精品解析：四川省绵阳市涪城区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

2021-2022学年四川省绵阳市涪城区九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求 1. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 与x轴有两个交点 D. 顶点坐标是(2，1) 3. 已知点M的坐标是(﹣3,4),则点M关于原点对称的点的坐标是(　　) A. (3,4) B. (3,﹣4) C. (﹣3,﹣4) D. (4,﹣3) 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 5. 将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则( ) A. B. C. D. 8. 近几年，随着争创四川经济副中心目标的提出，绵阳市经济高速发展，国内生产总值（GDP）从2018年的2613亿元增加到2020年的3010亿元，成为四川省第一个GDP突破3000亿元的地级市．若设国内生产总值（GDP）从2018年到2020年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. 2613（1﹣x）2＝3010 B. 2613（1+x）2＝3010 C. 3010（1﹣x）2＝2613 D. 2613+2613（1+x）+2613（1+x）2＝3010 9. 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 10. 如图，在中， ， ，半径为的与交于点 ，且与相切，过 点作交于点，点是边上动点．则 周长最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ） A. B. 3 C. D. 12. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BAD＝60°，点Q为AD边上动点，点P为AB边上点，PQ⊥AD，当点Q从点A出发运动到点D的过程中，△CPQ面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本小题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 分解因式：______． 14. 已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣10＝0的一个根为5，则其另一根为 _____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 ______________________． 16. 公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为 米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少__________米，才能使喷出的水流不致落到池外． 17. 如图，AB为⊙O直径，矩形ACDE的边DE与⊙O相切，点C在⊙O上，若，，则 _____． 18. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，轴，垂足为E，下列结论：①当 时，y随x增大而减小；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的有______．（填序号） 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程 （1）x2+2x﹣6＝0； （2）4（x﹣3）2＝9（x+1）2． 20. 如图，在△ABC中，A、B均在x轴上，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，已知点C坐标为（4，2），将△ABC绕原点O逆时针旋转α得到△A1B1C1，且AD的对应线段A1D1∥y轴． （1）旋转角α＝　　（直接写出结果即可）； （2）求C1的坐标． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值． 22. 如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB与CD交于点M，点E在AD的延长线上，且∠BED＝∠ACD． （1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD∥BE，AC＝4，AM＝CD，求BD的长． 23. 某超市购进一批24元/千克的绿色食品，由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在一次函数关系，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克；如果以40元/千克销售，那么每天可售出200千克． （1）试求出y与x的函数关系式； （2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上的点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形是正方形. （1）求该抛物线的解析式； （2）求正方形面积； （3）如图2、图3，连接，且与交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于下方的点，点Q为直线 上点，当 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点E为第一象限中⊙O上的点，AE与OC交于点P，过点C作 ，且与AE、AB分别交于M、F．点O关于直线CF对称的点为N，ON与CF交于点Q． （1）证明：∠OCF＝∠OAP； （2）证明：AM＝CQ+QN； （3）如图2，若⊙O半径为4，当点N在BE上时，求点E坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年四川省绵阳市涪城区九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求 1. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 2. 对于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 与x轴有两个交点 D. 顶点坐标是(2，1) 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数各系数a、b、c及性质判断各选项内容． 【详解】对于，，故开口向上； 对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)； 故与x轴无交点． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向及与x轴交点个数，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质． 3. 已知点M的坐标是(﹣3,4),则点M关于原点对称的点的坐标是(　　) A. (3,4) B. (3,﹣4) C. (﹣3,﹣4) D. (4,﹣3) 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的特征作答即可． 【详解】由于关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数， 则点M关于原点对称的点的坐标是(3,﹣4)． 故选B． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征，解决本题的关键是熟练掌握该特征． 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根． 考点：根的判别式． 5. 将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线线y=2(x+1)2顶点坐标是（-1，0），然后根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加，求出平移后的抛物线的顶点坐标，即可求得抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y=2(x+1)2的顶点坐标为（-1，0）， ∵向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴1-2=-1,0+3=3， ∴平移后的顶点坐标为（-1，3）， ∴平移后的抛物线解析式为y=2(x−1)2+3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，根据顶点的变化确定函数的变化，正确得出平移后顶点坐标是解题关键． 6. 两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质和直角三角形的性质可证是等边三角形，可得，从而得出旋转的度数． 【详解】解：三角板是两块大小且含有的角， ， 将绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上， ， 是等边三角形， ， ； 故选：A． 7. 如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得，根据得，可得，据此计算即可得． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 近几年，随着争创四川经济副中心目标的提出，绵阳市经济高速发展，国内生产总值（GDP）从2018年的2613亿元增加到2020年的3010亿元，成为四川省第一个GDP突破3000亿元的地级市．若设国内生产总值（GDP）从2018年到2020年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. 2613（1﹣x）2＝3010 B. 2613（1+x）2＝3010 C. 3010（1﹣x）2＝2613 D. 2613+2613（1+x）+2613（1+x）2＝3010 【答案】B 【解析】 【分析】根据2018年的国内生产总值× ( 1+增长率) 2=2020年的国内生产总值，列出方程求解即可． 【详解】解∶由题意得∶2613 ( 1+x ) 2=3010， 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找出平均变化率类实际问题中的等量关系是解题的关键． 9. 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D．． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 10. 如图，在中， ， ，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则 周长最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及轴对称的最短路线问题，延长交于点，连接，交于点，则．此时的值最小，即 的周长最小，求此时的周长即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点，则． 此时的值最小，即 的周长最小 设与相切于，连接， 则 ， ， ， ； ，为的半径， 是的切线， 连接，则 ， ， ， ， 解得：， ， 周长最小值为， 故选：A． 11. 如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度． 【详解】抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D， ， 又点C恰为线段AB中点 ，； 又点A在直线y＝x上， ， 解得：或（舍去）； ， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质． 12. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BAD＝60°，点Q为AD边上动点，点P为AB边上点，PQ⊥AD，当点Q从点A出发运动到点D的过程中，△CPQ面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在边上时，如图，连接、交于点，根据菱形的性质和勾股定理可求得菱形的高为，设，则，由，可得出，且，运用二次函数的性质可得当时，取得最大值； 【详解】点在边上，如图，连接、交于点， 四边形是菱形，，， ， ，， ， ， ， ， 和均为等边三角形， 菱形的高为， 设，则， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 当时，取得最大值； 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形面积，二次函数的性质，运用二次函数的性质是解题关键． 二、填空题：本小题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣10＝0的一个根为5，则其另一根为 _____． 【答案】-2 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到得5•t=-10，然后解一次方程即可． 【详解】设方程的另一个根为t， 根据题意得5•t=-10， 解得t=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，则根与系数的关系为：，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将 顺时针旋转得到，则直线的解析式为 ______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形和平面直角坐标系，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，根据条件证明 ，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵将 顺时针旋转得到，点A坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 16. 公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 ， 高度为 米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与 水平距离为1米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少__________米，才能使喷出的水流不致落到池外． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数解决喷水问题，求抛物线的解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 先利用顶点式求出抛物线解析式，然后转化成一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是，并且经过点， 设抛物线解析式为， 则， 解得， ∴右侧的抛物线解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴水池的半径至少米． 故答案为：． 17. 如图，AB为⊙O直径，矩形ACDE的边DE与⊙O相切，点C在⊙O上，若，，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与圆相切，矩形与梯形中位线的性质得出，，则，即求出的值即可求出结果．将，，用代数式表示，利用勾股定理建立等式关系，求解即可． 【详解】如图，过点作直线相交于点，于点， 四边形 是矩形， 且，且， ． ，为⊙直径， ，（梯形的中位线）． ， ． ，， ，． ，即， 整理得， 解得（不符合题意）． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与圆的相切性质问题．涉及直线与圆相切的性质，矩形的性质、梯形的性质、勾股定理等的理解与综合应用能力．涉及直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径；矩形对应边平行且相等，四个角都是直角；梯形中位线等于两底和的一半；一个直角三角形中，两个直角边长的平方加起来等于斜边长的平方．灵活运用相关知识点建立等式关系求解是解本题的关键． 18. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，轴，垂足为E，下列结论：①当 时，y随x增大而减小；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的有______．（填序号） 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】①根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，判定当x<1时，y随x增大而增大；②根据a<0，， 得到b=-2a，代入a+b=a-2a=-a>0；③x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，得到9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根据，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根据3a+c=0，得到c=-3a，推出；⑤根据抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，得到A(-1,0)设抛物线解析式为，推出当时，-3a>2． 【详解】①当 时，y随x增大而减小， ∵抛物线顶点D的横坐标为1， ∴对称轴为直线x=1， ∵抛物线开口向下， ∴当 时，y随x增大而增大， ∴不正确； ②， ∵，a<0， ∴b=-2a>0， ∴a+b=a-2a=-a>0， ∴不正确； ③， ∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a， ∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0, ∵b>0， ∴3a+b+c>0， ∴正确； ④， ∵b=-2a，3a+c=0， ∴c=-3a， ， ∴正确； ⑤当时，， ∵抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1， ∴A(-1,0) ∴设抛物线解析式为， 当时，-3a>2， ∴正确． 故答案为，③④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握图象开口与a的关系，图象与y轴交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，图象与x轴的交点特征． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程 （1）x2+2x﹣6＝0； （2）4（x﹣3）2＝9（x+1）2． 【答案】（1）x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1 （2）x1＝，x2＝﹣9 【解析】 【分析】（1）先把常数项移项到等号的另一边，利用配方法求解方程比较简便； （2）用直接开平方法求解方程比较简便． 【小问1详解】 x2+2x+1﹣7＝0， （x+1）2=7， ． ∴x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1． 【小问2详解】 ∴ ∴或． ∴x1＝，x2＝﹣9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择合适的方法是解决本题的关键． 20. 如图，在△ABC中，A、B均在x轴上，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，已知点C坐标为（4，2），将△ABC绕原点O逆时针旋转α得到△A1B1C1，且AD的对应线段A1D1∥y轴． （1）旋转角α＝　　（直接写出结果即可）； （2）求C1的坐标． 【答案】（1）45° （2）（，3） 【解析】 【分析】（1）如图，延长D1A1交x轴于点H，求出∠OA1D1＝∠OAD＝135°，可得∠AOA1＝45°，可得结论； （2）根据点C坐标可得OA＝OA1＝4，AC＝A1C1＝2，利用勾股定理求出OH、A1H、、可得C1的坐标． 【小问1详解】 解：如图，延长D1A1交x轴于点H． ∵△ABC是等腰直角三角形，CD＝DB， ∴∠CAD＝45°， ∴∠OAD＝135°， 由旋转的性质可知，∠OA1D1＝∠OAD＝135°， ∵A1D1∥y轴， ∴∠OA1H＝45°，∠OHA1＝90°， ∴∠AOA1＝45°， ∴α＝45°， 故答案为：45°； 【小问2详解】 ∵C（4，2）， ∴OA＝OA1＝4，AC＝A1C1＝2， 由勾股定理得：OH＝A1H＝，， ∴C1（，3）， 故答案为：（，3）． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化−旋转，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值． 【答案】（1）全体实数 （2）m＝﹣1 【解析】 【分析】（1）由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围； （2）将x=1代入原方程即可求出m值． 【小问1详解】 ∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0， ∴m的取值范围是全体实数． 【小问2详解】 将x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0， 解得：m＝﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=b2-4ac≥0”是解题的关键． 22. 如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB与CD交于点M，点E在AD的延长线上，且∠BED＝∠ACD． （1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD∥BE，AC＝4，AM＝CD，求BD的长． 【答案】（1）BE与⊙O相切，理由见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，等量代换证明∠ABE=90°，根据圆的切线的判定定理即可得出结论； （2）利用垂径定理可得CM=CD，在Rt△ACM中利用勾股定理列出方程求得AM的长，在Rt△BDM中解直角三角形即可求得BD的长． 【小问1详解】 BE与⊙O相切．理由： ∵∠BED＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠BED． ∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB＝90°． ∴∠BED+∠DBE＝90°． ∴∠ABD+∠DBE＝90°． 即：AB⊥BE． ∴BE与⊙O相切． 【小问2详解】 ∵AB⊥BE，CD∥BE， ∴AB⊥CD． ∵AB为⊙O直径， ∴CM＝MD＝CD． ∵AM＝CD， ∴CM＝MD＝AM． 设CM＝x，则AM＝2x． 在Rt△ACM中， ∵AM2+CM2＝AC2， ∴． 解得：x＝±4（负数不合题意，舍去）． ∴CM＝DM＝4，AM＝8． ∴cos∠CAM＝． ∵∠BDM＝∠CAM， ∴cos∠BDM＝． 在Rt△BDM中， ∵cos∠BDM＝=， ∴BD＝2． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理及其推论，利用垂径定理得出CM=MD=AM是解题的关键． 23. 某超市购进一批24元/千克的绿色食品，由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在一次函数关系，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克；如果以40元/千克销售，那么每天可售出200千克． （1）试求出y与x的函数关系式； （2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣20x+1000（30≤x≤50） （2）当销售单价为37元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是3380元 【解析】 【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，根据待定系数法求出关系式即可； （2）先根据总利润=单件利润×销售量得出二次函数关系式，再讨论极值即可. 【小问1详解】 设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将x＝30时，y＝400，x＝40时，y＝200，代入，得， 解得： ， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）； 【小问2详解】 由题意得：p＝（x﹣24）y ＝（x﹣24）（﹣20x+1000） ＝﹣20x2+1480x﹣24000 ＝﹣20（x﹣37）2+3380， ∵a＝﹣20＜0， ∴当x＝37时，p有最大值，最大值为3380， ∴当销售单价为37元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是3380元． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式及应用二次函数求极值，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中，顶点，点E为对称轴上的点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形是正方形. （1）求该抛物线的解析式； （2）求正方形面积； （3）如图2、图3，连接，且与 交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于下方的点，点Q为直线 上点，当 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标． 【答案】（1） （2）32 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、正方形的性质、二次函数的图象及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值即可解答； （2）如图1：过点F作交于点R，设，则，可得，再由正方形的性质，列方程求得即可解答； （3）由题可知，，直线 的解析式为 ，设，分两种情况讨论：①当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T，可证明，能求出，即可求；②当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点，可证明，能求出，则可求． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得，解得：， ∴，即． 【小问2详解】 解：如图1：过点F作交于点R， 设，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，解得：（舍）或 ， ∴， ∴， ∴， ∴正方形CFED的面积是32． 【小问3详解】 解：由题可知，， ∴直线 的解析式为 ， 设， ①如图2，当Q点在直线下方时，过点Q作交于点G，作交于点T， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P点在抛物线上， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴； ②如图3，当Q点在直线上方时，过点Q作交于S点，过点P作交于K点， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P点在抛物线上， ∴，解得：或， ∵， ∴， ∴． 综上，当 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，点P坐标为或． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点E为第一象限中⊙O上的点，AE与OC交于点P，过点C作 ，且与AE、AB分别交于M、F．点O关于直线CF对称的点为N，ON与CF交于点Q． （1）证明：∠OCF＝∠OAP； （2）证明：AM＝CQ+QN； （3）如图2，若⊙O半径为4，当点N在BE上时，求点E坐标． 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠E＝90°， ∵ ， ∴∠CME＝∠E＝90°， ∴∠CMP＝90°， ∴∠CMP＝∠AOP＝90°， ∵∠CPM＝∠APO， ∴∠OCF＝∠OAP； （2）证明：如图1，由（1）得：∠OCF＝∠OAP， 作OH⊥AM于H， ∴∠OHM＝90°， ∵O与N关于CF对称， ∴ON⊥CF，OQ＝QN， ∴∠OQM＝90°， ∵∠HMF＝90°， ∴四边形OHMQ是矩形， ∴OQ＝HM， ∵OA＝OC，∠AHO＝∠CQO＝90°， ∴△AOH≌△COQ（AAS）， ∴AH＝CQ， ∴AM＝AH+HM＝CQ+OQ＝CQ+QN； （3）E（，） 【解析】 【分析】（1）先证明∠E＝90°，结合 ，可得∠CME＝∠E＝90°，∠CMP＝90°，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图1，由（1）得：∠OCF＝∠OAP，作OH⊥AM于H，证明ON⊥CF，OQ＝QN，四边形OHMQ是矩形，可得OQ＝HM，再证明△AOH≌△COQ，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）如图2，证明△COQ∽△ABE，而 可得，OQ＝BE，再证明△BON∽△BAE， 可得，证明ON＝AE，可得AE＝2BE，设BE＝a，AE＝2a，在Rt△ABE中，由勾股定理求解a，可得BE＝，AE＝2a＝，sin∠EAB＝，cos∠EAB＝，作EG⊥AB于G，再利用锐角三角函数求解EG＝AE•sin∠EAF＝，AG＝AE•cos∠EAF＝，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2， 由（1）得：∠OCF＝∠OAP， ∵∠CQO＝∠AEB＝90°， ∴△COQ∽△ABE，而 ∴， ∴OQ＝BE， ∵∠OQM＝∠EMQ＝90°， ∴ ， ∴△BON∽△BAE， ∴， ∵ON⊥BE， ∴BN＝BE， ∴， ∴ON＝AE， ∵ON＝2OQ，OQ＝BE， ∴AE＝2BE， 设BE＝a，AE＝2a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， a+2（2a）2＝82， ∴， ∴BE＝，AE＝2a＝， ∴sin∠EAB＝，cos∠EAB＝， 作EG⊥AB于G， ∴EG＝AE•sin∠EAF＝， AG＝AE•cos∠EAF＝， ∴OG＝AG﹣OA＝， ∴E（，）． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的应用以上知识解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $