精品解析： 上海市七一中学2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年上海市七一中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（　　） A. B. C. D. 4. 一组数据有100个数，其中最小数是0，最大数是100．如果要将这100个数分成若干小组，各小组可含最低值不含最高值，且第一组的最低值为0，则下列组数和各小组数据的范围不合理的是( ) A. 8组，组距13 B. 7组，组距15 C. 6组，组距17 D. 5组，组距20 5. 如图，AB//CD ，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG=64°，那么∠EGD的大小是（ ） A. 122° B. 124° C. 120° D. 126° 6. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　） A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 计算：__________． 8. 平方根等于它本身的数是______． 9. 如果，那么_________． 10. 如果函数y=的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是_____． 11. 在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有_________实数根． 12. 《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何?”意思是：当下良田亩，价值钱：薄田亩，价值钱．现在共买顷，价值钱．根据条件，良田买了___________亩． 13. 从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 14. 在梯形中，，，，，那么_________． 15. 某小组位学生一次数学测试的分数为，，，，，，，，那么这个小组测试分数的标准差是_________． 16. 如图在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，如直线，则还有满足条件的直线的函数表达式是_________． 17. 如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是_________． 18. 如图，平面直角坐标系中正方形，已知点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，正方形的边长为4，连接，则的最大值是_________． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 解方程： ． 21. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F． （1）如果AB=AD，求证：EF∥BD （2）如果EF∥BD，求证：AB=AD． 22. 如图①，三个直径为的等圆、、两两外切，切点分别是A、、． （1）那么的长是___________（用含的代数式表示）； （2）探索：现有若干个直径为的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中层圆圈的高度___________，___________（用含、的代数式表示）； （3）应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为米，高为米，用这种集装箱装运长为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；参考数据：，． 23. 如图，中，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点． （1）当以点为圆心长为半径的和以点为圆心长为半径的外切时，求的长； （2）当以边为直径的与线段相切时，求的长． 24. 如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； （3）点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 25. 已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，连接． （1）若，求弦的长． （2）若点在上时，设，求与的函数关系式及自变量的取值范围． （3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市七一中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A、B、C是无理数，选项D，原式=2，是有理数，故选D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘除，幂的乘方，分别根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除的计算法则判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项的运算错误； B、，故本选项的运算正确； C、，故本选项的运算错误； D、，故本选项的运算错误． 故选：B 3. 下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．x，y的指数分别为2，2，此选项错误； B．的指数为1，此选项正确； C．x＋y的指数为2，此选项错误； D．x，y的指数分别为1，2．此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键． 4. 一组数据有100个数，其中最小数是0，最大数是100．如果要将这100个数分成若干小组，各小组可含最低值不含最高值，且第一组的最低值为0，则下列组数和各小组数据的范围不合理的是( ) A. 8组，组距13 B. 7组，组距15 C. 6组，组距17 D. 5组，组距20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图中关于组数的确定．用极差除以组距可确定组数，据此逐一判断即可． 【详解】解：这组数据的极差为100， 则1，分8组； ，分7组； ，分6组； ， 若分为5组，则分组为，由于各小组可含最低值不含最高值，最大数100未被包含在内，故需分6组； 故选：D． 5. 如图，AB//CD ，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG=64°，那么∠EGD的大小是（ ） A. 122° B. 124° C. 120° D. 126° 【答案】A 【解析】 【详解】∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFG=180°， 又∵∠EFG=64°， ∴∠BEF=116°； ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG=∠BEF=58°， ∴∠EGD=180°-∠BEG=122°． 所以∠EGD的度数为122°． 故选A. 6. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　） A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形 C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案． 【详解】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定是矩形也就不一定是平行四边形，故A选项错误，符合题意； B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形，故C选项正确，不符合题意； D、如果AD∥BC，OA=OC，则可以证得四边形ABCD是平行四边形，又AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形，故D选项正确，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 计算：__________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式法则以及同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可． 【详解】解：． 故答案：． 【点睛】本题考查单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键． 8. 平方根等于它本身的数是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查平方根，熟知平方根的定义是解题的关键．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根． 【详解】解：平方根等于它本身的数是0， 故答案为：0． 9. 如果，那么_________． 【答案】2 【解析】 【分析】题目主要考查换元法解一元二次方程，二次根式的非负性，理解题意，利用换元法求解是解题关键． 根据题意设，得出，求解方程，然后根据二次根式的非负性即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可变为， 解得， 因为， 所以， 故答案为2． 10. 如果函数y=的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质得出3m-1<0，再解不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大， ∴3m-1<0， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限内，y随x的增大而增大． 11. 在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有_________实数根． 【答案】有两个不相等的 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 12. 《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何?”意思是：当下良田亩，价值钱：薄田亩，价值钱．现在共买顷，价值钱．根据条件，良田买了___________亩． 【答案】12.5 【解析】 【分析】设良田买了x亩，薄田买了y亩，由“当下良田1亩，价值300钱；薄田7亩，价值500钱.现在共买1顷，价值10000钱”列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩， 依题意得：， 解得： ， 答：良田买了12.5亩， 故答案为：12.5． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程组，是解题的关键． 13. 从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法展示所有4种等可能的结果数，再确定取得的3个数中不含2的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：从0，1，2，3这四个数字中任取3个数有0、1、2；0、1、3；0、2、3；1、2、3四种等可能的结果数， 所以取得的3个数中不含2的概率． 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 14. 在梯形中，，，，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出示意图，过点D作交于点E，则可表示出、 ，从而可得出． 本题考查了平面向量及平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是作出辅助线，将向量转移到一个三角形里面计算． 【详解】解：过点D作交于点E，则， ∵，， ， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 15. 某小组位学生一次数学测试的分数为，，，，，，，，那么这个小组测试分数的标准差是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出这组数据的平均数，再依据方差的计算公式求出数据的方差，继而取方差的算术平方根即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 所以这个小组测试分数的方差是， 则这个小组测试分数的标准差是， 故答案为：． 16. 如图在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，如直线，则还有满足条件的直线的函数表达式是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数则需要两组的值．也考查了矩形的性质、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．延长交轴于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图，则四边形和四边形都为矩形，根据矩形为中心对称图形可判断直线平分多边形的面积；延长交于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图，则四边形和四边形都为矩形，根据矩形为中心对称图形可判断直线平分多边形的面积，然后利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式即可． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图1， ， 四边形和四边形都为矩形， ，， 设直线的解析式为 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； 延长交于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图， ， 四边形和四边形都为矩形， ，， 设直线的解析式为 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 综上所述，满足条件的直线的函数表达式是或． 故答案为：或． 17. 如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式，将抛物线的顶点的横坐标和纵坐标分别用含有a的代数式表示出来，进而可得与之间的关系式． 本题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，熟记公式是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的顶点坐标公式可得抛物线的顶点的 横坐标为， 纵坐标为， ∴， ∴抛物线的“顶线”是． 故答案为：． 18. 如图，平面直角坐标系中正方形，已知点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，正方形的边长为4，连接，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解正方形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键．设的中点为，连接，，则，在中，由勾股定理得，根据直角三角形斜边中线性质得，再根据“两点之间线段最短”得，由此即可得出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，，如图所示： 四边形是正方形，且边长为， ，， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是斜边上的中线， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当，，共线时，为最大，最大值为． 即的最大值是． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用二次根式及绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程： ． 【答案】9 【解析】 【详解】试题分析：方程两边同乘以（x+1）（x-1），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可求得分式方程的解. 试题解析： 方程两边同乘以（x+1）（x-1）得， ， 经检验是增根，舍去 ∴原方程的根是． 21. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F． （1）如果AB=AD，求证：EF∥BD （2）如果EF∥BD，求证：AB=AD． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE=∠ADF，BC=AD，AB=CD， ∵AB=AD， ∴BC=AD=AB=CD， ∵AEBC，AFCD， ∴∠AEB=∠AFD=90º， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE=DF， ∴， ∴， ∴EF∥BD． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABE=∠ADF， ∵AEBC，AFCD， ∴∠AEB=∠AFD=90º， ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∵EF∥BD， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴， ∴， ∴，即， ∴AB=AD． 【解析】 【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABE≌△ADF（AAS），进而求出答案； （2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出△ABE∽△ADF，进而求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用比例关系进行推导． 22. 如图①，三个直径为的等圆、、两两外切，切点分别是A、、． （1）那么的长是___________（用含的代数式表示）； （2）探索：现有若干个直径为的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中层圆圈的高度___________，___________（用含、的代数式表示）； （3）应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为米，高为米，用这种集装箱装运长为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；参考数据：，． 【答案】（1） （2）， （3）方案二在这种集装箱中装运铜管数多 【解析】 【分析】（1）由切线的性质，易得是等边三角形，然后运用等边三角形的性质以及三角函数的知识进行求解，即可求得答案； （2）n个圆的直径即为②中的高，结合（1），由等边三角形的性质和勾股定理进行计算③中的高； （3）结合（2）的结论进行分析求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：连接， ∵三个直径为a的等圆、、两两外切， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图②：高度； 如图③：． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：方案二在这种集装箱中装运铜管数多．理由： 方案一：， 解得：， ． 方案二：根据题意，第一层排放25根，第二层排放24根， 设钢管的放置层数为n，可得， 解得． ∵n为正整数， ∴， ∴钢管放置的最多根数为：（根）， ∴方案二在这种集装箱中装运铜管数多． 【点睛】此题属于圆的综合题．考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意得到规律是关键． 23. 如图，中，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点． （1）当以点为圆心长为半径的和以点为圆心长为半径的外切时，求的长； （2）当以边为直径的与线段相切时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，即可求解； （2）由可证，可得，可证，可求，由三角函数可求解． 【小问1详解】 解：当和外切时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵点在线段上，且， 又， ∴ ∵， ∴， 即 ， ∴； ∴当和外切时，的长为． 【小问2详解】 取边中点，过点分别作，，垂足分别为、，过点作，垂足为，连接， 则有，， 和线段相切， ， 在中，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当以边为直径的与线段相切时，． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； （3）点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 【答案】（1）顶点D的坐标 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）由折叠可知，，在中，，在中，，解得，即可得； （3）由（2）可知是等边三角形，证明，可得，在中，，，可求，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为G． 【小问1详解】 解：将点，代入, ∴， 解得， ∴； ∵， ∴顶点D的坐标； 【小问2详解】 解：由折叠结合抛物线的对称性可知，， 当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设直线与对称轴的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 25. 已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，连接． （1）若，求弦的长． （2）若点在上时，设，求与的函数关系式及自变量的取值范围． （3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或． 【解析】 【分析】 根据，得出，进而求出，以及，再利用相似三角形的性质得出即可； 作，求出，进而得出，即可求出与的关系式； 分别利用若点在外部时，以及利用若点在上时，利用等腰三角形的性质以及锐角三角函数关系得出的值即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接， ， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，作，垂足为，则， ，， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：当点在外部时，连接和， 则， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， 点，，，四点共圆， ， ， 在中，， ， ， 为等腰三角形，， ， 在中，，， ， ； 如下图所示，若点在上时， 同理可知，， ，， ． 综上所述，的值是或． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、等腰三角形的性质，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $