第2章 圆锥曲线（复习讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

第2章 圆锥曲线（复习讲义） 1.理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，掌握其标准方程的推导过程，并能根据条件正确写出方程. 2.掌握椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等几何性质. 3.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.能运用性质解决相关问题（如求离心率、焦点弦等）. 3.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系（相交、相切、相离）.能解决与弦长、中点弦、轨迹方程相关的综合问题. 4.提升数学建模与计算能力：能将几何条件转化为代数方程，并通过代数运算解决几何问题，体会坐标法的思想. ●一、椭圆 1、椭圆及其标准方程： （1）定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． （2） 标准方程： ①焦点在轴，； ②焦点在轴，. ③ 2、椭圆的几何性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 离心率 ，其中 焦点 焦距 ●二、双曲线 1、双曲线及其标准方程： （1）定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合（或轨迹）叫作双曲线．这两定点叫做双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距． （3） 标准方程： ①焦点在轴，－＝1(a>0，b>0)； ②焦点在轴，－＝1(a>0，b>0) ③c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2、双曲线的几何性质： 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． ●三、抛物线 1、抛物线及其标准方程： （1）定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． （2）标准方程：. 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 2、抛物线的几何性质： 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 ●四、直线与圆锥曲线的位置关系 1、直线与圆锥曲线的交点： 根据直线与圆锥曲线方程联立方程组求解. 2、直线与圆锥曲线的综合问题： （1）弦长公式 设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝. （2）处理中点弦问题常用的求解方法 ①点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． ②根与系数的关系： 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 题型一 利用椭圆定义求方程 【例1】（24-25高二上·吉林通化·期中）已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：，，再利用，，的关系求解方程即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设圆的半径为， 由于圆内切于圆，所以； 由于圆内切于圆，所以； 由于， 所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆. 则，，所以，； 所以动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：A 【变式1-1】1．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义来求得正确答案. 【详解】由于线段的垂直平分线交线段于点， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 且，则， 所以的轨迹方程为. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）在中，，则顶点A的轨迹方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点），即可得方程. 【详解】因为， 可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点）， 则， 所以顶点A的轨迹方程. 故选：A. 题型二 根据方程表示椭圆求参数范围 【例2】（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 【变式2-1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆的方程及同角三角函数的基本关系得到答案. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 题型三 判断方程是否表示椭圆 【例3】（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知曲线，则（    ） A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 【答案】AC 【分析】分别根据的范围及圆，椭圆，直线的解析式特征判断各个选项即可. 【详解】若，曲线可化为，其表示半径为的圆，A正确； 当时，曲线可化为，表示椭圆，因为，所以其焦点在轴上，B错误； 对于C，依题意得解得则曲线为椭圆，C正确； 取，此时曲线，其表示两条直线，D错误. 故选：AC. 【变式3-2】（多选）（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 题型四 椭圆中焦点三角形的周长问题 【例4】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 【变式4-1】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 【变式4-2】（24-25高二下·广西南宁·期末）椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【答案】 【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长. 【详解】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为： 题型五 椭圆中焦点三角形的面积问题 【例5】（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 【变式5-1】（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 【变式5-2】（24-25高二上·四川达州·阶段练习）已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理求得，然后由面积公式计算面积． 【详解】由题意，，，， 中，， 所以， ∴， 所以. 故答案为：． 题型六 椭圆中焦点三角形的其它问题 【例6】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，结合余弦定理即可求解． 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）设是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则是 三角形. 【答案】直角 【分析】由椭圆方程求出焦距，由椭圆的定义结合题意求出，通过勾股定理即可判断三角形形状. 【详解】因为椭圆的方程为：1，所以，， 由椭圆的定义，知， 因为点P到两个焦点的距离之差为1， 不妨设，由题意可得， 则，， 因为，所以， 所以为直角三角形. 故答案：直角 题型七 椭圆上点到焦点（定点）距离或和、差的最值 【例7】（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程得到，然后借助定义转化为求的最小值和的最大值，即可得解． 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 【变式7-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】8 【分析】设椭圆右焦点为，连接，.根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.故周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程，即可求解周长最大值为. 【详解】    如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 题型八 根据椭圆过的点求标准方程 【例8】（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： 过两点、的椭圆． 【答案】. 【分析】设椭圆方程为，根据题意列方程组求出参数可得. 【详解】设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 【变式8-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程． 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 【变式8-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 题型九 椭圆范围的应用 【例9】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的性质得到的范围，再利用椭圆的定义将转化为关于的二次函数，从而得解. 【详解】由题意知，，所以， 设，则，即， 由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 5 【分析】由椭圆方程可得焦点坐标，设出动点的坐标，利用向量数量积的坐标表示与椭圆方程，整理可得函数表达，可得答案. 【详解】由题意知，设， 则， 所以 ，因为，所以， 所以，则， 即的最小值为1，最大值为5. 故答案为：；. 题型十 椭圆的对称性及其应用 【例10】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的对称性，结合条件，将问题转化成以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，即可求解. 【详解】若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 又椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则椭圆上不存在点，使， 则以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，所以， 解得，又，所以， 故答案为：. 【变式10-1】（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求出，后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解. 【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形， ∴，由椭圆定义知，， ∴，. 在中，， ∴. 在中，.    故选：C. 【变式10-2】（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆，点P，Q为椭圆W上不同的两点．给出下列两个结论 ①若给定点，则对任意的点P，都存在点Q，使得； ②若给定点，则对任意的点P，都存在点Q，使得． 下列选项中判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和椭圆的性质求解即可得 【详解】由知，， 所以焦点坐标为，则 又，所以是椭圆的右焦点， 所以，即， 若，则， 根据椭圆的对称性得，P、Q关于原点对称即可满足条件， 又P是椭圆上任一点，则关于原点对称点Q存在，故①对； 因为P是椭圆上任一点，又，所以，， 所以， 又， 所以对任意的点P，都存在点Q，使得 故②对； 故选：A 题型十一 椭圆的顶点、长轴、短轴等问题 【例11】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 【变式11-1】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】由题意可知椭圆焦点在轴上，将端点代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确. 故选：A. 【变式11-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用为等腰直角三角形求出，再由求出可得答案. 【详解】由题设知，，结合， 可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 题型十二 求椭圆的离心率 【例12】（25-26高二上·全国·课后作业）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意求出，，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率． 【详解】由题意知，，而轴，故， 所以，解得； 又，所以， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【变式12-1】（25-26高二上·全国·课后作业）工程师将飞机最开始的方形窗户改为椭圆形窗户，如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全．一缕阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示．若光线与地面所成角为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的半径为，根据题意列出等式，得到的关系式，进而求得离心率. 【详解】不妨设圆的半径为，则有，， 所以，故离心率． 故选：C. 【变式12-2】（25-26高二上·全国·课前预习）已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题得出的半焦距为2，短半轴长为2，进而得出长半轴长为，再根据离心率公式得出，即可求解． 【详解】由的方程可得的半焦距为，短半轴长为2， 故由题意可得的半焦距为2，短半轴长为2， 所以的长半轴长为， 所以，则， 故选：C． 题型十三 求椭圆离心率的范围 【例13】（25-26高二上·全国·课后作业）正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意先画出图象，确定点的坐标，根据已知条件列出不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】如图，根据椭圆的对称性知点在直线上，可得， 因为焦点在正方形的内部，所以， 即， 即，可得， 又，所以， 所以， 又，解得． 故答案为：.    【变式13-1】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 【变式13-2】（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 题型十四 由a、b、c、e等求椭圆方程 【例14】（2025高二上·全国·专题练习）离心率，焦距的椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】根据椭圆定义，，，解出椭圆. 另外因为题目没有说明焦点在轴还是轴，因此该题有两个标准方程. 【详解】因为椭圆的离心率，焦距， 所以，且，所以， 所以椭圆的标准方程为或． 【变式14-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出长半轴长，进而求出短半轴长，即可得出结果. 【详解】已知椭圆的离心率为，焦点是， 则. 椭圆的方程为. 故答案为：. 【变式14-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 【答案】 【分析】根据已知及椭圆性质有，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程. 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是. 故答案为： 题型十五 利用双曲线定义求方程 【例15】（2025高二·全国·专题练习）已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心的轨迹方程． 【详解】设，的圆心分别为，，圆的半径为． 因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以， 当圆与圆内切、与圆外切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切、与圆内切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，， 则，，，方程为． 故答案为：． 【变式15-1】（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 【变式15-2】（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 题型十六 判断方程是否表示双曲线 【例16】（多选）（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 【变式16-1】（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 【变式16-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆 D．若，则曲线的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据四种曲线的定义可得结果 【详解】A选项：由题意，曲线，若，则， 此时曲线，表示两条直线，A选项正确； B选项：若，又，则，曲线，可化为，此为双曲线方程，B选项正确； C选项：若，取，则曲线表示圆，C选项错误； D选项：若，又，所以，则为，则为等轴双曲线，其离心率为，D选项正确. 故选：ABD. 题型十七 根据双曲线方程求参数的范围 【例17】（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式17-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【变式17-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 题型十八 双曲线中焦点三角形问题 【例18】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 【变式18-1】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 【变式18-2】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 题型十九 双曲线焦点、定点、动点线段和（差）的最值问题 【例19】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 【变式19-1】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程可得右焦点，根据双曲线定义可知，即可得解. 【详解】 如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即， 故答案为：. 【变式19-2】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 题型二十 双曲线范围及其应用 【例20】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解． 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． 【变式20-1】（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用正弦定理及余弦定理得出，再结合双曲线的性质得出的取值范围. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则， 可得， 显然，可得，即， 以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 可知点A在以为焦点的双曲线上（左半支且不含顶点），且， 因为为锐角三角形，显然为锐角，取两种临界状态： 若，则； 若，则，可得； 结合双曲线性质可知的取值范围为. 故选：D. 【变式20-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 题型二十一 双曲线顶点、实（虚）轴问题 【例21】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 【变式21-1】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得的自豪. 【详解】由题意有，解得． 故选：A 【变式21-2】（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知反比例函数的图象是双曲线，则这个双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】求出对称轴与双曲线交点得到顶点坐标从而得到实轴长. 【详解】函数图象的对称轴是直线，对称轴与双曲线的交点坐标满足条件，可解得， 因此两交点坐标分别为，这就是双曲线的两个顶点的坐标. 两顶点的距离， 因此实轴长. 故答案为： 题型二十二 双曲线离心率问题 【例22】（25-26高二上·全国·单元测试）已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用，即，化简即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如图，设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，    则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 故答案为： 【变式22-1】（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解. 【详解】设为第一象限的交点，，， 则，，解得，， 在中，由余弦定理得， ，， ，，， ，即， 当且仅当，即，时等号成立，此时， 故选：D． 【变式22-2】（24-25高二上·天津河北·期末）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案． 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为，由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即，解得或，又因为，即． 故选：A． 题型二十三 双曲线几何性质的综合问题 【例23】（多选）（24-25高二下·四川泸州·期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 【答案】BC 【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的得双曲线标准方程，然后判断各选项． 【详解】直线与坐标轴的交点分别为和， 因此双曲线的一个焦点为，即， 又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以， 由，解得， 选项A，实轴长为，A错； 选项B，离心率为，B正确； 选项C，双曲线方程为，由解得，即， 右焦点为，则，C正确， 选项D，曲线的顶点坐标为，D错误； 故选：BC． 【变式23-1】（24-25高二下·河北唐山·期末）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则它的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，由正弦值求出正切值，根据双曲线的渐近线方程，求出参数关系式，进而求出离心率. 【详解】不妨设为锐角，由，可知，则， 渐近线方程为，即，可得， 离心率. 故选：C. 【变式23-2】（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】由题意求出焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【详解】双曲线方程可化为C：，∴渐近线方程为． 又，∴，故焦点坐标为， 取其中一个焦点坐标和一条渐近线，即， ∴一个焦点到一条渐近线的距离为． 故答案为：. 题型二十四 根据几何性质求双曲线方程 【例24】（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出即可. 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 【变式24-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 【变式24-2】（24-25高二下·北京·期中）双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点位置、渐近线和焦距确定双曲线参数，即可得. 【详解】由题设，若，则渐近线有，故，且， 所以，则，可得，故双曲线方程为. 故答案为： 题型二十五 抛物线定义与动点轨迹方程 【例25】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式25-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【详解】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 【变式25-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 题型二十六 抛物线上的点、定点、焦点距离和的最值问题 【例26】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 【答案】12 【分析】原条件转换为取得最小值10，由此即可列方程求解. 【详解】设点M在C的准线上的射影为D，则，要使取最小值，即取得最小值， 当D，M，P三点共线时，取得最小值，由，得. 故答案为：12. 【变式26-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 【变式26-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可求则到的距离与到准线的距离之和的最小值. 【详解】设为抛物线的焦点，则， 如图，设，为到准线的距离且为垂足， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 题型二十七 根据抛物线方程求焦点或准线 【例27】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的圆心在抛物线上，可求解抛物线方程，即可得焦点坐标. 【详解】由已知，圆的圆心为， 因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选： 【变式27-1】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的标准方程可得结果. 【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 【变式27-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的特点知抛物线的焦点在轴上，曲线过x轴上的定点，即可得抛物线的准线方程. 【详解】由题意可知曲线过x轴上的定点，即为C的焦点，故C的准线方程为． 故选：C 题型二十八 求抛物线的标准方程 【例28】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 【变式28-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 【变式28-2】（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】根据题意结合抛物线的标准方程分析求解即可. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，则，可得， 所以抛物线的标准方程是． （2）因为对称轴是轴，所以可设抛物线的标准方程为或． 因为顶点到焦点的距离等于2，所以，即， 所以抛物线的标准方程是或． （3）因为对称轴是轴，经过点，所以设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，所以，解得， 所以抛物线的标准方程是． 题型二十九 抛物线的对称性及其应用 【例29】（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 【变式29-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 【变式29-2】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 题型三十 抛物线的实际应用 【例30】（25-26高二上·全国·单元测试）某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由和C点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标. （2）由抛物线的顶点和C点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B的坐标，从而求出降落点与观测点之间的距离. 【详解】（1）（1）设，由题意，，即，得 又点上在，所以联立得方程组， 解方程组得或（舍去），当时，， 由图可知，所以， 故C的坐标为． （2）（2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即． 令可得或（舍去），即， 所以， 故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3． 【变式30-1】（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解. 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 【变式30-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 【答案】60.5 【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得. 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 题型三十一 直线与圆锥曲线位置关系的判断与应用 【例31】（多选）（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可得出关于的方程有一正一负根，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】联立，消去得. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根，设这两根分别为、， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为， 故选：BCD. 【变式31-1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选：B． 【变式31-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型三十二 直线与圆锥曲线交点问题 【例32】（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 【变式32-1】（25-26高二上·全国·课后作业）过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由韦达定理及向量的坐标运算可求. 【详解】  过且倾斜角为的直线的方程为， 设，， 由消去得，， 所以  ①，  ②． 又，所以， 所以，代入①中得，代入②中得， 所以，解得或（舍去）． 故选：A. 【变式32-2】（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 题型三十三 直线与圆锥曲线位置关系综合问题 【例33】（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，再由向量数量积的坐标运算得，结合已知求参数，即可得； （2）讨论直线的斜率，设为，联立椭圆并应用韦达定理得，四边形面积，进而求出参数值，即可得. 【详解】（1）设，则，故， 又， 故， 由题可得，，故， 故椭圆的标准方程为； （2）若直线的斜率为0，则，不满足条件， 斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为， 联立，消去整理得， 则， 根据点和点所在位置，如图： 如图，可得， 又四边形的面积为 ， 又，即， 故，所以直线的斜率为. 【变式33-1】（2025·陕西汉中·三模）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为， 抛物线的焦点坐标为，，即. 抛物线的方程为. （2）易知直线不与轴重合，又直线过焦点， 设直线的方程为，、， 联立，消去并整理得，则， ，， ，解得. 直线的方程为或. 【变式33-2】（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程． （2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解. 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有， 故以为中点的弦所在的直线方程为，即. 基础巩固通关测 1．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得即可判断焦点坐标. 【详解】，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用椭圆的标准形式及间的关系，即可求解. 【详解】因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 3．（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由抛物线焦点弦公式结合中点坐标公式即可求解. 【详解】设， 则，所以， 由抛物线的焦点弦公式可得. 故选：C. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 5．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：B. 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 8．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】联立方程求出点，写出向量坐标，结合数量积的坐标运算可得答案. 【详解】由题意， 联立，可得或， 因为点是直线与双曲线的右支交点，所以. ， 所以. 故选：C 9．（24-25高二上·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆在椭圆内，因此不存在点，使得，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 【答案】BCD 【分析】对于A由于的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B若是双曲线，则的焦点在轴上即可求解，对于C若，则是椭圆，则的周长为，对于D若，则是双曲线即可求解. 【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误； 对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确； 对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确； 对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高二下·广西·阶段练习）已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先确定能够使得取得最大值的直线的位置，然后根据抛物线的性质求出最大值. 【详解】易知，当直线与相切时，取得最大值， 设此时直线的方程为，联立，得， 解得，即的斜率为，倾斜角为或，所以的最大值为． 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在轴和轴，再利用渐近线与直线平行可求离心率. 【详解】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 故答案为：或. 能力提升进阶练 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的焦半径公式 【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 14.（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的条件，将两个点的坐标代入椭圆方程，解方程组作答. （2）求出直线的方程，再与椭圆方程联立，借助根与系数的关系求解作答. 【详解】（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为.    15．（24-25高二下·湖南·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标即可得到，从而得到其标准方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，则， 则．    16．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的性质结合关系求解可得； （2）设，由在椭圆上，得，再利用斜率的定义代入化简可得. 【详解】（1）由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得. 又，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 18．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）联立直线和双曲线方程利用弦长公式计算可得； （2）利用点到直线距离公式以及三角形面积公式计算即可； （3）由双曲线定义证明即可得出结论. 【详解】（1）易知右焦点为，直线l的方程为．如图所示： 设，， 由得， 所以，， 可得. （2）原点到直线l：的距离, 所以． （3）证明：由（2）知直线l双曲线的右支相交于A，B两点， 由双曲线的定义得，． 所以， 整理得． 19．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 20．（24-25高二下·海南海口·期中）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，根据点在抛物线上，求得，即可求得抛物线的标准方程； （2）①由，联立方程组得到和，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解； ②联立方程组，得到，，设在第一象限，利用导数的几何意义，分别求得在和处的切线方程，联立方程组，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意，可设抛物线的标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）解：①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆锥曲线（复习讲义） 1.理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，掌握其标准方程的推导过程，并能根据条件正确写出方程. 2.掌握椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等几何性质. 3.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.能运用性质解决相关问题（如求离心率、焦点弦等）. 3.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系（相交、相切、相离）.能解决与弦长、中点弦、轨迹方程相关的综合问题. 4.提升数学建模与计算能力：能将几何条件转化为代数方程，并通过代数运算解决几何问题，体会坐标法的思想. ●一、椭圆 1、椭圆及其标准方程： （1）定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． （2） 标准方程： ①焦点在轴，； ②焦点在轴，. ③ 2、椭圆的几何性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 离心率 ，其中 焦点 焦距 ●二、双曲线 1、双曲线及其标准方程： （1）定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合（或轨迹）叫作双曲线．这两定点叫做双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距． （3） 标准方程： ①焦点在轴，－＝1(a>0，b>0)； ②焦点在轴，－＝1(a>0，b>0) ③c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2、双曲线的几何性质： 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． ●三、抛物线 1、抛物线及其标准方程： （1）定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． （2）标准方程：. 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 2、抛物线的几何性质： 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 ●四、直线与圆锥曲线的位置关系 1、直线与圆锥曲线的交点： 根据直线与圆锥曲线方程联立方程组求解. 2、直线与圆锥曲线的综合问题： （1）弦长公式 设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝. （2）处理中点弦问题常用的求解方法 ①点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． ②根与系数的关系： 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 题型一 利用椭圆定义求方程 【例1】（24-25高二上·吉林通化·期中）已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）在中，，则顶点A的轨迹方程（   ） A． B． C． D． 题型二 根据方程表示椭圆求参数范围 【例2】（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【变式2-2】（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 题型三 判断方程是否表示椭圆 【例3】（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知曲线，则（    ） A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 【变式3-2】（多选）（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线，则（    ） A．当时，是圆 B．当时，是焦距为4的椭圆 C．当是焦点在轴上的椭圆时， D．当是焦点在轴上的椭圆时， 题型四 椭圆中焦点三角形的周长问题 【例4】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【变式4-1】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【变式4-2】（24-25高二下·广西南宁·期末）椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 题型五 椭圆中焦点三角形的面积问题 【例5】（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【变式5-2】（24-25高二上·四川达州·阶段练习）已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 题型六 椭圆中焦点三角形的其它问题 【例6】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）设是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则是 三角形. 题型七 椭圆上点到焦点（定点）距离或和、差的最值 【例7】（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【变式7-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【变式7-2】（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 题型八 根据椭圆过的点求标准方程 【例8】（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： 过两点、的椭圆． 【变式8-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 题型九 椭圆范围的应用 【例9】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【变式9-1】（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 【变式9-2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则的最小值为 ，最大值为 ． 题型十 椭圆的对称性及其应用 【例10】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 【变式10-1】（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二上·北京·期末）已知椭圆，点P，Q为椭圆W上不同的两点．给出下列两个结论 ①若给定点，则对任意的点P，都存在点Q，使得； ②若给定点，则对任意的点P，都存在点Q，使得． 下列选项中判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 题型十一 椭圆的顶点、长轴、短轴等问题 【例11】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式11-1】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【变式11-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 题型十二 求椭圆的离心率 【例12】（25-26高二上·全国·课后作业）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 【变式12-1】（25-26高二上·全国·课后作业）工程师将飞机最开始的方形窗户改为椭圆形窗户，如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全．一缕阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示．若光线与地面所成角为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26高二上·全国·课前预习）已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（   ） A． B． C．1 D． 题型十三 求椭圆离心率的范围 【例13】（25-26高二上·全国·课后作业）正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【变式13-1】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十四 由a、b、c、e等求椭圆方程 【例14】（2025高二上·全国·专题练习）离心率，焦距的椭圆的标准方程为 ． 【变式14-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为 . 【变式14-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 题型十五 利用双曲线定义求方程 【例15】（2025高二·全国·专题练习）已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【变式15-1】（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型十六 判断方程是否表示双曲线 【例16】（多选）（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【变式16-1】（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【变式16-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆 D．若，则曲线的离心率为 题型十七 根据双曲线方程求参数的范围 【例17】（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式17-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 题型十八 双曲线中焦点三角形问题 【例18】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【变式18-2】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 题型十九 双曲线焦点、定点、动点线段和（差）的最值问题 【例19】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【变式19-1】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【变式19-2】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 题型二十 双曲线范围及其应用 【例20】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【变式20-1】（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 双曲线顶点、实（虚）轴问题 【例21】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式21-1】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式21-2】（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知反比例函数的图象是双曲线，则这个双曲线的实轴长为 . 题型二十二 双曲线离心率问题 【例22】（25-26高二上·全国·单元测试）已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【变式22-1】（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【变式22-2】（24-25高二上·天津河北·期末）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 题型二十三 双曲线几何性质的综合问题 【例23】（多选）（24-25高二下·四川泸州·期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 【变式23-1】（24-25高二下·河北唐山·期末）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则它的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式23-2】（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 题型二十四 根据几何性质求双曲线方程 【例24】（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 【变式24-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式24-2】（24-25高二下·北京·期中）双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为 题型二十五 抛物线定义与动点轨迹方程 【例25】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式25-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式25-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 题型二十六 抛物线上的点、定点、焦点距离和的最值问题 【例26】（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则 . 【变式26-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式26-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 . 题型二十七 根据抛物线方程求焦点或准线 【例27】（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式27-1】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式27-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知曲线过抛物线的焦点，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二十八 求抛物线的标准方程 【例28】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式28-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式28-2】（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 题型二十九 抛物线的对称性及其应用 【例29】（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【变式29-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【变式29-2】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 题型三十 抛物线的实际应用 【例30】（25-26高二上·全国·单元测试）某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 【变式30-1】（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【变式30-2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 题型三十一 直线与圆锥曲线位置关系的判断与应用 【例31】（多选）（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式31-1】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式31-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 题型三十二 直线与圆锥曲线交点问题 【例32】（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【变式32-1】（25-26高二上·全国·课后作业）过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D．1 【变式32-2】（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 题型三十三 直线与圆锥曲线位置关系综合问题 【例33】（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 【变式33-1】（2025·陕西汉中·三模）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【变式33-2】（22-23高二上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 基础巩固通关测 1．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 8．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A．1 B．0 C． D． 9．（24-25高二上·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 10．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 11．（24-25高二下·广西·阶段练习）已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为 ． 12．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ． 能力提升进阶练 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 14.（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 15．（24-25高二下·湖南·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为． (1)求的方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 16．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 18．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点 (1)求； (2)求的面积 (3)求证： 19．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 20．（24-25高二下·海南海口·期中）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$