周期与地球自转周期相等，T＝24 h。 高度固定不变，h＝3.6×107 m。 运行速率约为v＝3.1 km/s。 (4)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。 2．宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度) v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度 第二宇宙速度(逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 知识点 3 卫星变轨问题　双星模型 1．卫星的变轨和对接问题 （1）卫星发射模型 ①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 ②在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 ③在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。 （2）变轨过程分析 ①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA>v1>v3>vB。 ②向心加速度 在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA>aB。(均选填“>”“＝”或“<”) ③周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1<T2<T3。 2．双星模型 (1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。 【方法技巧】 技巧1：星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg′＝，得g′＝。 技巧2：天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 （2）利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 ③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 技巧3：天体“追及”问题的处理方法 1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1。 2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝。 【巩固训练】 题型1 万有引力定律及应用 1.下列说法正确的是(　　) A.地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他星体都绕地球运动 B.太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动 C.地球是绕太阳运动的一颗行星 D.所有天体的运动都是完美的匀速圆周运动 2.二十四节气中的春分与秋分均为太阳直射赤道，春分为太阳从南回归线回到赤道，秋分则为太阳从北回归线回到赤道。2020年3月20日为春分，9月22日为秋分，可以推算从春分到秋分为186天，而从秋分到春分为180天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是 （      ）  A.从春分到秋分地球离太阳远 B.从秋分到春分地球离太阳远 C.夏天地球离太阳近 D.冬天地球离太阳远 3.如图所示，月球的半径为R，甲、乙两种探测器分别绕月球做匀速圆周运动与椭圆轨道运动，两种轨道相切于椭圆轨道的近月点A，圆轨道距月球表面的高度为，椭圆轨道的远月点B与近月点A之间的距离为6R，若甲的运动周期为T，则乙的运动周期为(　　) A. B.3T C. D.2T 4.如图所示，有两个质量均为M、半径为R的密度均匀的实心大球体，从每个球体中挖去一个半径为的小球体，把两个空腔紧密接触，两个大球球心和两个空腔中心在一条直线上，则两个大球体的剩余部分之间的万有引力大小为(已知引力常量为G)(　　) A. B. C. D. 5.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为，地球质量为，太阳与地球中心间距为，地球表面的重力加速度为，地球绕太阳公转的周期为．则太阳的质量为(　　) A. B. C. D. 6.卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（ ） A.      B.      C.      D. 7.我国北斗系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成，已知两卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示。观测得到两卫星之间的距离Δr随时间变化的关系如图乙所示，图中R为地球半径。已知地球表面重力加速度大小为g，不考虑两卫星之间的作用力，，下列说法正确的是（　） A.两卫星从相距最近到相距最远的时间间隔为T B.中轨道卫星与同步轨道卫星的轨道半径之比为1∶2 C.图乙中的T约为24小时 D.中轨道卫星的运动周期约为8小时 8.（多选）宇航员登上月球，在月球表面让一个小球离地面高作自由落体运动，测得小球经时间落到地面上。假设月球为质量均匀分布的球体，月球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度为 B.月球的质量为 C.月球的密度为 D.嫦娥探测器绕月球表面圆周运动的线速度为 题型 3 人造卫星　宇宙速度 9.A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，如图所示。仅考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是(　　)  A.A、B两卫星的线速度都可能超过7.9km/s B.在A卫星运动2周的时间内，B卫星可能运动3周 C.A卫星要与B卫星汇合，通常是选择合适的时机让A加速 D.A的向心加速度比B的向心加速度小 10.（多选）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（　　） A.卫星距地面的高度为 B.卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C.从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D.每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 11.根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（      ）  A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 12.火星探测器“火星2020”有了自己的新名字——“毅力号”。它的目标是在2021年登陆火星的杰泽罗陨石坑，并尝试将样本从火星上带回地球。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，下列说法中正确的是(　　) A.火星与地球的第一宇宙速度之比为4︰3 B.火星与地球的第一宇宙速度之比为2︰3 C.火星上的重力加速度与地球上的重力加速度之比为4︰9 D.以相同轨道半径绕火星的卫星与绕地球的卫星运行速度之比为1︰9 13.（多选）下列关于三种宇宙速度的说法正确的是(　　) A.第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度 B.第一宇宙速度，第二宇宙速度，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于，小于 C.第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星的最小发射速度 D.我国发射的“天问一号”火星探测器，其发射速度大于第三宇宙速度 题型 4 卫星变轨问题　双星模型 14.2024年3月20日，长征八号火箭成功发射，将鹊桥二号直接送入预定地月转移轨道后离开火箭。如图所示，鹊桥二号进入近月点P、远月点A的月球捕获椭圆轨道，开始绕月球飞行。经过多次轨道控制，鹊桥二号最终进入近月点P和远月点B、周期为24小时的环月椭圆轨道。关于鹊桥二号的说法正确的是(　　) A.离开火箭时速度大于地球的第二宇宙速度 B.在捕获轨道运行的周期大于24小时 C.在捕获轨道上经过P点时，需要点火加速，才可能进入环月轨道 D.经过A点的加速度比经过B点时大 15.如图所示，两恒星A、B构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星体的运动，测得该双星的运动周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为（　　） A. B. C. D. 16.（多选）2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程全线三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道I，Z卫星到达轨道I的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R(R为地球半径)的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是(　　) A.Z卫星可能是一颗地球同步卫星 B.Z卫星在轨道Ⅰ上运动的周期大于在轨道Ⅱ上运动的周期 C.Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D.Z卫星在圆形轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度 17.（多选）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运行周期相同，则(　　) A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运行周期T＝4πR C.三角形三星系统中星体间的距离L＝R D.三角形三星系统的线速度大小为 【综合训练】 1.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证(　　) A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 2.海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为(　　) A.1∶180 B.180∶1 C.75000∶1 D.1∶75000 3.如图所示，、是围绕地球运转的两颗卫星，与的轨道平面共面，其中卫星的轨道半径为，卫星的轨道半径为。此时、以及地心刚好在一条直线上，关于这两颗卫星，下列说法正确的是(　　) A.当、以及地心再次到达一条直线上时，转过的角度大于转过的角度 B.A卫星所受万有引力小于卫星所受万有引力 C.通过轨道的调整、中的某一颗卫星可以始终位于宁波的上空 D.若卫星想要进入更高轨道，则需要加速 4.如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是(　　) A.在夏至位置地球所受万有引力最大 B.在立春位置，根据万有引力定律可得 C.地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 D.经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 5.如图所示为人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为v＝，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是(　　) A.该黑洞的质量为 B.该黑洞的质量为 C.该黑洞的最大半径为 D.该黑洞的最大半径为 6.2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹．天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星．经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器 （      ）  A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 7.“三星系统”与“双星系统”都是宇宙中存在的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为M，天体中心连线的长度均为L，星球距离远大于星球半径，万有引力常量为G。“三星系统”与“双星系统”运动周期之比为(　　) A. B. C. D. 8.如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( ) A.周期为 B.半径为 C.线速度的大小为 D.角速度的大小为 9.如图所示，、是地月系统的两个拉格朗日点，由于月球引力的作用，飞行器处于这两个位置所在轨道时，其绕地球运动的轨道周期恰与月球相等，近似认为可与月球同步绕地球做匀速圆周运动。现有两颗质量相同的卫星分别位于、，则(　　) A.在相同的时间内，处卫星与地球的连线扫过的面积大小是不变的 B.由于处卫星与处卫星均围绕地球运动，因此其轨道半径的立方与公转周期的平方之比是一个常量 C.处卫星的线速度大于处卫星 D.处卫星的向心加速度大于处卫星 10.（多选）如图，在某部科幻电影中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。由于地球自转与万有引力的变化，人在不同高度处的太空电梯轿厢内“静止”所需要的力是不相同的。已知地球的半径为R，地球的质量为M，地球自转的角速度为，引力常量为G，同步卫星距离地面的高度为H。若有一部太空电梯沿着地球的半径方向固定在赤道上，它的一节轿厢上升到距离地面高度h处时停止，轿厢内有一位质量为m的宇航员与电梯轿厢保持相对静止。关于此时宇航员与电梯轿厢之间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.宇航员在“太空电梯”中处于静止状态时，处于平衡状态 B.当时，宇航员所受的万有引力恰好等于运动的向心力 C.当时，宇航员受到向下的压力为 D.当时，宇航员受到向上的支持力为 11.比邻星b是一颗太阳系外行星，距地球约4.2光年，是已知距地球最近的处于宜居带内的系外行星，非常值得探索。若将来航天员能登陆该星，并进行如下实验：将一小球从高处自由释放，经时间落地，已知比邻星b的半径为，引力常量为。求： (1)比邻星b的质量； (2)比邻星b的第一宇宙速度： (3)若比邻星b自转周期为，求比邻星b的同步卫星的轨道半径。 12.图甲是我国北斗导航系统卫星分布图，共55颗卫星在不同的轨道上运行，实现全球卫星导航。图乙是其中一颗北斗卫星从近地轨道升至高轨道的运行示意图。已知该卫星在高轨道运行时距离地面的高度h，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G， 求： (1)地球的质量M； (2)卫星在高轨道运行的速度v； (3)卫星在近地轨道和椭圆轨道运行的周期之比。 13.嫦娥六号完成世界首次月球背面采样后返回时，先进入近月圆轨道I。再进入椭圆轨道II，在轨道II的Q点与返回器对接，图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G。求： (1)嫦娥六号在轨道I上圆周运行速度大小； (2)月球的质量M； (3)嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间t。 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 万有引力定律与天体运动 【巩固训练】 题号 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 答案 C A C C D B D ABD C BCD 题号 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 答案 B C AC B B CD BC 【综合训练】 题号 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 答案 B B D D D D A C A BC 11.【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)小球自由释放后做自由落体运动，根据位移与时间公式 整理上式解得比邻星b表面的重力加速度为 在比邻星b表面，物体所受重力等于万有引力，设比邻星b的质量为，做自由落体的小球的质量为，根据万有引力定律有 整理上式解得 将代入上式，解得比邻星b的质量为 (2)第一宇宙速度是卫星在星球表面附近做匀速圆周运动的速度，由卫星受到的星球的万有引力提供做匀速圆周运动过程的向心力， 根据万有引力定律与向心力表达式有 联立(1)结果，代入数据整理解得比邻星b的第一宇宙速度为 (3)结合同步卫星的运行特点可知，同步卫星的周期等于星球的自转周期，设同步卫星的轨道半径为，根据万有引力提供向心力， 根据万有引力定律与向心力表达式有 联立上式，代入数据解得比邻星b的同步卫星的轨道半径为 12.【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设一物体的质量为，在地球表面，质量为m的物体受到的重力等于地球对它的万有引力，即 解得地球质量 设卫星质量为，卫星在高轨道运行时，轨道半径r = R + h 根据牛顿第二定律和向心力公式，有 解得卫星在高轨道运行的速度 （3）根据开普勒第三定律， 解得卫星在近地轨道和椭圆轨道运行的周期之比 13.【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据匀速圆周运动的规律可得嫦娥六号在轨道I上圆周运行速度大小为 （2）嫦娥六号在轨道I上，由万有引力提供向心力可得 解得月球的质量为 （3）设椭圆轨道的周期为，根据开普勒第三定律可得 其中嫦娥六号的轨道半长轴为 可得嫦娥六号在椭圆轨道上运动的周期为 则嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间为 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 万有引力定律与天体运动 目录 【知识梳理】·····································································································1 知识点 1 万有引力定律及应用·········································································1 知识点 2 人造卫星　宇宙速度·········································································2 知识点 3 卫星变轨问题　双星模型···································································3 【方法技巧】······································································································2 方法技巧 1星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)··········································5 方法技巧 2 天体质量和密度的计算···································································5 方法技巧 3天体“追及”问题的处理方法···························································6 【巩固训练】······································································································6 【综合训练】······································································································16 【知识梳理】 知识点 1 万有引力定律及应用 1．开普勒定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 2．万有引力定律 (1)自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。 (2)①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 知识点 2 人造卫星　宇宙速度 1．卫星运行参量的分析 （1）基本公式 线速度大小：由G＝m得v＝。 角速度：由G＝mω2r得ω＝。 周期：由G＝m()2r得T＝2π。 向心加速度：由G＝man得an＝。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。 （2）“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 （3）人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 ①极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 ②同步卫星 静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 周期与地球自转周期相等，T＝24 h。 高度固定不变，h＝3.6×107 m。 运行速率约为v＝3.1 km/s。 (4)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。 2．宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度) v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度 第二宇宙速度(逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 知识点 3 卫星变轨问题　双星模型 1．卫星的变轨和对接问题 （1）卫星发射模型 ①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 ②在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 ③在椭圆轨道B点(远地点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。 （2）变轨过程分析 ①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA>v1>v3>vB。 ②向心加速度 在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系aA>aB。(均选填“>”“＝”或“<”) ③周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1<T2<T3。 2．双星模型 (1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。 【方法技巧】 技巧1：星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg′＝，得g′＝。 技巧2：天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 （2）利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 ③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 技巧3：天体“追及”问题的处理方法 1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1。 2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝。 【巩固训练】 题型1 万有引力定律及应用 1.下列说法正确的是(　　) A.地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他星体都绕地球运动 B.太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动 C.地球是绕太阳运动的一颗行星 D.所有天体的运动都是完美的匀速圆周运动 【答案】C 【解析】“地心说”认为地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他星体都绕地球转动，“日心说”认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动，实际上地球和太阳都不是静止不动的，即“地心说”和“日心说”都是错误的，A、B错误；在太阳系中，太阳是中心天体，地球是绕太阳运动的一颗行星，C正确；天体的运动很多都是做椭圆运动，并不是完美的匀速圆周运动，D错误． 2.二十四节气中的春分与秋分均为太阳直射赤道，春分为太阳从南回归线回到赤道，秋分则为太阳从北回归线回到赤道。2020年3月20日为春分，9月22日为秋分，可以推算从春分到秋分为186天，而从秋分到春分为180天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是 （      ）  A.从春分到秋分地球离太阳远 B.从秋分到春分地球离太阳远 C.夏天地球离太阳近 D.冬天地球离太阳远 【答案】A 【解析】从春分到秋分与从秋分到春分两个时间段内地球绕太阳公转的轨迹长度相等，由v=可知，时间长说明地球运动速率小，根据开普勒第二定律地球与太阳的连线相同时间内扫过的面积相等，运动速率小说明地球离太阳远，A正确，B错误；我国处于北半球，冬季时地球离太阳近，夏季时地球离太阳远，CD错误。故选A。 3.如图所示，月球的半径为R，甲、乙两种探测器分别绕月球做匀速圆周运动与椭圆轨道运动，两种轨道相切于椭圆轨道的近月点A，圆轨道距月球表面的高度为，椭圆轨道的远月点B与近月点A之间的距离为6R，若甲的运动周期为T，则乙的运动周期为(　　) A. B.3T C. D.2T 【答案】C 【解析】根据题意可得，甲的公转轨道半径为，乙的椭圆运动的半长轴为.设乙的运动周期为，由开普勒第三定律，综合解得.所以C项正确；ABD错误；故选C。 4.如图所示，有两个质量均为M、半径为R的密度均匀的实心大球体，从每个球体中挖去一个半径为的小球体，把两个空腔紧密接触，两个大球球心和两个空腔中心在一条直线上，则两个大球体的剩余部分之间的万有引力大小为(已知引力常量为G)(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据万有引力公式可知，两个大球间的万有引力为，两个小球间的万有引力为，根据密度公式可得小球的质量为，挖去的半径为的小球体对实心大球体的万有引力为，挖去的半径为的小球体对空心大球体的万有引力为，所以两个大球体的剩余部分之间的万有引力大小为，故选C。 5.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为，地球质量为，太阳与地球中心间距为，地球表面的重力加速度为，地球绕太阳公转的周期为．则太阳的质量为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对绕太阳公转的地球，根据万有引力定律得，根据地球表面的万有引力近似等于重力，对地球表面 物体有，两式联立得，故选D。 6.卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】设地球半径为R，卫星的轨道高度为h，由万有引力提供向心力结合牛顿第二定律，有，又，联立，解得，结合题图可得，，联立，解得，故选B。 7.我国北斗系统主要由地球同步轨道卫星和中轨道卫星组成，已知两卫星在同一平面内环绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示。观测得到两卫星之间的距离Δr随时间变化的关系如图乙所示，图中R为地球半径。已知地球表面重力加速度大小为g，不考虑两卫星之间的作用力，，下列说法正确的是（　） A.两卫星从相距最近到相距最远的时间间隔为T B.中轨道卫星与同步轨道卫星的轨道半径之比为1∶2 C.图乙中的T约为24小时 D.中轨道卫星的运动周期约为8小时 【答案】D 【解析】由图乙可知，两卫星从相距最近到相距最远的时间间隔为，A错误；将中轨道卫星设为a，同步卫星设为b，两卫星做匀速圆周运动的半径分别为、，根据图甲和图乙可得，，解得卫星a的轨道半径为，卫星b的轨道半径为；则中轨道卫星与同步轨道卫星的轨道半径之比为，B错误；设卫星a、b的运行周期分别为、，由图乙可知每隔时间T两卫星距离最近，即每隔时间T，卫星a就比卫星b多转了一周，则有，根据开普勒第三定律有，联立解得卫星a的运行周期为，卫星b的运行周期为，由于，可得，；C错误，D正确。故选D。 8.（多选）宇航员登上月球，在月球表面让一个小球离地面高作自由落体运动，测得小球经时间落到地面上。假设月球为质量均匀分布的球体，月球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是(　　) A.月球表面的重力加速度为 B.月球的质量为 C.月球的密度为 D.嫦娥探测器绕月球表面圆周运动的线速度为 【答案】ABD 【解析】小球在月球表面做自由落体运动，根据位移公式，有，解得月球表面的重力加速度为，A正确；在月球表面，物体受到的重力大小等于万有引力的大小，则有，解得月球的质量为，B正确；根据密度的定义式，代入月球的质量，可得月球的密度为，C错误；嫦娥探测器绕月球表面做圆周运动，受到月球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式，有，解得嫦娥探测器绕月球表面圆周运动的线速度为，D正确。故选ABD。 题型 3 人造卫星　宇宙速度 9.A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，如图所示。仅考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是(　　)  A.A、B两卫星的线速度都可能超过7.9km/s B.在A卫星运动2周的时间内，B卫星可能运动3周 C.A卫星要与B卫星汇合，通常是选择合适的时机让A加速 D.A的向心加速度比B的向心加速度小 【答案】C 【解析】7.9km/s是地球的第一宇宙速度，也是人造卫星的最大的环绕速度，根据高轨低速可知A、B两卫星的轨道半径都大于地球半径，所以它们的线速度都不可能超过7.9km/s，A错误；根据万有引力提供向心力，所以卫星的环绕周期为，则A卫星的周期小于B卫星的周期，所以在A卫星运动2周的时间内，B卫星运动小于2周，B错误；A卫星要与B卫星汇合，通常是选择合适的时机让A加速运动到B所在的轨道，二者才能汇合，C正确；根据牛顿第二定律可得，所以人造卫星的向心加速度为，由于卫星A的轨道半径较小，所以A的向心加速度较大，D错误。故选C。 10.（多选）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（　　） A.卫星距地面的高度为 B.卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C.从时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为 D.每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多 【答案】BCD 【解析】A．由题意，知卫星绕地球运转的周期为 设卫星的质量为，卫星距地面的高度为，有 联立，可求得 故A错误； B．卫星的向心加速度大小 位于P点处物体的向心加速度大小 可得 故B正确； CD．要想卫星再次在P点的正上方，则只能是题中两个轨道的交点，因此要实现出现在正上方，第一种情形是经过一段时间都回到了当前点，即各自转动整数圈，最小公倍数为3，此时卫星转动10圈，即转动角度为，第二种情形是都转动整数圈加半圈，此时无解，而经过1.5天，卫星转动五圈，此时相距最远，转动角度相差7π，故CD正确； 多7π。故D正确。 故选BCD。 11.根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（      ）  A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 【答案】B 【解析】恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由＝m得v＝，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝R3ρ得，R＝，已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则v′＝v＝，联立整理得v′2＝2v2＝＝4G，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。 12.火星探测器“火星2020”有了自己的新名字——“毅力号”。它的目标是在2021年登陆火星的杰泽罗陨石坑，并尝试将样本从火星上带回地球。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，下列说法中正确的是(　　) A.火星与地球的第一宇宙速度之比为4︰3 B.火星与地球的第一宇宙速度之比为2︰3 C.火星上的重力加速度与地球上的重力加速度之比为4︰9 D.以相同轨道半径绕火星的卫星与绕地球的卫星运行速度之比为1︰9 【答案】C 【解析】由星体表面万有引力等于重力，解得星体表面的重力加速度为；火星上的重力加速度与地球上的重力加速度之比为，C正确；贴近星球表面运动的卫星的速度即为第一宇宙速度，由万有引力提供向心力，有，解得第一宇宙速度为，故火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为，AB错误；由万有引力提供向心力，解得卫星的线速度表达式为；可得以相同轨道半径绕火星的卫星与绕地球的卫星运行速度之比为，D错误。故选C。 13.（多选）下列关于三种宇宙速度的说法正确的是(　　) A.第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度 B.第一宇宙速度，第二宇宙速度，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于，小于 C.第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星的最小发射速度 D.我国发射的“天问一号”火星探测器，其发射速度大于第三宇宙速度 【答案】AC 【解析】第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，A正确；第一宇宙速度，第二宇宙速度，根据高轨低速可知人造卫星发射时的速度大于等于，小于，而人造卫星的运行速度小于等于第一宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星的最小发射速度，C正确；我国发射的“天问一号”火星探测器脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，D错误。故选AC。 题型 4 卫星变轨问题　双星模型 14.2024年3月20日，长征八号火箭成功发射，将鹊桥二号直接送入预定地月转移轨道后离开火箭。如图所示，鹊桥二号进入近月点P、远月点A的月球捕获椭圆轨道，开始绕月球飞行。经过多次轨道控制，鹊桥二号最终进入近月点P和远月点B、周期为24小时的环月椭圆轨道。关于鹊桥二号的说法正确的是(　　) A.离开火箭时速度大于地球的第二宇宙速度 B.在捕获轨道运行的周期大于24小时 C.在捕获轨道上经过P点时，需要点火加速，才可能进入环月轨道 D.经过A点的加速度比经过B点时大 【答案】B 【解析】鹊桥二号离开火箭时速度要大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，才能进入地月转移轨道，A错误；根据开普勒第三定律，捕获轨道的长半轴大于环月轨道的长半轴，所以鹊桥二号在捕获轨道上运行的周期大于在环月轨道上运行的周期，B正确；在P点要由捕获轨道变轨到环月轨道，做近心运动，必须降低速度，经过P点时，需要点火减速，C错误；根据万有引力提供加速度，可得，解得鹊桥二号的加速度为，由于A点距离月球远一些，所以鹊桥二号经过A点的加速度比经过B点时小，D错误。故选B。 15.如图所示，两恒星A、B构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星体的运动，测得该双星的运动周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】双星系统，角速度相同，A、B星体间的万有引力作为彼此的向心力， 因此对A，，对B，， 其中 ，联立解得，故选B。 16.（多选）2023年2月24日下午，“逐梦寰宇问苍穹—中国载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3个月，全面系统回顾工程全线三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程。载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道I，Z卫星到达轨道I的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R(R为地球半径)的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是(　　) A.Z卫星可能是一颗地球同步卫星 B.Z卫星在轨道Ⅰ上运动的周期大于在轨道Ⅱ上运动的周期 C.Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度 D.Z卫星在圆形轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度 【答案】CD 【解析】地球同步卫星受到万有引力提供向心力，有，其中周期T等于24小时，在地球表面上，万有引力等于重力，有，解得同步卫星的轨道半径，由于Z卫星变轨后最终轨道半径为4R，可知，Z卫星不可能是一颗地球同步卫星，A错误；Z卫星在轨道Ⅰ上运动的半径小于在轨道Ⅱ上运动的半长轴，根据开普勒第三定律可知，Z卫星在轨道Ⅰ上运动的周期小于在轨道Ⅱ上运动的周期，B错误；轨道Ⅲ相对于轨道Ⅱ是高轨道，根据变轨原理可知由低轨道变轨到高轨道需要加速，即轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度，C正确；根据万有引力定律和牛顿第二定律，有，解得加速度为，由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅰ的半径，则Z卫星在圆形轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度，D正确。故选CD。 17.（多选）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运行周期相同，则(　　) A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运行周期T＝4πR C.三角形三星系统中星体间的距离L＝R D.三角形三星系统的线速度大小为 【答案】BC 【解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等、方向相反，选项A错误；对直线三星系统，有G＋G＝MR，解得运动周期T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律，得2Gcos 30°＝M·，解得L＝R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝，联立并代入数据解得v＝··，选项D错误． 【综合训练】 1.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证(　　) A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 【答案】B 【解析】设月球的质量为，地球的质量为，苹果的质量为，地球的半径为，月球半径为，根据万有引力定律，地球吸引月球的力为，苹果受到地球的万有引力为，由于题干中未明确出示月球质量和苹果质量之间的关系，故苹果受到地球的万有引力与地球吸引月球的力之间的关系无法确定；由万有引力提供向心力与牛顿第二定律可得，月球公转的加速度约为，苹果落向地面加速度，整理可知二者之间的加速度关系为；由星体表面的物体所受万有引力等于重力，结合万有引力定律，在地球表面有，在月球表面有，由于题干中未明确出示地球、月球本身的半径大小、质量大小关系，故无法判断月球表面和地面表面重力加速度的关系；结合上述选项计算得到的公式，由于题干中未明确出示地球、月球本身的半径大小、质量大小关系，无法判断月球表面和地面表面重力加速度的关系，故无法判断苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的大小关系。故选B。 2.海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为(　　) A.1∶180 B.180∶1 C.75000∶1 D.1∶75000 【答案】B 【解析】设月球质量为M，则太阳质量为，地球到月球的距离为r，则太阳到地球的距离为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力，则太阳对海水的引力，则故选B。 3.如图所示，、是围绕地球运转的两颗卫星，与的轨道平面共面，其中卫星的轨道半径为，卫星的轨道半径为。此时、以及地心刚好在一条直线上，关于这两颗卫星，下列说法正确的是(　　) A.当、以及地心再次到达一条直线上时，转过的角度大于转过的角度 B.A卫星所受万有引力小于卫星所受万有引力 C.通过轨道的调整、中的某一颗卫星可以始终位于宁波的上空 D.若卫星想要进入更高轨道，则需要加速 【答案】D 【解析】根据低轨高速，可知经过相同时间，转过的角度大于A转过的角度，A错误；根据万有引力公式，可知由于A、B的质量不确定，故无法确定它们所受万有引力大小，B错误；只有静止卫星才可以始终相对地球上的某一位置不动，但是静止卫星只能在赤道上方的轨道上，因宁波不在赤道平面内，故不可能有卫星始终位于宁波的上空，C错误；若卫星想要进入更高轨道，就要使其具有更多的机械能，故需要加速，D正确。故选D。 4.如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是(　　) A.在夏至位置地球所受万有引力最大 B.在立春位置，根据万有引力定律可得 C.地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 D.经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 【答案】D 【解析】根据万有引力定律的表达式，由图可知，在夏至位置地球离太阳最远，所受万有引力最小，A错误；由于地球绕太阳做椭圆运动，不是匀速圆周运动，所以万有引力不是全部提供向心力，故在立春位置，，B错误；根据开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，C错误；根据开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相同，即，经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比为，D正确。故选D。 5.如图所示为人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为v＝，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是(　　) A.该黑洞的质量为 B.该黑洞的质量为 C.该黑洞的最大半径为 D.该黑洞的最大半径为 【答案】D 【解析】天体绕黑洞做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式，有＝m2r，解得黑洞的质量M＝，A、B错误；根据黑洞的逃逸速度v＝，联立解得黑洞的半径，黑洞的逃逸速度不小于光速，则有≥c，解得黑洞的最大半径R≤＝，C错误，D正确。 6.2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹．天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星．经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器 （      ）  A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 【答案】D 【解析】天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，故速度增大，故D正确． 7.“三星系统”与“双星系统”都是宇宙中存在的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为M，天体中心连线的长度均为L，星球距离远大于星球半径，万有引力常量为G。“三星系统”与“双星系统”运动周期之比为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在天体系统中，天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，对“三星系统”中的一颗星进行受力分析，每个星受到另外两个星的万有引力合力提供向心力，然后根据牛顿第二定律和向心力公式，有，由几何关系得，对“双星系统”中的一颗星进行受力分析然后根据牛顿第二定律得，联立可得“三星系统”与“双星系统”运动周期之比。 8.如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( ) A.周期为 B.半径为 C.线速度的大小为 D.角速度的大小为 【答案】C 【解析】由图(b)可知，探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为，则P的公转周期为，A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式，可得，解得行星的公转半径为，B错误；根据周期和角速度的关系可得行星P的角速度为，根据线速度与角速度的关系可得行星P的线速度为，C正确，D错误。故选C。 9.如图所示，、是地月系统的两个拉格朗日点，由于月球引力的作用，飞行器处于这两个位置所在轨道时，其绕地球运动的轨道周期恰与月球相等，近似认为可与月球同步绕地球做匀速圆周运动。现有两颗质量相同的卫星分别位于、，则(　　) A.在相同的时间内，处卫星与地球的连线扫过的面积大小是不变的 B.由于处卫星与处卫星均围绕地球运动，因此其轨道半径的立方与公转周期的平方之比是一个常量 C.处卫星的线速度大于处卫星 D.处卫星的向心加速度大于处卫星 【答案】A 【解析】飞行器在处与月球同步绕地球做匀速圆周运动，所以其与地球连线的面积速度保持不变，A正确；L₁、L₂处的卫星除了地球引力，还受月球引力，处卫星与处卫星的角速度相同，故它们的公转周期T也相同，但处卫星的轨道半径大于处卫星，B错误；同时根据线速度与角速度的关系，可知处卫星的线速度较小，C错误；根据向心加速度与角速度的关系，可知处卫星的向心加速度小于处卫星，D错误。故选A。 10.（多选）如图，在某部科幻电影中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。由于地球自转与万有引力的变化，人在不同高度处的太空电梯轿厢内“静止”所需要的力是不相同的。已知地球的半径为R，地球的质量为M，地球自转的角速度为，引力常量为G，同步卫星距离地面的高度为H。若有一部太空电梯沿着地球的半径方向固定在赤道上，它的一节轿厢上升到距离地面高度h处时停止，轿厢内有一位质量为m的宇航员与电梯轿厢保持相对静止。关于此时宇航员与电梯轿厢之间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.宇航员在“太空电梯”中处于静止状态时，处于平衡状态 B.当时，宇航员所受的万有引力恰好等于运动的向心力 C.当时，宇航员受到向下的压力为 D.当时，宇航员受到向上的支持力为 【答案】BC 【解析】宇航员在“太空电梯”中绕地心随地球一起自转，所以宇航员所受的合力提供向心力，宇航员所受合力不为零，所以不处于平衡状态，A错误；无论距地面多高，宇航员在“太空电梯”中做圆周运动的角速度始终等于地球自转的角速度，所受合力提供向心力。对于同步卫星，根据牛顿第二定律和向心力公式，有，当时，卫星为静止卫星，卫星周期与地球自转周期T相等；当时，卫星周期大于地球自转周期；当时，卫星周期小于地球自转周期。故当时，宇航员受到的万有引力恰好提供向心力，B正确；当时，万有引力无法提供足够的向心力，宇航员受到向下的压力，由牛顿第二定律和向心力公式，有，解得宇航员受到的压力为，C正确；当时，万有引力大于随地球自转所需的向心力，宇航员受到向上的支持力，由牛顿第二定律和向心力公式，有，解得宇航员受到的支持力为，D错误。故选BC。 11.比邻星b是一颗太阳系外行星，距地球约4.2光年，是已知距地球最近的处于宜居带内的系外行星，非常值得探索。若将来航天员能登陆该星，并进行如下实验：将一小球从高处自由释放，经时间落地，已知比邻星b的半径为，引力常量为。求： (1)比邻星b的质量； (2)比邻星b的第一宇宙速度： (3)若比邻星b自转周期为，求比邻星b的同步卫星的轨道半径。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)小球自由释放后做自由落体运动，根据位移与时间公式 整理上式解得比邻星b表面的重力加速度为 在比邻星b表面，物体所受重力等于万有引力，设比邻星b的质量为，做自由落体的小球的质量为，根据万有引力定律有 整理上式解得 将代入上式，解得比邻星b的质量为 (2)第一宇宙速度是卫星在星球表面附近做匀速圆周运动的速度，由卫星受到的星球的万有引力提供做匀速圆周运动过程的向心力， 根据万有引力定律与向心力表达式有 联立(1)结果，代入数据整理解得比邻星b的第一宇宙速度为 (3)结合同步卫星的运行特点可知，同步卫星的周期等于星球的自转周期，设同步卫星的轨道半径为，根据万有引力提供向心力， 根据万有引力定律与向心力表达式有 联立上式，代入数据解得比邻星b的同步卫星的轨道半径为 12.图甲是我国北斗导航系统卫星分布图，共55颗卫星在不同的轨道上运行，实现全球卫星导航。图乙是其中一颗北斗卫星从近地轨道升至高轨道的运行示意图。已知该卫星在高轨道运行时距离地面的高度h，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G， 求： (1)地球的质量M； (2)卫星在高轨道运行的速度v； (3)卫星在近地轨道和椭圆轨道运行的周期之比。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设一物体的质量为，在地球表面，质量为m的物体受到的重力等于地球对它的万有引力，即 解得地球质量 设卫星质量为，卫星在高轨道运行时，轨道半径r = R + h 根据牛顿第二定律和向心力公式，有 解得卫星在高轨道运行的速度 （3）根据开普勒第三定律， 解得卫星在近地轨道和椭圆轨道运行的周期之比 13.嫦娥六号完成世界首次月球背面采样后返回时，先进入近月圆轨道I。再进入椭圆轨道II，在轨道II的Q点与返回器对接，图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，嫦娥六号在轨道I运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G。求： (1)嫦娥六号在轨道I上圆周运行速度大小； (2)月球的质量M； (3)嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间t。 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据匀速圆周运动的规律可得嫦娥六号在轨道I上圆周运行速度大小为 （2）嫦娥六号在轨道I上，由万有引力提供向心力可得 解得月球的质量为 （3）设椭圆轨道的周期为，根据开普勒第三定律可得 其中嫦娥六号的轨道半长轴为 可得嫦娥六号在椭圆轨道上运动的周期为 则嫦娥六号第一次从P点飞行到Q点的时间为 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $