精品解析：上海市黄浦区2023-2024学年下学期八年级期末数学试卷

2023学年第二学期期末考试试卷 八年级数学学科 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数不是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，其中是常数，且的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知，A、B、C三个选项中的函数都是一次函数，D选项中的函数不是一次函数， 故选：D． 2. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断． 【详解】解：A、移项得：，因为，所以原方程没有实数解，所以A选项不符合题意； B、因为，所以原方程没有实数解，所以B选项不符合题意； C、给方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得，经检验 时不满足原方程，所以，所以C选项符合题意； D、解方程得，经检验当时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了解无理方程、一元二次方程、分式方程等知识点，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解． 3. 用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．由，原方程可化为，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案． 【详解】解：设， 分式方程可化为， 化为整式方程：， 故选：D． 4. 向量化简后等于（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据向量的加法运算即可得到结果. 故选：D 5. 已知四边形 中，对角线 与 相交于点O，，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形 是矩形 B. 如果，，那么四边形 是矩形 C. 如果 ，，那么四边形 是菱形 D. 如果 ，，那么四边形 是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形的判定，结合已知，根据各选项给出的条件逐一判定，即可得到错误选项． 【详解】解：∵已知， 对A选项，当时，满足，的四边形 是等腰梯形，不是矩形，故A判断错误，符合题意； 对B选项，∵，，∴四边形 是平行四边形，∴，，∵，∴，∴平行四边形 是矩形，故B判断正确，不符合题意； 对C选项，∵， ，∴四边形 是平行四边形，∵，∴平行四边形 是菱形，故C判断正确，不符合题意； 对D选项，∵，∴，又 ，，∴，∴，∴四边形 是平行四边形，∵，∴平行四边形 是菱形，故D判断正确，不符合题意； 综上，选项A错误． 6. 如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝a，则S正方形BEOF＝a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝a，解得x＝x，则S正方形MNGH＝a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a， ∵四边形BEOF为正方形， ∴CF＝OF＝BF， ∴S正方形BEOF＝（a）2＝a2， 设正方形MNGH的边长为x， ∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形， ∴CM＝AN＝MN＝x， ∴3x＝a，解得x＝a， ∴S正方形MNGH＝＝a2， ∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣＝ 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 8. 已知关于x的方程是二项方程，那么 __________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二项方程的定义，根据关于x的方程是二项方程，即不含这一项，可得 ． 【详解】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴ ． 故答案为：0． 9. 已知甲车辆行驶360km与乙车辆行驶480km所用的时间相同，乙车辆的速度比甲车辆的速度快20km/h．问甲、乙两车辆的速度各是多少？设甲车辆速度为 km/h，根据题意，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设甲车的速度是xkm/h，则乙车的速度是（x+20）km/h，根据时间=路程÷速度结合甲车行驶360km所用的时间与乙车行驶480km所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 10. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：令x=0，则y=2， ∴直线与y轴交点坐标为(0,2)， 令y=0，则x=-1， ∴直线与x轴交点坐标为(-1,0)， ∴直线与两坐标轴围成三角形的面积=, 故答案为：1． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握求一次函数图象与坐标交点坐标是解题的关键． 11. 已知点和点是一次函数图象上的点，则_______．（用“”，“”或“ ”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据题意，将点和点代入一次函数表达式求出，比较大小即可得到答案．熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解： 点和点是一次函数图象上的点， ，， 则， 故答案为：． 12. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于 的不等式组，求出 的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在六边形中，若与的角平分线交于点 ，则等于________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，角平分线的定义，三角形内角和，解题的关键是根据六边形的内角和为，，求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：六边形的内角和是：， ∵， ∴， ∵ 平分， 平分， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，BC=AD=3， ∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG， ∴EF=BC=3，AE=AB， ∵DE=EF， ∴AD=DE=3， ∴AE==3， ∴AB=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键． 15. 如图，在等腰梯形 中，，对角线 与 互相垂直，，那么梯形 的中位线长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了梯形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过 作交的延长线于 ，证明四边形是平行四边形，易得，进而可得 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边的长求得斜边的长，从而利用中位线定义求得答案． 【详解】解：过 作交的延长线于 ， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∵等腰梯形 中，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴梯形的中位线． 故答案为：2． 16. 如图，在矩形 中，，，点E在边 上，连接 ，将沿 翻折，点A对应点为点F，当直线 恰好经过 的中点M时， 的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，先利用勾股定理求出，设，则，在和中，利用勾股定理可得出，解方程即可． 【详解】解：连接， 在矩形 中，，， ∴，，， ∵M是 的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即 的长为， 故答案为：． 17. 如图，四边形 为菱形，点E是 的中点，点F，H是对角线 上两点，且，点G在边 上．若四边形是矩形，则菱形 的周长为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】连接 ，先根据矩形和菱形的性质，推出，得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，得到，即可求出菱形 的周长． 【详解】解：如图，连接 ， 四边形是矩形，， ，，， ， ，， ， 四边形 是菱形， ， 在和中， ， ， ， 是 中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形 的周长为， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】分两种情况：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G；②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G；设BM＝x，表示MG的长，先根据直角三角形30度角的性质可得OG和DG的长，在直角三角形OGM中列方程可得结论． 【详解】解：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G， ∵四边形MCND为平行四边形， ∴OD＝DC＝AB＝2，OM＝MN＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝4，AD＝4， ∴BD＝＝8， ∴AB＝BD， ∴∠ADB＝30°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝60°， Rt△ODG中，∠DOG＝30°， ∴DG＝1，OG＝， 设BM＝x，则MG＝8﹣x﹣1＝7﹣x， △OMG中，MG2+OG2＝OM2， ∴＝42， 解得：x＝7+（舍）或7﹣； ②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G， 同理得：DG＝1，OG＝，OM＝4， 设BM＝x，则MG＝x﹣8+1＝x﹣7， △OMG中，MG2+OG2＝OM2， ∴， 解得：x＝7+或7﹣（舍）； 综上，BM的长为7； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，设未知数列方程是解决问题的关键． 三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题5分，第21、22题每题6分，满分22分） 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解： 方程左右同乘以、去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 检验：，则，故是原分式方程的根， ，则，故是原分式方程的增根， ∴原分式方程的解为． 20. 解方程组． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解二元二次方程组，把二元二次方程组化为两个二元一次方程组是解题的关键，先将二元二次方程组化成二元一次方程组，然后再运用加减消元求解即可． 【详解】解： 整理得：， 即或， 解得： ，． 综上，原方程组的解为：，． 21. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． （1）如果图中线段都可画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与向量相等的向量是　 　； （2）设＝，＝，＝．试用向量，或表示下列向量：＝　 　；＝　 　． （3）求作：．（请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】（1）； （2）+、+﹣； （3）如图所示： ． 【解析】 【分析】（1）由中位线定理得EF∥AC、EF=AC，HG∥AC、HG=AC，从而知EF=HG，且EF∥HG，根据相等向量的定义可得； （2）由可得； （3）由G为DC中点知，从而得=，据此根据三角形法则作图即可得． 【详解】（1）∵E、F是AB、BC的中点，H、G是DA、DC的中点， ∴EF∥AC、EF＝AC，HG∥AC、HG＝AC， ∴EF＝HG，且EF∥HG， ∴， 故答案为； （2）由图知， 则， 故答案为； （3）如图所示： ． 【点睛】本题考查平面向量的知识，解题的关键是掌握中位线定理、相等向量的定义及三角形法则． 22. 如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回）小尼接着再随机地抽取一张． （1）小撤抽到半张“黑桃”的概率是______； （2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撤获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不公平，理由如下： 用表示两张半张“黑桃”，用表示两张半张“黑桃K”，画出树状图如图： 共12种等可能的结果，其中能组成一整张牌的结果有4种， ∴小撤获胜的概率为，小尼获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，掌握概率公式，是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：四张半张牌，半张“黑桃”有2张， ∴小撤抽到半张“黑桃”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分） 23. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数 （个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度 （厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数 ，纵轴表示这摞碗的总高度 ，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】 （1）描点如图所示： （2）它们在同一条直线上；； （3）22厘米； （4）一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画一次函数图象，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中数据描点即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，求出y的值即可； （4）把代入函数解析式，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：（1）略 （2）这些点在一条直线上． 设 与 之间的函数关系式为． 将点、代入，得： ， 解得：， 与 之间的函数关系式为． （3）把代入得：， 当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米． （4）把代入得：， 解得：， ∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 25. 综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点 ，直线分别与 轴于点 ，B． （1）求 的面积． （2）点是 轴上一动点，过点作 轴的垂线，分别交直线于点 ， ．当时，求的值． （3）过点 作 轴的垂线，交直线于点 ，过点 作 轴的平行线，交直线于点 ，是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质： （1）分别令直线的解析式中，求出 的值，从而得出点 、 的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点 的坐标，利用三角形的面积公式即可求出 的面积． （2）分别用含有的代数式表示出根据列出方程，求出的值即可； （3）分别求出点的坐标，分为对角线，为对角线，为对角线，分别讨论求解即可， 【小问1详解】 解：对于，令，解得，故； 对于，令，解得，故； 联立与的方程，解得，，故． ， 的高为 点纵坐标， 面积； 【小问2详解】 解：∵点，过作 轴垂线交于，交于， ∴，． 由，得，化简得||． 当时，解得； 当，解得． 故或； 【小问3详解】 解：∵，且轴，点 在上， ∴， ∴， 同理可得：， 又， 设 ①当为对角线，的交点重合，即对角线的交点， ∴ 的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点 坐标为； ②当为对角线时， ∴ 的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点 坐标为； ③当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点 坐标为； 综上所述，存在这样的点 坐标为或或. 26. 如图1，已知中， ，，，射线，射线平分交 于点D，交 于点E，P是射线 上的动点． （1）求线段 的长；（2）连结，． ①若，求的长． ②如图2，若点Q是射线上的动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求出 的长． 【答案】（1）；（2）①；② 或 【解析】 【分析】（1）由平分线的定义证明，再由平行线的性质证明，从而可得，可得，于是可得答案； （2）①如图，过 作于证明四边形为矩形，，再求解，利用勾股定理可得答案；②分两种情况讨论，如图2，为等腰直角三角形，作于作于证明，可得再证明，即可得到答案，如图3，为等腰直角三角形，过作于过作于证明从而可得答案． 【详解】解：（1）平分 ∵ （2）①如图1，过 作于 四边形为矩形， ②如图2，作于作于 为等腰直角三角形， 平分 ∵ 为等腰直角三角形， ， 如图3，为等腰直角三角形， 过作于过作于 同理可得： 同理为等腰直角三角形， 综上：或 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期末考试试卷 八年级数学学科 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数不是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为（ 　 ） A. B. C. D. 4. 向量化简后等于（       ） A. B. C. D. 5. 已知四边形 中，对角线 与 相交于点O， ，下列判断错误的是（　　） A. 如果，，那么四边形 是矩形 B. 如果， ，那么四边形 是矩形 C. 如果 ，，那么四边形 是菱形 D. 如果 ，，那么四边形 是菱形 6. 如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知，则___________． 8. 已知关于x的方程是二项方程，那么 __________． 9. 已知甲车辆行驶360km与乙车辆行驶480km所用的时间相同，乙车辆的速度比甲车辆的速度快20km/h．问甲、乙两车辆的速度各是多少？设甲车辆速度为km/h，根据题意，可列方程为_______． 10. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为___________． 11. 已知点和点是一次函数图象上的点，则_______．（用“”，“”或“ ”连接） 12. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 13. 如图，在六边形中，若与的角平分线交于点 ，则等于________°． 14. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 15. 如图，在等腰梯形 中，，对角线 与 互相垂直，，那么梯形 的中位线长为______． 16. 如图，在矩形 中，，，点E在边 上，连接，将沿翻折，点A对应点为点F，当直线 恰好经过 的中点M时， 的长为_____． 17. 如图，四边形 为菱形，点E是 的中点，点F，H是对角线 上两点，且，点G在边上．若四边形是矩形，则菱形 的周长为_________． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为_____． 三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题5分，第21、22题每题6分，满分22分） 19. 解分式方程：． 20. 解方程组． 21. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点． （1）如果图中线段都可画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与向量相等的向量是　 　； （2）设＝，＝，＝．试用向量，或表示下列向量：＝　 　；＝　 　． （3）求作：．（请在原图上作图，不要求写作法，但要写出结论） 22. 如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回）小尼接着再随机地抽取一张． （1）小撤抽到半张“黑桃 ”的概率是______； （2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撤获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由． 四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，满分36分） 23. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度 （厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度 ，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 25. 综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点 ，直线分别与轴于点 ，B． （1）求 的面积． （2）点是轴上一动点，过点 作轴的垂线，分别交直线于点 ， ．当时，求的值． （3）过点 作轴的垂线，交直线于点 ，过点 作轴的平行线，交直线于点 ，是否存在一点，使以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图1，已知中，，，，射线，射线平分交 于点D，交 于点E，P是射线 上的动点． （1）求线段 的长；（2）连结，． ①若，求的长． ②如图2，若点Q是射线上的动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $