安徽省蚌埠第二中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷

学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 13 页 蚌埠二中 2025-2026 学年度高二第一学期开学检测数学 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A D B C C C B BCD ABD ABD 一．单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 2 i 1 2i z    （ i为虚数单位），则 z （ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 5 【解析】A 2 i 4 1 1 1 2i 1 4 z         . 2.在平面直角坐标系 xOy中，角 以Ox为始边，点  4,2P 在角 的终边上，则 2sin （ ） A. 4 5  B. 4 5 C. 2 5  D. 2 5 【解析】A 由条件可知，   5242 22 OP , 所以 5 1 52 2cos, 5 2 52 4sin   ，所以 5 4cossin22sin   . 3.若圆锥的底面圆半径为 2 1 ，其侧面展开图的面积为 2  ，则这个圆锥的体积为（ ） A. 3 3 π B. 3 π 12 C. 3 π 6 D. 3 π 24 【解析】D 令圆锥的母线长为 l， 则有 22 1   l ，所以 1l ，于是圆锥的高为 2 3 h ， 该圆锥的体积为：  24 3 2 3 2 1 3 1 2       ． 4.已知平面向量    1, 2 , 4, 3a b      ，且  a b a     ，则的值为（ ） A. 2 3  B. 2 C. 2 D. 6 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 13 页 【解析】B 因为  a b a     ，所以   0a b a     ，所以 2 0a b a     ， 又因为    1, 2 , 4, 3a b      ，所以5 10 0   ，解得 2   . 故选：A. 5．已知 l，m，n是三条不同的直线， ，  ， 是三个不同的平面，则下列命题一定正确 的是（ ） A．若 / /m  ， //m n，则 //n  B．若 / /m  ，   ，则m  C．若 l   ， m   ， n   ，且满足 //l m，则 //m n D．若m  ， n  ， l  ，且 / /m  ， //n l，则 //  【解析】C：若 / /m  ， //m n，则 n  或 //n  ，故 A错误； 若 / /m  ，   ，则m  或 / /m  或 ,m 相交，故 B错误； 由 l  ， m   ，结合题设知 l  ，而 //l m，则 //l  ，又 l  ， n   ，则 //l n，由 平行公理知： //m n，故 C正确. 若m  ，n  ，l  ，且 / /m  ， //n l，若 m，n相交则 //  ，若 m，n平行则 //  或 ，  相交，故 D错误.故选：C 6.若 π π 10, ,sin 2 6 5                ，则 πcos 6      的值为（ ） A. 2 3 6 10  B. 2 3 6 10  C. 2 6 3 10  D. 2 6 3 10  【解析】C 因为 π 1sin 6 5        ，所以 π 1sin 6 5       ， 因为 π0, 2       ，所以 π π π, 6 6 3         ，所以 2 π π 2 6cos 1 sin 6 6 5                 ， 所以 π π π π π π πcos cos cos cos sin sin 6 6 3 6 3 6 3                                     2 6 1 1 3 2 6 3 5 2 5 2 10       . 7.已知函数   πsin ( 0) 3 f x x        在区间 π0, 3      上的最大值为 3  ，则的取值个数 为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】C: π0 3 x  ，则 π π π π, 3 3 3 3 x        ，显然 1 3   ， 3  ，①若 π π π 3 3 2    学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 共 13 页 即 50 2   时，  f x 在 π0, 3      单调增， max π π π( ) sin 3 3 3 3 f x f               ，作函数   π πsin 3 3 r        的图象，作 3 y  与  r  仅一个交点，所以此时有一个满足要求； ②若 2 π π π 3 3    即 5 3 2   时，  max π π π 5 π( ) 1 , 3, sin 3 , 3 , π 3 3 3 2 18 3 f x f x x x x                 满足要求， 综上知满足条件的共有两个. 8.已知 ABC 中，a、b、c为角A、B、C的对边， cos cos sina B b A c C  ，若 BAC 与 ABC 的内角平分线交于点 I， ABC 的外接圆半径为 2，则 IAB△ 面积的最大值为（ ） A. 2 1 B.2 2 2 C. 4 2 4 D. 2 2 【解析】B: cos cos sina B b A c C  ，由正弦定理得： sin cos sin cos sin sinA B B A C C  ∵  sin cos sin cos sin sinA B B A A B C    ，∴ sin 1C  ，∵  0, πC ， ∴ π 2 C  ， ABC 为直角三角形且外接圆半径 R为 2，∴ 2 2c  ， ∴ 2 2 2 8a b c   ，设内切圆半径为 r，则 1 2ABI S cr△ ． 其 中 2 2 2 2 a b c a br      ， 因 为 2 2 2a b ab  ， 所 以    22 2 2 22 2a b a b ab a b      ， 故 2 2 2 2 a b a b   ，当且仅当 a b 时，等号成立， ∴ 2 21 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2ABI a b a bS                 △ ， 当且仅当 a b 时等号成立. 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9.若复数 z满足 (2 i) 4 3iz   （其中 i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 2 5 4iz   B. 5z z  （ z是 z的共轭复数） 学科网（北京）股份有限公司 第 4 页 共 13 页 C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若 1 2z  ，则 1z z 的最大值为 5 2 【解析】BCD 4 3i (4 3i)(2 i) 5 10i 1 2i 2 i (2 i)(2 i) 5 z            ， 2 2(1 2i) 1 4 4i 3 4iz         ，故 A错误； (1 2i) (1 2i) 1 4 5z z        ，故 B正确； 在复平面内所 z对应的点坐标为 (1, 2) ，在第四象限，故 C正确； 对于 D， 1 2z  ，则表示复数 1z 的点 P的集合是以 (0,0)为圆心，2为半径的圆， 而 1 1 (1 2i)z z z    ，即为点 P到点 (1, 2)M  之间的距离， 所以 1z z 的最大值为 2 21 ( 2) 2 5 2     ，故 D正确． 10.函数 π( ) sin( )( 0, 0,| | ) 2 f x A x A        的部分图象如图所示，则（ ） A. ( )f x 的图象关于直线 4π 3 x   对称 B. π 12 f x     的单调递增区间为 5π 11ππ, π ( ) 12 12 k k k      Z C. ( )f x 的图象向左平移 π 3 个单位长度后得到函数 ( ) 3cos 2g x x D. 若方程 3( ) 2 f x  在 (0, )m 上有且只有 6个根，则 10π3π, 3 m     【解析】ABD 由图可知， 3,A  且经过 3 5π(0, ), ( ,0) 2 12 ，故可得 1sin , 2 5πsin( ) 0 12           ① ，② ， 学科网（北京）股份有限公司 第 5 页 共 13 页 由①，结合 π| | 2   ，则得 π 6   ，代入②，化简得 5π π π, Z 12 6 k k    ，即 2 12 , Z 5 5 k k     ， 由图知，原函数的最小正周期T 满足 π 5π 2 12 T    ，解得 120 5   ，故 2  ，即 π( ) 3sin(2 ) 6 f x x  . 对于 A，当 4π 3 x   时，因 4π 8π π 5π( ) 3sin( ) 3sin( ) 3 3 3 6 2 f         ，故直线 4π 3 x   是 ( )f x 的一条对称轴，故 A正确； 对于 B，将函数 ( )f x 的图象向左平移 π 3 个单位长度后得到函数 π π π π3sin 2 3cos 2 3 3 6 3 y f x x x                         ，故 B错误； 对于 C，因 π π π π( ) 3sin[2 ] 3sin(2 ) 12 12 6 3 f x x x     ( )+ ， 由 π π 3π2 π 2 2 π, Z 2 3 2 k x k k      ，可得 5π 11π[ π, π], Z 12 12 x k k k    ， 即 π 12 f x     的单调递增区间为 5π 11π[ π, π], Z 12 12 k k k   ，故 C正确； 对于 D，由 3( ) 2 f x  可得 π 1sin(2 ) 6 2 x   ，设 π2 6 t x  ，因 (0, )x m ，则 π π( ,2 ) 6 6 t m  ， 依题意函数 siny t 与 1 2 y  在 π π( ,2 ) 6 6 m  上必有 6个交点，作出函数的图象如下： 由图知，需使 37π π 41π2 6 6 6 m   ，解得 10π3π 3 m  ，故 D正确. 11.在长方形 ABCD中， 6AB  ， 1AD  ，点 E在线段 AB上（不包含端点），沿DE将 ADEV 折起，使二面角 A DE C  的大小为 ，  0,π  ，则（ ） A．存在某个位置，使得 AE DC B．四棱锥 A BCDE 体积的最大值为 2 5 3 学科网（北京）股份有限公司 第 6 页 共 13 页 C．存在某个位置，使得直线 / /BC 平面 ADE D．当 π 3   时，线段 AC长度的最小值为 2 7 【解析】ABD:设点 A在平面 BCDE上的投影为 1A，即 1A A DC ， 而当 1A E DC 时， 1 1 1 1 1= ,AA A E A AA A E 、 平面 1AAE， 所以CD 平面 1AAE， AE 平面 1AAE，所以 AE DC ， 这种情况显然存在，故 A正确； 设 ADE   ，  0, ADB   ，则点 A到DE的距离为 sin ， tanAE  ， 6 tanBE   ， 要使得四棱锥 A BCDE 的体积最大，则 π 2   ， 此时四棱锥 A BCDE 的体积   26 6 tan 11 1 sinsin 12sin 3 2 6 cos V                  ， 2 3 2 2 1 2sin cos sin sin 1212cos 2 tan 6 cos 6 tan V                       ， 212 2 tan tan y      在 π0, 2       上单调递减，且当 tan 2  时， 2 12 2 tan 0 tan      . 令 0tan 2  ，  0 0, ADB   ，则 0 2 5sin 5   ， 0 5cos 5   ， 所以V 在  00, 上单调递增，在  0 , ADB  上单调递减，故 max 1 2 5 2 5 2 512 2 6 5 5 3 V            ，即四棱锥 A BCDE 体积的最大值为 2 5 3 ，B正确. 若 / /BC 平面 ADE， BC 平面 BCDE，平面 BCDE平面 ADE DE， 所以 BC DE∥ ，显然矛盾，故 C错误； 过 A，C作DE的垂线，垂足分别为M ， N，从而得到 0AM DM    ， 0CN DE    ， 又 AC AM MN NC       ，所以  22 2 2 2 2AC AM MN NC AM MN NC AM MN                 2 2AM NC MN NC       2 2 2 2AM MN NC AM NC          . 因为二面角 A DE C  的大小为 π 3 ，所以 AM  与  NC的夹角为 120°. 设 ADE   ，  0, ADB   ，则 π 2 CDE    ， sinAM  ， 6cosCN  ， cosDM  ， 6sinDN  ，所以 cos 6sinMN    ， 所以       2 2 2 2 1sin cos 6sin 6cos 2 sin 6cos 2 AC                     学科网（北京）股份有限公司 第 7 页 共 13 页 37 9sin 2  .故当 4   时， 2 AC  有最小值 28，故线段 AC长度的最小值为2 7，D正确. 五.填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.已知向量  a与  b的夹角为 4  ， 102,1   abb ，则   a __________. 【解析】向量  a与  b的夹角为 4  ， 102,1   abb 所以 104422 222         abababab ，即 0622,10 2 244 22   aaaa ，解得 23  a . 13.需要测量某塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点 A与B，现测得 96, 4 , 12 5  ABABDDAB  米，在点 A处测得塔顶C的仰角为 6  ，则塔高CD为 __________米 【答案】 232 【解析】因为在 BAD 中， 96, 4 , 12 5  ABABDDAB  米， 所以 3412 5  ADB ， 由正弦定理得 ABD AD ADB AB    sinsin ，即 2 2 2 3 96 AD  ，解得 632AD (米)， 在 ACDRt 中， 6  CAD ，所以 232 6 tan  ADCD ，即塔高 232CD (米). 14.已知三棱锥 ABCP  的四个面是全等的等腰三角形，且 24,52  PAPBAB ， 点D为三棱锥 ABCP  的外接球球面上一动点， 33PD 时，动点D的轨迹长度为 _______. 【解析】 33 由题意可知，三棱锥 P ABC 的四个面是全等的等腰三角形， 且 | | 4 2,| | | | 2 5PA PB AB   ，如图①所示， 则有 | | | | 4 2,| | | | | | | | 2 5PA BC PB AB PC AC      ， 把三棱锥 P ABC 扩成长方体PHCG FBEA ， 学科网（北京）股份有限公司 第 8 页 共 13 页 则有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | 32 | | | | 20 | | | | 20 FA FP PA FA FB AB FP FB AC             ，解得 2 2 2 | | 16 | | 16 | | 4 FA FP FB       ， 则长方体外接球半径 2 2 2| | | | | | 3 2 FA FP FBr    ， 所以三棱锥 P ABC 的外接球半径 3r  ；点D为三棱锥 P ABC 的外接球球面上一动 点， 当 | | 3 3PD  时，如图③所示， | | | | 3OD OP  所以 ODP 为等腰三角形， 所以 3 3 3| | ,| | 2 2 OO OD   故动点D的轨迹是半径为 3 3| | 2 OD  的圆，轨迹长度为 2π| | 3 3πOD  . 在平面 六.解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.直角坐标系中，已知向量     sin,cos,1,2   ba 且  ba// ． （1）求 2tan 的值； （2）若 为第二象限角，求                           2 cos 2 3sin tan 2 sinsin2 的值． 【解析】（1）因为     sin,cos,1,2   ba 且  ba// ，所以  cossin2  ． 所以 2 1tan  ，故 3 4 tan1 tan22tan 2     . （2）若 为第二象限角，则 5 5sin, 5 52cos   ， 学科网（北京）股份有限公司 第 9 页 共 13 页 所以             sincos sin sincos tancossin2 2 cos 2 3sin tan 2 sinsin2                          1 5 5 5 52 5 5    . 16．（15 分）如图，在平行四边形 ABCD中， 13  ADAB ， ,点M 为 AB中点，点 PN , 在线段 BD上，满足 PDNPBN  ,设   bADaAB , . (1)用向量  ba, 表示向量MP； (2)若 6 7 MP ,求 ADAB  ； (3)若 6  BAD ，求 MN . 【答案】(1)   baMP 3 2 6 1 （2） 2 3 (3) 6 13 【详解】（1）因点M 为 AB中点，点 PN , 在线段 BD上，满足 PDNPBN  ，   aABBAMA 2 1 2 1 2 1 ，   baADABDBDP 3 1 3 1)( 3 1 3 1 , 故   baDPADMAMP 3 2 6 1 ； （2）由（1）得   abMP 6 1 3 2 ，所以   baababMPMP 9 2 36 1 9 4) 6 1 3 2( 22 2 22 因为 6 7 MP ， 13  ADAB ， ，所以 ADAB  9 2 36 3 9 4 36 7 解得： 2 3  ADAB （3）由题意，则 2 3 6 cos13   ba ，   bababaDPMPPNMPMN 3 1 6 1 3 1 3 1 3 2 6 1 ， 所以 2222 9 1 9 1 36 1 3 1 6 1         bbaabaMN 学科网（北京）股份有限公司 第 10 页 共 13 页 36 13 9 1 2 3 9 13 36 1  ，所以 6 13 MN . 17.已知函数   12cos32sin  xxxf ． （1）求  xf 的单调区间； （2）若     2 ,0 x 时，不等式   2mxf 恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为   1 3 πsin2 3cos2 1 2 sin2 cos2 1 2sin 2 1 2 2 3 f x x x x x x                    ． 令 π π 3π2 π 2 2 π 2 3 2 k x k      kZ ，解得  5π 11ππ π 12 12 k x k k    Z ， 所以  f x 的单调递减区间为  5π 11ππ, π 12 12 k k k      Z ；  Zkkxk  2 2 3 2 2 2  ，解得：  Zkkxk  12 5 12  所以  xf 的单调递增区间为  Zkkk      12 5, 12  ． （2）当     2 ,0 x 时，不等式   2mxf 恒成立，即不等式   mxf  2 在     2 ,0 x 上 恒成立， 因为     2 ,0 x ，所以     3 2, 33 2 x ，所以              1, 2 3 3 2sin x ， 所以   31min xf ，所以 13,231  mm 得 即实数m的取值范围为  1 3,   ． 18.如图，在六面体 PABCD中， PCD△ 为等边三角形，平面 PAC 平面 PCD， PA PD ， 2AB CD  ， 4BC AD  ， 2 3PB  ， (1)求证： PA 平面 PCD； (2)求直线 AD与平面 PAC所成角的正弦值； (3)线段 PC上是否存在一点M ，使得二面角M AB C  的平 学科网（北京）股份有限公司 第 11 页 共 13 页 面角的余弦值为 8 3 15 .若存在，求出 PM PC 值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 3 4 (3)存在， 1 4 PM PC  【解析】（1）取棱 PC的中点N，连接DN， 因为 PCD△ 为等边三角形，所以DN PC ， 又因为平面 PAC 平面 PCD，平面PAC平面 PCD PC ， 又DN 平面 PCD，所以DN 平面 PAC，又PA平面 PAC，故DN PA ， 又已知 PA PD ， PD DN D  ，又 ,PD DN 平面 PCD，所以 PA 平面 PCD . （2）连接 AN， 由（1）中DN 平面 PAC，可知 DAN 为直线 AD与平面 PAC所成的角， 因为 PCD△ 为等边三角形， 2CD  且N为 PC的中点，所以 3DN  ， 又DN AN ，在Rt AND 中， 3sin 4 DNDAN AD    ， 所以，直线 AD与平面 PAC所成角的正弦值为 3 4 . （3）取 AB中点Q，连接MQ，CQ， 在Rt AND 中， 2 2 2 3PA AD PD   ， 因为 PA 平面 PCD，又 PC 平面 PAC， 所以 PA PC ，在Rt PAC△ 中， 2 2 4AC PC PA   ， 所以 PBC PAC≌△ △ ，所以MB MA ，又点Q为 AB中点， 所以MQ AB ，同理CQ AB ， 学科网（北京）股份有限公司 第 12 页 共 13 页 所以 MQC 为二面角M AB C  的平面角， 设 (0 1) PM PC     ，在Rt BMP 中， 2 2 212 4BM BP PM     ， 在Rt BMQ△ 中， 2 2 211 4MQ BM BQ     ， 在Rt MQC 中， 2(1 )MC   ， 15QC  ， 211 4MQ   ， 由余弦定理可得： 2 2 2 8 3 2 15 MQ QC MC MQ QC     ， 即： 2 2 2 11 4 15 4(1 ) 8 3 152 11 4 15           ，化简得到： 216 40 9 0    ， 所以 1 4   或 9 4 （舍去），即线段 PC上存在一点M ， 使得二面角M AB C  平面角的余弦值为 8 3 15 ，此时 1 4 PM PC  . 19.如图，在四边形 ABCD中，已知 ABC 的面积为  2221 4 3 ABBCACS  ，记 ACD 的面积为 2S . （1）求 ABC 的大小； （2）若 ABC 外接圆半径为 3，求 ABC 的周长最 大值. （3）设 6 , 3 2   CADBCD ，若 BCCD 3 ， 且满足  2 1 S S 成立，求常数的值. 【解析】（1）在 ABCV 中，由余弦定理知， 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B    ， 所以 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B     ， 因为 2 2 21 3 1( ) sin 4 2 S AC AB BC AB BC B      ， 所以 3 cos sinB B  ，即 tan 3B   ， 又因为  ,0B ，所以 3 2 ABC ； （2）由正弦定理得，2 sin sin sin AC AB BCR B BCA BAC      ，又 3R ， 学科网（北京）股份有限公司 第 13 页 共 13 页 所以 BACBCACBABAC  sin32,sin32,3 ， 由(1)可知 3 2 ABC ，所以 3   ACBBAC ， 所以 ABC 的周长 3sin32sin32  BACACBCABCABl 3sin32) 3 sin(32  BACBAC 3cos3sin3  BACBAC 3) 3 sin(32  BAC ， 因为       3 ,0 BAC ，所以       3 2, 33 BAC ， 所以              1, 2 3 3 sin BAC ，所以 ABC 的周长的取值范围是  332,6  ， 所以 ABC 的周长的最大值为 332  ； （3）设 ACB   ，则 120ACD    ， 30D   ， 60CAB    ， 在 ACD 中，由正弦定理得， sin sin CD AC CAD D   ，即  sin 30 sin 30 CD AC      ， 在 ABCV 中，由正弦定理， sin sin BC AC CAB B   ，即  sin 60 sin120 BC AC     ， 因为 3CD BC ， 两式作商得， 1sin(60 )sin(30 ) cos(30 )sin(30 ) 4             ， 即 1sin(60 2 ) 2   ，因为 (0 ,120 )    ，所以  60 2 60 ,300     ， 所以60 2 150  ，所以 45  ， 所以 1 1 sin 45 2 S AC BC  ， 2 1 1sin(120 45 ) sin75 2 2 S AC DC AC DC       ， 假设 1 2S S ，所以 1 2 1 3 2 1 2( ) 2 2 2 2 2 2 2 AC BC AC DC         ， 解得 3 3 3   . 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 4 页 蚌埠二中2025-2026学年度高二第一学期开学检测数学试卷 命题人：王兆臣 审题人：王琦 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效. 一．单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 2 i 1 2i z    （ i为虚数单位），则 z （ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 5 2.在平面直角坐标系 xOy中，角 以Ox为始边，点  4,2P 在角 的终边上，则 2sin （ ） A. 4 5  B. 4 5 C. 2 5  D. 2 5 3.若圆锥的底面圆半径为 2 1 ，其侧面展开图的面积为 2  ，则这个圆锥的体积为（ ） A. 3 3 π B. 3 π 12 C. 3 π 6 D. 3 π 24 4.已知平面向量    1, 2 , 4, 3a b      ，且  a b a     ，则的值为（ ） A. 2 3  B. 2 C. 2 D. 6 5．已知 l，m，n是三条不同的直线， ，  ， 是三个不同的平面，则下列命题一定正确 的是（ ） A．若 / /m  ， //m n，则 //n  B．若 / /m  ，   ，则m  C．若 l   ， m   ， n   ，且满足 //l m，则 //m n D．若m  ， n  ， l  ，且 / /m  ， //n l，则 //  6.若 π π 10, ,sin 2 6 5                ，则 πcos 6      =（ ） A. 2 3 6 10  B. 2 3 6 10  C. 2 6 3 10  D. 2 6 3 10  学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 4 页 7.已知函数   πsin ( 0) 3 f x x        在区间 π0, 3      上的最大值为 3  ，则的取值个数 为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8.已知 ABC 中，a、b、c为角A、B、C的对边， cos cos sina B b A c C  ，若 BAC 与 ABC 的内角平分线交于点 I， ABC 的外接圆半径为 2，则 IAB△ 面积的最大值为（ ） A. 2 1 B. 4 2 4 C. 2 2 2 D. 2 2 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9.若复数 z满足 (2 i) 4 3iz   （其中 i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 2 5 4iz   B. 5z z  （ z是 z的共轭复数） C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若 1 2z  ，则 1z z 的最大值为 5 2 10.函数 π( ) sin( )( 0, 0,| | ) 2 f x A x A        的部分图象如图所示，则（ ） A. ( )f x 的图象关于直线 4π 3 x   对称 B. π 12 f x     的单调递增区间为 5π 11ππ, π ( ) 12 12 k k k      Z C. ( )f x 的图象向左平移 π 3 个单位长度后得到函数 ( ) 3cos 2g x x D. 若方程 3( ) 2 f x  在 (0, )m 上有且只有 6个根，则 10π3π, 3 m     11.在矩形 ABCD中， 6,1  ABAD ，点 E在线段 AB上（不包含端点），沿DE将 ADE 折起，使二面角 CDEA  的大小为   ,0,  ，则（ ） A．存在某个位置，使得 AE DC B．四棱锥 A BCDE 体积的最大值为 2 5 3 C．存在某个位置，使得直线 / /BC 平面 ADE D．当 π 3   时，线段 AC长度的最小值为 2 7 学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 共 4 页 三.填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.已知向量  a与  b的夹角为 4  ， 102,1   abb ，则   a __________. 13.需要测量某塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点 A与B，现测得 96, 4 , 12 5  ABABDDAB  米，在点 A处测得塔顶C的仰角为 6  ，则塔高CD为 __________米 14.已知三棱锥 ABCP  的四个面是全等的等腰三角形，且 24,52  PAPBAB ， 点D为三棱锥 ABCP  的外接球球面上一动点， 33PD 时，动点D的轨迹长度为 _______. 四.解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分）直角坐标系中，已知向量     sin,cos,1,2   ba 且  ba// ． （1）求 2tan 的值； （2）若 为第二象限角，求                           2 cos 2 3sin tan 2 sinsin2 的值． 16．（15 分）如图，在平行四边形 ABCD中， 13  ADAB ， ,点M 为 AB中点，点 PN , 在线段 BD上，满足 PDNPBN  ,设   bADaAB , . (1)用向量  ba, 表示向量MP； (2)若 6 7 MP ,求 ADAB  ； (3)若 6  BAD ，求 MN . 学科网（北京）股份有限公司 第 4 页 共 4 页 17.（15分）已知函数   12cos32sin  xxxf ． （1）求  xf 的单调区间； （2）若     2 ,0 x 时，不等式   2mxf 恒成立，求实数m的取值范围． 18.（17分）如图，在六面体 PABCD中， PCD△ 为等边三角形，平面 PAC 平面 PCD， PA PD ， 2AB CD  ， 4BC AD  ， 2 3PB  ， (1)求证： PA 平面 PCD； (2)求直线 AD与平面 PAC所成角的正弦值； (3)线段 PC上是否存在一点M ，使得二面角M AB C  的平 面角的余弦值为 8 3 15 .若存在，求出 PM PC 值；若不存在，请说明理由. 19.（17分）如图，在四边形 ABCD中，已知 ABC 的面积为  2221 4 3 ABBCACS  ， 记 ACD 的面积为 2S . （1）求 ABC 的大小； （2）若 ABC 外接圆半径为 3，求 ABC 的周长最大值. （3）设 6 , 3 2   CADBCD ，若 BCCD 3 ，且满足  2 1 S S 成立，求常数的值.