精品解析：吉林省 吉林市第七中学校2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年吉林省吉林七中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则a的值是（　　） A. 8 B. 6 C. 10 D. 5. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 6. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形内角和等于 C. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D. 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______． 8. 如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 9. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________． 10. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点的位置，测得推送的水平距离为，即，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么绳索的长度为______． 11. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则______； ______． 三、解答题：本题共11小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算： （1）； （2） 13. 先化简，在求值：，其中，． 14. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． （1）请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 15. 如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图： （1）在图1中，在上找一点P，连接，使得； （2）在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分． 16. 如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 17. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，得到点，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）若一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． 18. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 20. 综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 21. 如图1，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P在的平分线上，求点P的坐标； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，直接写出点P的坐标． 22. 已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离． （1）已知点，，，． ①与直线为相离图形的点是______； ②若直线与相离，求的取值范围． （2）设直线，直线及直线围成的图形为，图形是边长为的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省吉林七中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：C． 2. 已知点，都在直线上，下列叙述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，解题关键理解比较一次函数值的大小的方法． 根据已知函数的解析式得出y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在直线上，， ∴， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选A． 4. 在中，，，，则a的值是（　　） A. 8 B. 6 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，此题需先确定斜边，然后再根据勾股定理进行计算，确定斜边是解本题的关键． 利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴斜边为a， ∵，， ∴． 故选：D． 5. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 6. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形内角和等于 C. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D. 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 7. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______． 【答案】对应边相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果． 【详解】解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等； 故答案为：对应边相等的两个三角形全等 8. 如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 9. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________． 【答案】18． 【解析】 【详解】试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18． 考点：三角形中位线定理． 10. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点的位置，测得推送的水平距离为，即，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么绳索的长度为______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】可设秋千的绳索长为，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案．本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：． 答：绳索的长度为， 故答案为：． 11. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则______； ______． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质，理解“不动点”的定义是解题的关键． 由定义可知一次函数的“不动点”为，，再将点代入即可求出m的值． 【详解】解：一次函数的“不动点”为， ， ， 一次函数的“不动点”为， ， 解得： ． 故答案为：，3． 三、解答题：本题共11小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． （1）先运用二次根式乘法法则计算括号内的，再运用二次根式除法法则计算即可； （2）运用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 13. 先化简，在求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【详解】解：化简得 = 把 ，代入上式 =. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序. 14. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． （1）请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）8， 【解析】 【分析】（1）根据小明的作法，按照尺规作图的要求补全图形即可； （2）由，，证明是等边三角形，则，所以，由，得，由，求得，则，所以，，于是得到问题的答案． 【小问1详解】 解：根据小明的作法补全图形如图所示， 理由：设交于点， 垂直平分，交于点，交于点， ，，， 平分，交于点， ， ，， ， ， ， 四边形为所求的菱形 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形的周长为8，它的面积为， 故答案为：8；． 【点睛】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出图形并且证明是等边三角形是解题的关键． 15. 如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图： （1）在图1中，在上找一点P，连接，使得； （2）在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分． 【答案】（1） 解：如图1中，点P即为所求； （2） 解：如图2中，点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）在上取点P，使得，连接，利用勾股定理可得，满足题意； （2）在CD上取一点Q，使得，利用勾股定理可得，根据等腰三角形的性质，可得，然后根据平行线的性质，可得，所以可推得，满足题意． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，角平分线的定义，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 16. 如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【答案】（1）见解析 （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，,再由，可得，即． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：且． 17. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，得到点，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）若一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据点坐标的平移可得，再将代入一次函数求解即可得； （2）先求出一次函数的图象经过点，再将点代入求出的值，结合图形即可得． 【小问1详解】 解：∵将点向右平移2个单位长度，得到点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：对于一次函数，当时，， ∴一次函数的图象经过点， 将点代入得：，解得， 将点代入得：，解得， 画出图形如下： 若一次函数的图象与线段有公共点，则． 18. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】（1）见解析 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【小问1详解】 解：描点并连线如图所示： 【小问2详解】 解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【答案】（1）①80；3；②180； （2）①92.2；②91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可； ②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可； ②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80， 所以，；乙组数据的中位数在第3组中． ②． 故答案为：①80；3；②180； 【小问2详解】 解：①（分）； ②由题意得， 解得 ∴k的最小整数值为91. 故答案为：①92.2；②91 【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 【答案】知识运用：8，30；综合提升：四边形为菱形，理由见解析；迁移探究：；拓展提升： 【解析】 【分析】知识运用：根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出；连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可推出结论； 综合提升：根据折叠的性质，则，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可推出结论； 迁移探究：首先确定，则在中，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明，得出，进而根据，可得，即可求解； 拓展提升：求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】知识运用： ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； 连接，如图， ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：8，30； 综合提升： 四边形为菱形，理由如下： ∵由折叠所得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 迁移探究： ∵为等边三角形， ∴， ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展提升： 如图， ∵四边形是矩形纸片，， ∴， ∵黄金矩形以为宽，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键． 21. 如图1，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P在的平分线上，求点P的坐标； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形的性质等知识，根据待定系数法求出一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）设，根据角平分线的性质得到，解方程即可得到答案； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：对于，令，解得， 则D的坐标是，即， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P是线段上的一个动点． ∴设， 过点P作轴于点M，轴于点N，连接，如图， ∴，， ∵点P在平分线上，轴，轴， ∴， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 解：设， 四边形面积， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为或． 22. 已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离． （1）已知点，，，． ①与直线为相离图形的点是______； ②若直线与相离，求的取值范围． （2）设直线，直线及直线围成的图形为，图形是边长为的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 【答案】（1）① ，；或 （2）或 【解析】 【分析】（1）① 将，，，四个点的坐标代入直线计算即可判断； ② 根据直线经过点和点计算的值即可解答； （2）先画出图形，再分图形在图形上下两种情形，观察图象得出经过特殊位置的图形对角线交点的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：① 点， 当 时，代入直线方程可得，， 点不在直线上， 同理，点不在直线上，点和在直线上， 与直线相离的点是，； 故答案为：，； ② 当直线过点时， 将点坐标代入可得： ， 解得：． 当直线过点时， 将点坐标代入可得： ， 解得：． 的取值范围是或． 【小问2详解】 如图所示： 图形与图形相离时的取值范围是或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识，理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题是解题的关键． 第1页/共1页 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