1.2 集合间的基本关系 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系 1.2 集合间的基本关系 必修第一册 第1章 集合与常用逻辑用语 2025/8/30 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义； 2.能识别给定集合的子集； 3.能适应Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用； 4.在具体情境中，了解空集的含义. 重难点 重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达数学对象或数学内容； 难点：对相近概念及符号的理解，例如区别元素与集合、属于与包含等概念及其符号表示. 核心素养 数学抽象、逻辑推理、直观想象 课前引入 上一节我们学习了元素与集合的关系，知道了元素与集合之间有属于关系，那么集合和集合之间还有什么关系呢？ 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等.两个集合之间是否也有类似的关系？ 探究：子集的概念 问题1 观察下面三个例子，两个集合之间有什么关系吗？ （1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； （2）C为北师大芜湖附校高一(4)班全体女生组成的集合， D为北师大芜湖附校高一(4)班全体学生组成的集合； （3）E={x|x两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}. 在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说 集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.在（2）中，也有相类似的关系. 2.子集的概念 概念生成 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作______(或B⊇A)，读作“__________”(或“B包含A”) 1.Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． A⊆B A包含于B 两边均是集合 “任意”的含义是“全部”“每一个” 开口朝向“大范围” 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作______(或B⊇A)，读作“__________”(或“B包含A”) 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则______ 2.子集的概念 概念生成 A⊆B A包含于B A⊆A A⊆C 包含关系具有传递性 探究：集合相等 问题2 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，观察下面例子，两个集合之间有什么关系吗？ （3）E={x|x两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}. 在（3）中， “两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此集合E,F是由所有等腰三角形组成的集合.即 集合E的任何一个元素都是集合F的元素，同时，集合F中的任何一个元素都是集合E中的元素.这样，我们说集合E中的元素与集合F中的元素是一样的. E=F 3.集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B． 概念生成 可用来证明 集合相等 也就是说，若A⊆B，且B⊆A ，则A＝B． 注：(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 例题讲解：题型一：集合间关系的判断 （教材 P8 例2）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}； (2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}． 解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集． (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集． 因数 反思领悟：判断集合关系的方法 (1)观察法（列举法）：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断． 跟踪练习 [学以致用]　1．(1)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，C＝{x|x是三角形}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C　 B．B⊆A⊆C C．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C (2)已知集合P＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，集合Q＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则P，Q之间的关系为________． √ P＝Q 4.真子集 概念生成 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集. 记法与读法 记作______(或B A)，读作“____________”(或“B真包含A”) 图示   x∉A A真包含于B 5.空集 概念生成 不含任何元素的集合叫做空集，记为∅ ． 规定：（1）空集是任何集合的子集． （2）空集是任何非空集合的真子集． 注：(1)A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅ {0}； 更不能把∅写作{∅}．  {0}；0 {0}；0 ； {} 例题讲解 (教材P8 例1) 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 空集和本身不能忘记 解：集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}． 真子集为∅，{a}，{b}． [典例讲评]　2．填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ 1 {a} 2 {a，b} 4 {a，b，c} 8 例题讲解：题型二：确定集合的子集、真子集及其个数问题 例题讲解：题型二：确定集合的子集、真子集及其个数问题 [典例讲评]　2．填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 思考 含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 反思领悟　子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有____个； (2)A的非空子集有______个； (3)A的真子集有______个； (4)A的非空真子集有______个． 2n 2n－1 2n－1 2n－2 跟踪练习 [学以致用]　2．已知集合M满足：{1，2} M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况． [解]　由题意可以确定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}． 题型四：由集合间的包含关系求参数 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 解：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则解得2≤m≤3． 所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}． 巩固练习 题型四：由集合间的包含关系求参数 [典例讲评]　3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． [母题探究]　若将本例中的条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 所以解得 即2≤m<3，所以m的取值范围是{m|2≤m<3}． 巩固练习 跟踪练习 [学以致用]　3．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围． [解]　①当m＝0时，原方程为-2x＋3＝0，解得x＝，符合题意． ②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程， 由Δ＝4－12m≥0，得m≤，即当m≤且m≠0时， 方程mx2－2x＋3＝0至少有一个实数根，符合题意． 综上所述：若A中元素至少有一个，则m≤． 反思领悟　利用集合间的关系求参数的关注点 (1)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，特别注意验证端点值． (2)要注意空集的情况，空集是任何集合的子集． 跟踪练习 [学以致用]　3．(1)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝2}，且B⊆A，则实数m的值是(　　) A．－2 B．2 C．2或－2 D．2或－2或0 (2)已知集合M＝{x|－3≤x≤5}, N＝{x|a≤x≤a＋1}，若N⊆M，求实数a的取值范围． 跟踪练习 [学以致用]　3．(1)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝2}，且B⊆A，则实数m的值是(　　) A．－2 B．2 C．2或－2 D．2或－2或0 (2)已知集合M＝{x|－3≤x≤5}, N＝{x|a≤x≤a＋1}，若N⊆M，求实数a的取值范围. (1)D　[当B＝∅时，可得m＝0，符合题意，当B＝{－1}时，m＝－2， 当B＝{1}时，m＝2，综上，m的值为2或－2或0．故选D．] (2)解　因为a<a＋1，所以集合N≠∅．因此N⊆M时，应满足解得－3≤a≤4． 所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤4}． 课堂小结 1.Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3.集合相等 若A⊆B，且B⊆A ，则A＝B．  {0}；0 {0}；0 ； {} 5.空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为∅ ． 规定：（1）空集是任何集合的子集．（2）空集是任何非空集合的真子集． 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作______(或B⊇A)，读作“__________”(或“B包含A”) 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则______ 2.子集的概念 课堂小结 A⊆B A包含于B A⊆A A⊆C 开口朝向“大范围” 4.真子集 课堂小结 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集. 记法与读法 记作______(或B A)，读作“____________”(或“B真包含A”) 图示   x∉A A真包含于B 课堂小结 反思领悟　子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有____个； (2)A的非空子集有______个； (3)A的真子集有______个； (4)A的非空真子集有______个． 2n 2n－1 2n－1 2n－2 (1)子集、真子集的概念与性质； (2)子集的个数；(3)由集合间的关系求参数范围． 观察法、数形结合、分类讨论． （1）在由集合间的包含关系求参数时，注意不要遗忘空集， （2）借助数轴解题时，注意不要遗忘端点值的取舍． 课堂小结 知识 方法 注意 1. 完成P8 练习第2、3题，习题1.2 第1-5题 2. 完成分层练习AB组 布置作业 $$