精品解析：北京市第一七一中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

初三暑假学习成果汇报数学 （时长：120分钟 总分值：100分） 一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且， 则的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解． 【详解】连接, 在中，是直径， ， 在中， ，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含直角三角形的性质是解题的关键． 4. 一元二次方程经过配方变形为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法将方程变形得，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键． 5. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是 ∴ 解得 ∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 6. 某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程； 【详解】依题意，得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转可以与自身重合，则x的值可以是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的定义找出旋转角即可求解． 【详解】解：如图，旋转中心外有8个5边形，则相当于把一个圆平均分成8分， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键． 8. 如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．设，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】当时，过点E作于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求出，再根据不同的角度求出，根据即可判断A、B、C；当时，利用勾股定理即可判断D． 【详解】解：当时，过点E作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， 当时，则， ∵， ∴，故A不符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； 当时，则， ∴， ∴ ∵， ∴，故C不符合； 当时，则，即，故D符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解，掌握于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 如图所示，在中，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角，可得，，再根据三角形内角和定理可得，，问题随之得解． 【详解】连接，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可求得，熟练掌握旋转前、后的图形全等是解决此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得，， ， ， ， 故答案为：． 12. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数参赛队伍数即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 13. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，明白根据关于的方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程且，得出不等式和求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， 且，即， 解得：， ∴的取值范围是：且， 故答案为：且． 14. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用扇形的面积公式即可求出． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答本题的关键． 15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____． 【答案】60°或120 ° 【解析】 【分析】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°． 【详解】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″， 则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″， 在Rt△OAC′中，∵OC′=1，OA=2， ∴∠OAC′=30°， ∴∠BAB′=60°， 同理可得∠OAC″=30°， ∴∠BAB″=120°， 综上所述，α的值为60°或120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质． 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，将转化为其他线段进而求最大值． 三、解答题（共68分，17－22题，每题5分，23－26题，每题6分，27－28题，每题7分．） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】根据方程解的定义得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：直线PA和相切． 作法：如图， ①连接AO； ②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B； ③连接BO； ④以B为圆心，BO长为半径作圆； ⑤作的直径OP； ⑥作直线PA． 所以直线PA就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（______）（填推理的依据）． 【答案】（1） 补全的图形如图所示； （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 20. 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心. , C是上一点，，垂足为，，求这段弯路的半径． 【答案】这段弯路的半径为130 m. 【解析】 【分析】设这段弯路的半径为r m, 由垂径定理可得BD=DA=AB=50m. 因为CD=10m,得m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理可列出方程解出半径长. 【详解】解：设这段弯路的半径为r m, 因为OC⊥AB于D, AB=100 （m）, 所以BD=DA=AB=50（m）. 因为CD=10（m）, 得（m）. 因为Rt△BOD中，根据勾股定理有 . 即. 解得r=130（m）. 因此这段弯路的半径为130 m. 【点睛】本题考查垂径定理与勾股定理的应用. 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意得：， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，再根据方程的一个根为正数进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或， ∵该方程有一个根是正数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．若，；求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得．根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再证，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：由旋转知． ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质等，证明是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点B经过的路径的长（结果保留）． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，坐标与图形，勾股定理，弧长公式，解题的关键是掌握勾股定理以及弧长公式． （1）根据要求作图即可； （2）由图即可判断； （3）先计算出，再根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为． 【小问3详解】 解：由图可知，， ∴， 答：的长． 24. 列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_________米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【答案】（1） （2）10米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2个小门； （2）根据长宽之积为180列一元二次方程，求出解后判断是否小于墙的最大可用长度即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 故宽为10米． 25. 如图，在中，，以边为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的直径， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）连接．由“直径所对的圆周角等于90度”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再由，可得，可证，即可证明； （2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 的半径为2， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 28. 在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． （1）当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； （2）的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 【答案】（1）①E ② （2） 【解析】 【分析】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系． （1）①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点，则E是的中点，点D在圆外，点D到最小的距离为3，大于的直径2，进一步得出结果； ②设直线与x轴和y轴分别相交于点，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2，当点P在线段时，点P是的关联点，进一步得出结果； （2）先求得M和N坐标，作于A，作轴于B，当时，点A是的关联点，解直角三角形得出从而得出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点A，B，则E是的中点（垂径定理），故点E是的关联点，点D不是， ②如图1， 设直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2， 当点P在线段时，点P是的关联点， ； 【小问2详解】 如图2， ∵直线方程为， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 作于A， ， ， 当时，点A是的关联点，此时， ∵线段上存在的关联点， ∴，即，且， 解得： 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三暑假学习成果汇报数学 （时长：120分钟 总分值：100分） 一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且， 则的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 4. 一元二次方程经过配方变形为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 7 5. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 6. 某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（　　　） A. B. C. D. 7. 陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转可以与自身重合，则x的值可以是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 105 8. 如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．设，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 如图所示，在中，已知，则______． 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则________．（用含的式子表示） 12. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为________． 13. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ______________． 14. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为_____． 15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____． 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为_______． 三、解答题（共68分，17－22题，每题5分，23－26题，每题6分，27－28题，每题7分．） 17. 解方程： 18. 已知是方程的根，求代数式的值． 19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：直线PA和相切． 作法：如图， ①连接AO； ②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B； ③连接BO； ④以B为圆心，BO长为半径作圆； ⑤作的直径OP； ⑥作直线PA． 所以直线PA就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（______）（填推理的依据）． 20. 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心. , C是上一点，，垂足为，，求这段弯路的半径． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围． 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．若，；求的度数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点B经过的路径的长（结果保留）． 24. 列方程解决实际问题： 某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_________米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 25. 如图，在中，，以边为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 27. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 28. 在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． （1）当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； （2）的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $