第23章 图形的相似（复习讲义）数学华东师大版九年级上册

第23章 图形的相似（复习讲义） 1．理解成比例线段的概念,会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.． 2．熟练掌握相似三角形的四种判定方法（两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、直角三角形HL）． 3．掌握相似三角形对应要素（边长、高、中线、周长）的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方． 4．掌握中位线的定义以及中位线定理，综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题． 5．理解图形位似变换的概念、性质及其在坐标系中的应用,能综合运用相似知识解决实际生活中的测量和作图问题． 6．会利用坐标表示物体间的位置；使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移或对称、位似变换引起的点的坐标的变化规律. ●一、成比例线段 ★1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. ★2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. ★3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. ●二、比例的基本性质 ★1、比例的相关性质： 比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． ★2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. ●三、黄金分割 ★1、黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： ●四、平行线分线段成比例 ★1、平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ★2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. ●五、相似图形 ★1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. ★2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. ●六、相似三角形的判定 ★1、判定两个三角形相似的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. ★2、相似三角形的判定定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个 三角形相似. 几何语言:∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. ★3、相似三角形的判定定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ★4、定理3：利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ★4、定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. ●七、相似三角形的性质 ★1、相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ★2、相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ★3、相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比. ★4、相似三角形周长比等于相似比． ★5、相似三角形面积比等于相似比的平方． ●八、中位线 ★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． 重心：三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. ●九、位似图形 ★1、位似图形 ◆1、位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． ◆2、利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小． ★2、位似图形的性质 （1）两个位似图形一定是相似形； （2）对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； （3）对应边互相平行（或在同一直线）； （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． ★3、画位似图形 ◆1、画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. ●十、图形与坐标 ★1、坐标确定位置 ★1、用行列、经纬、方格定位法确定位置 ①行列定位法:用行数、列数表示位置.在这种方法中，常把平面分成若干行和若干列，然后利用行数和列数表示平面上的位置; ②经纬定位法: 通过地球上的经度和纬度可以确定一个地点在地球上的位置. ③用方向角、距离确定位置 ★2、图形的变换与坐标 （1）用坐标表示点的平移： 平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）关于坐标轴对称的点的坐标规律： ①关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． ②关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． （3）关于原点对称的点的坐标规律： 关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数．即点P（x，y）关于原点的对称点P′的坐标是 （﹣x，﹣y）． （4）平面直角坐标系中的位似图形 ①在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． ② 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． ③ 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． 题型一 利用比例的基本性质判断式子变形 【例1】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 题型二 利用比例的基本性质求值式子变形 【例2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川内江·期中）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 【变式2-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 题型三 利用比例的基本性质求参式子变形 【例3】已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2 【变式3-1】（2024秋•靖西市期中）如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值． 【变式3-2】（2024秋•临平区月考）已知，线段a，b，c，且． （1）求的值． （2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值． 题型四 成比例线段 【例4】已知四条线段长分别为，若这四条线段是成比例线段，则x的值不可能是（　　） A．1 B．4 C．5 D．9 【变式4-1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆·期末）已知，，，四条线段成比例，其中、，，则 ． 题型五 比例中项的应用 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【变式5-2】（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 题型六 黄金分割的应用 【例6】（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024•山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 　 　cm（结果保留根号）． 题型七 对平行线分线段成比例的判段 【例7】（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 题型八 平行线分线段成比例的应用 【例8】（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【变式8-1】如图，在中，于点，是边上的中线，过点作交于点，交于点若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 题型九 相似多边形的识别 【例9】（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A．B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）下列两个图形中，不一定相似的是（   ） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形 【变式9-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 题型十 相似多边形的性质 【例10】（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 题型十一相似三角形的判定---预备定理 【例11】（2024秋•虹口区月考）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AQ平分∠BAC，交DE于点P，如果DE＝6，BC＝8，AQ＝12，那么AP的长是 　 　． 【变式11-1】（2024秋•项城市期中）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为 ． 【变式11-2】（2024秋•鹤壁期末）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 题型十二 添加条件使得三角形相似 【例12】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【变式12-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 题型十三 相似三角形的判定的证明 【例13】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【变式13-1】（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 【变式13-2】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 题型十四 网格中的相似三角形 【例14】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】 （24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 题型十五 利用中位线的性质计算 【例15】（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式15-1】（2024•肃州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 【变式15-2】（2024秋•武乡县期中）如图，在△ABC中，D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，P为边BC上一点，连结DP，DP，EP．若△ADE的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　． 题型十六 利用中位线的性质证明 【例16】（2024春•武功县期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF． 【变式16-1】（2024春•蒲城县期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB平点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E．求证： （1）△ADB是等边三角形； （2）点E是BD的中点． 【变式16-2】（2024春•洪江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，AE． （1）求证：； （2）过点A作AF⊥BC于点F，求证：△ADE≌△AFE． 题型十七 相似三角形在坐标系中的运用 【例17】如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【变式17-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 题型十八 由相似三角形的性质求角度 【例18】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（2024秋•新化县期末）如图，AB，CD相交于点O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．56° C．86° D．94° 【变式18-2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，若，，则的大小为 ． 题型十九 由相似三角形的性质求线段长 【例19】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【变式19-1】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 题型二十 由相似三角形的性质求周长 【例20】（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知的三边长分别为5，6，7，另有一个与它相似的，其最短边为15，则的周长是（　　） A．45 B．48 C．51 D．54 【变式20-1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-0-2】（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 题型二十一 由相似三角形的性质求面积 【例21】（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式21-1】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式21-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 题型二十二 相似三角形的性质与判定的综合 【例22】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，．    (1)求证：： (2)若，，请直接写出的值． 【变式22-1】（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 【变式22-2】（2024秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B． 求证： （1）△BDE～△CFD； （2）DF2＝EF•CF． 题型二十三 相似三角形与动点问题 【例23】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【变式23-1】如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝　 　． 【变式23-2】（2024秋•安阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝8cm，现有动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CP＝　 　，CQ＝　 　； （2）当t为多少时，PQ的长度等于 （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 题型二十四 相似三角形的实际应用问题 【例24】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 【变式24-1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ） A． B． C． D． 【变式24-2】（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 题型二十五 位似的相关概念 【例25】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式25-1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【变式25-2】（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 题型二十六 位似中心的确定 【例26】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【变式26-1】（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【变式26-2】（2025·浙江·二模）已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 题型二十七 位似的性质的运用 【例27】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【变式27-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【变式27-2】（23-24九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 题型二十八 求位似图形的坐标 【例28】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式28-1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）已知在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把放大2倍得到，那么的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【变式28-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型二十九 用坐标确定位置 【例29】小李、小王、小张、小谢原有位置如图，若用（2，4）表示小李的位置，（3，3）表示小王的位置，（4，2）表示小张的位置，（5，4）表示小谢的位置．撤走最上面一行，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小李现在位置为（1，2） B．小张现在位置为（3，2） C．小王现在位置为（2，2） D．小谢现在位置为（4，2） 【变式29-1】（2024秋•景德镇期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日﹣2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市的地理位置的是（　　） A．离北京市200千米 B．东经114.8°，北纬40.8° C．在宁德市北方 D．在河北省西北部 【变式29-2】（2024春•康巴什期末）如图，渔船A与港口B相距19海里，我们用有序数对（南偏西39°，19海里）来描述渔船A相对港口B的位置，那么港口B相对渔船A的位置可描述A为 　 　. 题型三十 平面坐标系中的平移变换 【例30】在平面直角坐标系中，将M（2，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（﹣1，6） B．（5，6） C．（﹣1，4） D．（5，4） 【变式30-1】如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（　　） A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（2，2），（4，3），（1，7） C．（﹣2，2），（3，4），（1，7） D．（2，﹣2），（4，3），（1，7） 【变式30-2】如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'． （1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标； （2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标； （3）求△ABC的面积． 题型三十一 平面坐标系中的轴对称变换 【例31】已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式31-1】如果点P（2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．0 【变式31-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标． （3）求出△A2B2C2的面积． 题型三十二 平面坐标系中的原点对称 【例32】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 【变式32-1】若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）关于原点对称的点的坐标为　 　 ． 【变式32-1】已知点A（a，2）点B（﹣3，2）关于y轴对称，点C（1，2），点D（﹣1，b）关于原点对称，则a+b＝　 　． 题型三十三 平面坐标系中的位似变换 【例33】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 【变式33-1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【变式33-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 题型三十四 相似三角形的综合题 【例34】（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 【变式34-1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 【变式34-2】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 基础巩固通关测 1．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标是（　　） A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4） 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 4．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 6．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 8．（2025·广东广州·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知，，，，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 能力提升进阶练 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 12．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 14．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 15．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似（复习讲义） 1．理解成比例线段的概念,会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.． 2．熟练掌握相似三角形的四种判定方法（两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、直角三角形HL）． 3．掌握相似三角形对应要素（边长、高、中线、周长）的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方． 4．掌握中位线的定义以及中位线定理，综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题． 5．理解图形位似变换的概念、性质及其在坐标系中的应用,能综合运用相似知识解决实际生活中的测量和作图问题． 6．会利用坐标表示物体间的位置；使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移或对称、位似变换引起的点的坐标的变化规律. ●一、成比例线段 ★1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. ★2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. ★3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. ●二、比例的基本性质 ★1、比例的相关性质： 比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． ★2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. ●三、黄金分割 ★1、黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： ●四、平行线分线段成比例 ★1、平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ★2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. ●五、相似图形 ★1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. ★2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数. 【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上. ●六、相似三角形的判定 ★1、判定两个三角形相似的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. ★2、相似三角形的判定定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个 三角形相似. 几何语言:∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. ★3、相似三角形的判定定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ★4、定理3：利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ★4、定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. ●七、相似三角形的性质 ★1、相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ★2、相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ★3、相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比. ★4、相似三角形周长比等于相似比． ★5、相似三角形面积比等于相似比的平方． ●八、中位线 ★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. 几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且DE =BC． 重心：三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. ●九、位似图形 ★1、位似图形 ◆1、位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． ◆2、利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小． ★2、位似图形的性质 （1）两个位似图形一定是相似形； （2）对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； （3）对应边互相平行（或在同一直线）； （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． ★3、画位似图形 ◆1、画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. ●十、图形与坐标 ★1、坐标确定位置 ★1、用行列、经纬、方格定位法确定位置 ①行列定位法:用行数、列数表示位置.在这种方法中，常把平面分成若干行和若干列，然后利用行数和列数表示平面上的位置; ②经纬定位法: 通过地球上的经度和纬度可以确定一个地点在地球上的位置. ③用方向角、距离确定位置 ★2、图形的变换与坐标 （1）用坐标表示点的平移： 平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）关于坐标轴对称的点的坐标规律： ①关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． ②关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． （3）关于原点对称的点的坐标规律： 关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数．即点P（x，y）关于原点的对称点P′的坐标是 （﹣x，﹣y）． （4）平面直角坐标系中的位似图形 ①在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． ② 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． ③ 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． 题型一 利用比例的基本性质判断式子变形 【例1】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： 由，设，， 代入，， ∴等式成立，故A正确，不符合题意； 由，两边乘得， 整理得， 即，故B正确，不符合题意； 仅说明与的比为， 但，并非唯一解（如，也满足）， 原结论错误，故C错误，符合题意； ∵，，，， ∴（因，即），故D正确，不符合题意； 故选：C 题型二 利用比例的基本性质求值式子变形 【例2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川内江·期中）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知的比例关系设出参数，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 题型三 利用比例的基本性质求参式子变形 【例3】已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2 【答案】D． 【分析】讨论：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，利用分式的性质和得到k＝﹣1；当a+b+c≠0时，利用等比性质得到k，然后约分得到k的值． 【详解】解：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c， 所以k1； 当a+b+c≠0时， 所以k2， 综上所述，k的值为﹣1或2． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【变式3-1】（2024秋•靖西市期中）如果k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值． 【答案】3． 【分析】根据等比性质，可得答案． 【详解】解：∵a+c+e＝3（b+d+f）， ∴k3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【变式3-2】（2024秋•临平区月考）已知，线段a，b，c，且． （1）求的值． （2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值． 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）根据k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用a+b+c＝27求出k的值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， （2）设k， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+b+c＝27， ∴2k+3k+4k＝27， ∴k＝3． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝2k，b＝3k，c＝4k进而得出k的值是解题关键． 题型四 成比例线段 【例4】已知四条线段长分别为，若这四条线段是成比例线段，则x的值不可能是（　　） A．1 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】根据成比例线段的定义得到当时，或时，或时，然后根据比例的性质求出x，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵长度分别为的四条线段是成比例线段， ∴当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，x的值为1或4或9． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级下·重庆·期末）已知，，，四条线段成比例，其中、，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查线段成比例，比例的基本性质，解题的关键是根据题意列出比例关系． 根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵，，，四条线段成比例， ∴， ∵、，， ∴ 故答案为：． 题型五 比例中项的应用 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 【变式5-1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，注意线段不能是负数是解题关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项． 【详解】解∶根据比例中项的概念结合比例的基本性质， 得∶比例中项的平方等于两条线段的乘积．则， 解得 (线段是正数，负值舍去)， 所以． 故答案为：3． 【变式5-2】（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 题型六 黄金分割的应用 【例6】（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 【变式6-1】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 【变式6-2】（2024•山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 　 　cm（结果保留根号）． 【分析】根据题意可得出四边形ANPB是矩形，进而得出AB的长，再根据BC与AB的比值即可解决问题． 【详解】解：∵四边形MNPQ是正方形， ∴∠N＝∠P＝90°， 又∵AB∥NP， ∴∠BAN+∠N＝180°， ∴∠BAN＝90°， ∴四边形ABPN是矩形， ∴AB＝NP＝2cm． 又∵， ∴BC＝（）cm． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，熟知黄金分割的定义及平行线的性质是解题的关键． 题型七 对平行线分线段成比例的判段 【例7】（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 故选项B正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．根据无法判断故C错误； D．∵， ∴， ∴，故D错误． 故选：A． 【变式7-2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 题型八 平行线分线段成比例的应用 【例8】（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例解答．本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴即， 解得． 故选：C． 【变式8-1】如图，在中，于点，是边上的中线，过点作交于点，交于点若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 是边上的中点，， 、分别是、的中点， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出，继而可求． 【详解】解：，， ，， ，，， ， ， ． 题型九 相似多边形的识别 【例9】（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 【变式9-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）下列两个图形中，不一定相似的是（   ） A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是相似形的定义，根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：A. 两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似； B. 两个菱形, 对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似； C. 两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似； D. 两个等边三角形，角都是60°，故相似； 故选B． 【变式9-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个圆形状相同，是相似图形，符合题意． 故选：D． 题型十 相似多边形的性质 【例10】（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 【变式10-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式10-2】（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 题型十一相似三角形的判定---预备定理 【例11】（2024秋•虹口区月考）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AQ平分∠BAC，交DE于点P，如果DE＝6，BC＝8，AQ＝12，那么AP的长是 　 　． 【答案】9． 【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出，再由△APE∽△AQC得出，从而可求出AP的长即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵PE∥QC， ∴△APE∽△AQC， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式11-1】（2024秋•项城市期中）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为 ． 【答案】． 【分析】设CF＝x，则，求出CF，再由EF∥DB，即可求出答案． 【详解】解：设CF＝x， ∵EF∥AC， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵AC∥DB， ∴△BED∽△AEC， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式11-2】（2024秋•鹤壁期末）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出，代入求出DE、DF即可求出答案． 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC，DF＝EC ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AC＝8，BC＝12， ∴AF＝2，DF＝3 ∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6， ∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3 ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18． 答：四边形DECF的周长是18． 【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出DE＝CF，DF＝CE，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力． 题型十二 添加条件使得三角形相似 【例12】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， ， A、，， ，故本选项不符合题意； B、，， ， ， ，故本选项不符合题意； C、 ，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； D、 ，， ，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式12-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式12-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 【答案】或（答案不唯一），证明见详解 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【详解】解：使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； ②添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； 故答案为：或（答案不唯一）． 题型十三 相似三角形的判定的证明 【例13】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得，从而可得出，又，得出，即可证明． 【详解】证明： ，， ． 即． ， ． ． ， ． 【变式13-1】（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义，先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式13-2】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得，再利用相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型十四 网格中的相似三角形 【例14】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 【变式14-1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边跟不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【变式14-2】 （24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 题型十五 利用中位线的性质计算 【例15】（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据三角形的中线的概念求出CD，再根据三角形中位线定理求出EF． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8， ∴BD＝DCBC8＝4， ∵E、F分别是AC，AD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EFCD＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【变式15-1】（2024•肃州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝58°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、F分别是AD、AC的中点，则∠BEF的度数为 　 　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AE＝BE，根据点E、F分别是AD、AC的中点得到EF是△ADC的中位线，可得EF∥BC，分别求出∠BED和∠DEF的度数即可． 【详解】解：∵∠BAC＝58°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝29°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣29°＝61°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝BE， ∴∠BAD＝∠ABE＝29°， ∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝58°， ∵点E、F分别是AD、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠ADB＝∠DEF＝61°， ∴∠BEF＝∠DEF+∠BED＝58°+61°＝119°， 故答案为：119°． 【点睛】本题考查中位线的性质及直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是正确的处理已知条件中的两个中点． 【变式15-2】（2024秋•武乡县期中）如图，在△ABC中，D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，P为边BC上一点，连结DP，DP，EP．若△ADE的面积为3，则图中阴影部分的面积为　 　． 【分析】根据三角形中位线定理推出三角形DEP的面积以及四边形DECB的面积即可推出结果． 【详解】解：∵D为边AB的中点，过点D作DE∥BC交边AC于点E， ∴DE是ABC的中位线， ∴， ∴， ∴S△ABC＝4S△ADE＝12， ∴四边形DECB的面积＝12﹣3＝9， ∵DE是ABC的中位线， ∴△ADE与DEP同底等高， ∴S△DEP＝S△ADE＝3， ∴图中阴影部分的面积为9﹣3＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 题型十六 利用中位线的性质证明 【例16】（2024春•武功县期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF． 【分析】根据三角形中位线的性质得到FGAD，EGBC，由AD＝BC，于是得到FG＝GE，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， ∴FGAD，EGBC， ∵AD＝BC， ∴FG＝GE， ∵H是EF的中点， ∴GH⊥EF． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定和性质，少了掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 【变式16-1】（2024春•蒲城县期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB平点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E．求证： （1）△ADB是等边三角形； （2）点E是BD的中点． 【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线． 【详解】证明：（1）如图所示，连接AE， ∵DC平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝30°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形； （2）∵CE∥DA， ∴∠BEC＝∠ADB＝60°， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝BE＝CB， ∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°， ∴， ∴， ∴E是BD的中点． 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【变式16-2】（2024春•洪江市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，AE． （1）求证：； （2）过点A作AF⊥BC于点F，求证：△ADE≌△AFE． 【分析】（1）由∠BAC＝90°，∠B＝30°，得到ACBC，由三角形中位线定理得到DEAC，因此DEBC； （2）由∠BAC＝90°，E是BC的中点，得到BE＝AE，因此∠BAE＝∠B＝30°，求出∠BAF＝90°﹣∠B＝60°，得到∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE＝30°，因此∠DAE＝∠EAF， 由AE＝BE，D是AB中点，得到ED⊥AB，因此∠ADE＝∠AFE＝90°，又AE＝AE，推出△ADE≌△AFE（AAS）． 【详解】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴ACBC， ∵点D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC， ∴DEBC； （2）∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴AEBC， ∴BE＝AE， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∵AF⊥EC， ∵∠BAF＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE＝30°， ∴∠DAE＝∠EAF， ∵AE＝BE，D是AB中点， ∴ED⊥AB， ∠ADE＝∠AFE＝90°， ∵AE＝AE， ∴△ADE≌△AFE（AAS）． 题型十七 相似三角形在坐标系中的运用 【例17】如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【答案】B 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点． 【变式17-1】如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 【变式17-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 题型十八 由相似三角形的性质求角度 【例18】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等． 利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式18-1】（2024秋•新化县期末）如图，AB，CD相交于点O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．56° C．86° D．94° 【答案】C． 【分析】根据△AOD∽△COB，则∠A＝∠C，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【解答】解：∵△AOD∽△COB， ∴∠A＝∠C， ∵∠A＝56°， ∴∠C＝56°， ∵∠AOC＝∠B+∠C，∠B＝30°， ∴∠AOC＝30°+56°＝86°． 故选：C． 【变式18-2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，若，，则的大小为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到，由相似三角形的性质即可得到，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十九 由相似三角形的性质求线段长 【例19】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，D是边上一点，，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，然后代入数值求解即可． 【详解】解∶∵， ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选∶D． 【变式19-1】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，则，然后代入求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式19-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型二十 由相似三角形的性质求周长 【例20】（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知的三边长分别为5，6，7，另有一个与它相似的，其最短边为15，则的周长是（　　） A．45 B．48 C．51 D．54 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质：周长的比等于相似比，掌握此性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵和相似， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式20-1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式2-0-2】（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于利用相似三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系，确定相似比，进而求出周长比．先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比即可． 【详解】设， 是等腰直角三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， 与的周长比为：． 故选：D． 题型二十一 由相似三角形的性质求面积 【例21】（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边上的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为3， 故选：A． 【变式21-1】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先得出为的中位线，推出，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式21-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 题型二十二 相似三角形的性质与判定的综合 【例22】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，．    (1)求证：： (2)若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）可得，由两角对应相等的三角形相似，即可得证； （2）由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得：． 【变式22-1】（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 【分析】（1）由已知条件可证得△ABD∽△CAE，由相似三角形的性质可得∠DAC＝∠B； （2）由（1）得∠DAC＝∠B，结合∠BCA＝∠ACD，即有△ABC∽△DAC，从而得AC2＝BC•CD，再结合AD是△ABC的中线，从而可求解． 【详解】（1）证明：∵，∠BAD＝∠ECA， ∴△ABD∽△CAE， ∴∠DAC＝∠B； （2）解：由（1）得∠DAC＝∠B， ∵∠BCA＝∠ACD， ∴△ABC∽△DAC， ∴，即AC2＝BC•CD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2DC， ∵AC＝4， ∴42＝2DC•DC， 解得：DC． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是证得△ABC∽△DAC． 【变式22-2】（2024秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B． 求证： （1）△BDE～△CFD； （2）DF2＝EF•CF． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，由外角的性质可得∠DEB＝∠CDF，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，可证△CDF∽△DEF，可得，即可求解． 【详解】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠EDF＝∠B，∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC， ∴∠DEB＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 由（1）可知：△BDE∽△CFD， ∴， ∴， 又∵∠EDF＝∠B＝∠ACB， ∴△CDF∽△DEF， ∴， ∴DF2＝EF•CF． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 题型二十三 相似三角形与动点问题 【例23】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 【变式23-1】如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝　 　． 【答案】2或12或5.6． 【分析】分别从若△PCD∽△APB与若△PCD∽△PAB去分析求解，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：∵①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP＝2或12； ②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP＝5.6． ∴DP＝2或12或5.6． 故答案为：2或12或5.6． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 【变式23-2】（2024秋•安阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝8cm，现有动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CP＝　 　，CQ＝　 　； （2）当t为多少时，PQ的长度等于 （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【分析】（1）利用距离＝速度×时间分别求得线段CP，CQ的长度即可得到结论； （2）在Rt△CPQ中，利用勾股定理列出方程即可求解； （3）分两种情况：①△CPQ∽△CBA和②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解． 【详解】解：（1）∵动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，点P的速度是2cm/s， ∴CP＝2t cm， ∵动点Q从点B出发，沿线段BC向点C方向运动，点Q的速度是1cm/s， ∴BQ＝t cm， ∴CQ＝（8﹣t）cm． 故答案为：2t；8﹣t； （2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，CP2+CQ2＝PQ2， ∴， 解得：t＝0.2或 t＝3， ∴当t为0.2或3秒时，PQ的长度等于； （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似，且∠C＝∠C＝90°， ①当△CPQ∽△CAB时，， ∴， ∴； ②当△CPQ∽△CBA时，， ∴， ∴t＝2， 即当t为2或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合运用，勾股定理，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 题型二十四 相似三角形的实际应用问题 【例24】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 米，米，米， 米， 该古城墙的高度是15米． 故选C． 【变式24-1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式24-2】（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 题型二十五 位似的相关概念 【例25】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【变式25-1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 【变式25-2】（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可． 【详解】解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 题型二十六 位似中心的确定 【例26】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 【变式26-1】（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 【变式26-2】（2025·浙江·二模）已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键． 由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心． 【详解】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，， ∴设直线，的解析式为：， ∴，， 解得，， ∴直线，的解析式为：， 联立解析式，得到公共点， ∴位似中心是， 故选：C． 题型二十七 位似的性质的运用 【例27】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 【变式27-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式27-2】（23-24九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为36， ∴四边形的周长为． 故选：C 题型二十八 求位似图形的坐标 【例28】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此计算即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与是以为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比， ∴位似和的对应点的坐标的比等于， ∵， ∴对应点，即， 故选：B． 【变式28-1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）已知在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把放大2倍得到，那么的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查位似变换和坐标与图形性质．根据点在平面直角坐标系中的位置得到点坐标，结合以原点为位似中心的位似变换放大2倍，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵以O为位似中心，把放大2倍得到， ∴则的坐标为或，即或， 故选：D． 【变式28-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 题型二十九 用坐标确定位置 【例29】小李、小王、小张、小谢原有位置如图，若用（2，4）表示小李的位置，（3，3）表示小王的位置，（4，2）表示小张的位置，（5，4）表示小谢的位置．撤走最上面一行，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小李现在位置为（1，2） B．小张现在位置为（3，2） C．小王现在位置为（2，2） D．小谢现在位置为（4，2） 【分析】根据坐标确定位置，从有序数对的两个数的实际意义考虑解答． 【详解】解：根据题意画出图形可得： A、小李现在位置为第1排第4列，表示为（1，4），故错误； B、小张现在位置为第3排第2列，表示为（3，2），故正确； C、小王现在位置为第2排第3列，表示为（2，3），故错误； D、小谢现在位置为第4排第4列，表示为（4，4），故错误； 故选：B． 【变式29-1】（2024秋•景德镇期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日﹣2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市的地理位置的是（　　） A．离北京市200千米 B．东经114.8°，北纬40.8° C．在宁德市北方 D．在河北省西北部 【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经114.8°，北纬40.8°． 故选：B． 【变式29-2】（2024春•康巴什期末）如图，渔船A与港口B相距19海里，我们用有序数对（南偏西39°，19海里）来描述渔船A相对港口B的位置，那么港口B相对渔船A的位置可描述A为 　 　. 【分析】以A为中心，来描述点B的方向和距离，南与北相对，东与西相对，距离不变，角度不变，据此即可作答． 【详解】解：由题意知： 港口B相对渔船A的位置可描述A为：（北偏东39°，19海里）， 故答案为：（北偏东39°，19海里）． 题型三十 平面坐标系中的平移变换 【例30】在平面直角坐标系中，将M（2，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（﹣1，6） B．（5，6） C．（﹣1，4） D．（5，4） 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：平移后的坐标为（2﹣3，5﹣1），即坐标为（﹣1，4）， 故选：C． 【变式30-1】如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（　　） A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（2，2），（4，3），（1，7） C．（﹣2，2），（3，4），（1，7） D．（2，﹣2），（4，3），（1，7） 【分析】根据网格首先写出三角形的三个顶点坐标，再根据点的平移规律得出平移后三个顶点的坐标． 【详解】解：三角形的三个顶点坐标是：（﹣4，﹣1），（1，1），（﹣1，4）， 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，点的坐标为（﹣4+2，﹣1+3），（1+2，1+3），（﹣1+2，4+3）， 即（3，4），（﹣2，2），（1，7）． 故选：C． 【变式30-2】如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'． （1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标； （2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可； （2）由平移的性质可求解； （3）利用面积的和差关系可求解． 【详解】解：（1）如图所示： ∴点C（5，﹣2）； （2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'， ∴点P'（a+4，b﹣3）； （3）S△ABC＝5×53×52×35×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5． 题型三十一 平面坐标系中的轴对称变换 【例31】已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】依据点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，即可得到a，b的值，进而得出结论． 【详解】解：∵点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2022＝（3﹣4）2022＝（﹣1）2022＝1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 【变式31-1】如果点P（2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．0 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵P（2，b）和点Q（a，3）关于x轴对称， ∴a＝2，b＝﹣3， 则a+b＝2﹣3＝﹣1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 【变式31-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标． （3）求出△A2B2C2的面积． 【分析】（1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）根据平移的性质画出图形并根据点的位置可得坐标； （3）利用△A2B2C2所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求．， 其中A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）； （3）△A2B2C2的面积为3×3﹣1×32﹣2×24， 答：△A2B2C2 的面积为4． 【点评】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移变换等知识，准确画出图形是解题的关键． 题型三十二 平面坐标系中的原点对称 【例32】在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出a，b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b）， ∴a+5＝3，b＝4， ∴a＝﹣2， ∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8． 故选：B． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 【变式32-1】若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）关于原点对称的点的坐标为　 　 ． 【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出n的值，进而利用关于原点对称点的性质得出答案． 【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上， ∴n＝0， ∴B（﹣1，1） 则点B（n﹣1，n+1）关于原点对称的点的坐标为：（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出n的值是解题关键． 【变式32-1】已知点A（a，2）点B（﹣3，2）关于y轴对称，点C（1，2），点D（﹣1，b）关于原点对称，则a+b＝　 　． 【分析】根据关于y轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横纵坐标与原来的互为相反数求出a、b，再代入计算即可． 【详解】解：∵点A（a，2）点B（﹣3，2）关于y轴对称， ∴a＝3． ∵点C（1，2），点D（﹣1，b）关于原点对称， ∴b＝﹣2， ∴a+b＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标以及关于原点对称的点的坐标特点，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆． 题型三十三 平面坐标系中的位似变换 【例33】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是， 【分析】本题考查了平移作图，位似作图，求位似中心． （1）先画出平移后各点的对应点，再依次连接即可； （2）先画出位似的对应点，再依次连接即可； （3）连接并反向延长，相交于点M，点M即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：由图可知，和是位似图形，位似中心M的坐标为． 【变式33-1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图-位似变换，位似图形的性质，位似图形的坐标变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）依据位似中心的位置以及位似比的大小，即可得到； （2）根据位似图形的性质面积比等于相似比的平方，求解即可； （3）依据对应点的坐标的关系：横坐标比等于纵坐标比等于相似比，即可得到点M在中的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求． （2）解：∵与位似，且位似比为； ∴，相似比为， ∴， 即与的面积比为． 故答案为：． （3）解：∵与位似，且位似比为； ∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 【变式33-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 题型三十四 相似三角形的综合题 【例34】（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）设，则，，再根据三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求证； （）过点作于，设，则，，由是等腰直角三角形可得，，即得，由得到，由可得，得到，，即得，由得，得到，即可得，，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式34-1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 【答案】（1）；（2）不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形性质得，结合，得,得，即得； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，得到，由题知，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，由于点M的速度为v，点N的速度为，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； （2）在等腰直角三角形中，， ， ， ，由题知， ， ， ， ， ； （3）， ， 点M的速度为v，点N的速度为， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式34-2】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，  （2）结论成立，理由见解析  （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 基础巩固通关测 1．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标是（　　） A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4） 【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标是（﹣4，﹣1）． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为是解题关键． 设 ，用表示出 ，代入求值即可． 【详解】解：设 ， ， 故选：B ． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 4．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解． 【详解】和是两个全等的等腰直角三角形 ， ，， ，，， 共有对． 故选：C． 5．（2024秋•温江区期末）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE＝4，BD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝BD＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵点D是BC的中点，∠BAC＝90°， ∴AD＝BD＝5， ∵点D、E分别为BC、AC中点， ∴DE∥AB，DE， ∴DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴DE3， ∴AB＝2DE＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 6．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 7．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 8．（2025·广东广州·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据，利用相似三角形的性质解答即可． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设到小孔O的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故到小孔O的距离为， 故答案为：3． 9．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解： ，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 能力提升进阶练 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 12．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得，再利用相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，以及勾股定理的应用，由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出，，由平行线分线段成比例可得出，设，则，代入，得出x的值，即可得出 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，即得，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， ， 解得， 答：崇文塔的高度为， 15．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键． （1）利用翻折的性质和平行四边形的性质，得到即可得到结论； （2）利用翻折的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，利用对应线段成比例求出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； （2）解： 将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由（1）知， ， ， ， ． 16．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$