精品解析：四川省南充市高坪中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

高坪中学2024年春季初2021级（初三）入学质量监测 数 学 试 题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 怀化市雅礼实验学校的美术课上，七年级同学创造了一批民间剪纸艺术作品，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 点关于坐标原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是( ) A. B. C. D. 6. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，是的直径，，是上位于两侧的点，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 10. 已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，则h的值为（ ） A. 或4 B. 0或6 C. 1或3 D. 或6 二、填空题(4分每题，共24分) 11. 已知的半径为1，则它的内接正三角形边心距为____________． 12. 喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为，则根据题意列出的方程是______． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图： ①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N； ②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③作AP射线，交边CD于点Q． 若QC＝1，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____ 14. 关于x一元二次方程有两个实数根，若，则______． 15. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是____． 16. 如图，点A在双曲线y＝（k≠0）的第一象限的分支上，AB垂直y轴于点B，点C在x轴正半轴上，OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，连接CD，若△CDE的面积为1，则k的值为_____． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 已知：D、E是的边、上的点，，，，，求证：． 19 已知一个抛物线经过点，和． （1）求这个二次函数解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 20. 如图，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转90°得到． （1）画出，并写出点、的坐标； （2）求出边在旋转变换过程中所扫过的图形的面积． 21. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价调查（学习效果分为：．效果很好；．效果较好；．效果一般；．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数； （3）某班人学习小组，甲、乙人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取人，则“人认为效果很好，人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率） 23. 如图，已知一次函数图象分别与x轴、y轴相交于点A，B两点，且与反比例函数的图象相交于点C，D两点，，点C的横坐标为． （1）求反比例函数表达式； （2）以为边作，使点F在x轴负半轴上，点E在第二象限，若．线段与反比例函数在第二象限的交点为M，求点M的坐标． 24. 已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，交于G，于F，点C是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若（）是一元二次方程的两根，求和的长． 25. 如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标； （3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学2024年春季初2021级（初三）入学质量监测 数 学 试 题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 怀化市雅礼实验学校的美术课上，七年级同学创造了一批民间剪纸艺术作品，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，本选项错误； B、不是中心对称图形，本选项错误； C、是中心对称图形，本选项正确； D、不是中心对称图形，本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形，正确掌握中心对称图形的定义：绕一个点旋转，与原图形重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2. 方程的根为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方根解方程．先移项，把方程化为，再利用平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴方程的根为． 故选：C． 3. 点关于坐标原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于坐标原点对称的点的坐标为：； 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点．熟练掌握：关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键． 4. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解．解题的关键是正确找出旋转角． 【详解】解：， ， ， ， 是由绕A点旋转得到的， 是旋转角， 旋转角的度数为． 故选：B． 5. 4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设合格产品记为，，，不合格产品记为B，然后画树状图先找出所有等可能性的结果数，找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】设三件合格产品记为，，，不合格产品记为B， 画出树状图如下： 由上可得，一共有12种等可能性，其中抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的可能性有6种， ∴抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率为． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 6. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A中，，，两个对应角相等，， 选项B中，，，两个对应角相等，， 选项C中，，，不是夹这两个角的边，所以不相似． 选项D中，，，两条对应边的比相等，且夹角相等，． 故选C． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 8. 如图，是的直径，，是上位于两侧的点，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由是的直径，可得，再根据“同弧所得的圆周角相等”可得，再根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“同弧所得的圆周角相等”是正确解答的关键． 9. 如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，得出，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又 ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 10. 已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，则h的值为（ ） A. 或4 B. 0或6 C. 1或3 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得分类讨论当 或取最小即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 抛物线的顶点为，最小值为1， ∵当函数值y的最小值为， ∴有两种情况对称轴 ， 当时， ，时y随x增大而减小， ∴时取最小， 即 ，解得，（不符合题意舍去）， 时， ，时y随x增大而增大， ∴时取最小， 即 ，解得，（不符合题意舍去）， 综上所述或， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是分类讨论． 二、填空题(4分每题，共24分) 11. 已知的半径为1，则它的内接正三角形边心距为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，是等边三角形，是的外接圆，过点作，连接，，， ，， ∴， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 12. 喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为，则根据题意列出的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x， ∴八月份的营业额为万元， ∴九月份营业额为万元， ∴可列方程为， 故答案为：． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图： ①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N； ②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③作AP射线，交边CD于点Q． 若QC＝1，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____ 【答案】14 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ＝∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ＝AD，进而可得出平行四边形ABCD周长． 【详解】解：如图： ∵由作图可知，AQ是∠DAB的平分线， ∴∠DAQ＝∠BAQ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA， ∴∠DAQ＝∠DQA， ∴△AQD是等腰三角形， ∴DQ＝AD＝3． ∵QC＝1， ∴CD＝DQ+CQ＝3+1＝4， ∴平行四边形ABCD周长＝2（DC+AD）＝2×（4+3）＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查的是复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 15. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中的符号判断图象所在象限及增减性．由可知，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点在第一象限内， ， 点在第三象限内， ， ， 故答案为：． 16. 如图，点A在双曲线y＝（k≠0）的第一象限的分支上，AB垂直y轴于点B，点C在x轴正半轴上，OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，连接CD，若△CDE的面积为1，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设A（a，b），则C（2a，0），D（0，），根据三角形面积公式，由AE＝3EC得到S△ADC＝4S△CDE＝4，由于S梯形ABOC＝S△ABD+S△OCD+S△ADC，则（a+2a）•b＝•a•b+•2a•b+4，整理得ab＝，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k＝． 【详解】解：设A（a，b）， ∵OC＝2AB，点D为OB中点， ∴C（2a，0），D（0，b）， ∵AE＝3EC，△CDE面积为1， ∴S△ADC＝4S△CDE＝4， ∵S梯形ABOC＝S△ABD+S△OCD+S△ADC， ∴（a+2a）•b＝•a•b+•2a•b+4， ∴ab＝， ∵点A在双曲线y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理成一般式，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 整理得：， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 18. 已知：D、E是的边、上的点，，，，，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查用两边对应成比例且夹角相等来证明两三角形相似．根据已知条件得出，且，即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴ 又∵ ∴． 19. 已知一个抛物线经过点，和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【答案】（1） （2）顶点坐标为；对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 设 将代入，则 ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为；对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转90°得到． （1）画出，并写出点、的坐标； （2）求出边在旋转变换过程中所扫过的图形的面积． 【答案】（1）图见解析，、 （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的旋转分别作出，，的对应点，，即可； （2）边在旋转变换过程中所扫过的图形的面积可以看成两个扇形的面积之差． 【小问1详解】 解：（1）如图，即为所求，、； 【小问2详解】 解： ，， ． 【点睛】本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的旋转，记住扇形的面积． 21. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【小问1详解】 解：在中，令得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 22. 疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：．效果很好；．效果较好；．效果一般；．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数； （3）某班人学习小组，甲、乙人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取人，则“人认为效果很好，人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率） 【答案】（1）200；（2）补全条形统计图见解析，72°；（3） . 【解析】 【分析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数； （2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到∠∝； （3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“人认为效果很好，人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可. 【详解】（1）80÷40%=200（人）， 故答案为：200； （2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人）， 补全条形统计图如下： ∠∝=； （3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁， ①画树状图如下： 共有12种可能出现的结果，其中“人认为效果很好，人认为效果较好”的有4种， ∴P（人认效果很好，人认为效果较好）=； ②列表如下 认为效果很好 认为效果较好 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有12种可能出现的结果，其中“人认为效果很好，人认为效果较好”的有4种， ∴P（人认为效果很好，人认为效果较好）=； 【点睛】本题考查了从条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，要把两图形结合在一起进行解答． 同时还考查了画树状图或列表求概率． 23. 如图，已知一次函数图象分别与x轴、y轴相交于点A，B两点，且与反比例函数的图象相交于点C，D两点，，点C的横坐标为． （1）求反比例函数表达式； （2）以为边作，使点F在x轴负半轴上，点E在第二象限，若．线段与反比例函数在第二象限的交点为M，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作轴承于点N，则可得△CNB∽△AOB，可得点A的坐标，再得点C的坐标，最后求得反比例函数的解析式； （2）由AF的长度可得OF的长度，从而得点F的坐标，再由平行四边形的性质，设EF的解析式为，由点F在直线EF上，则可求得EF的解析式；再求得直线EF与反比例函数的交点即可． 小问1详解】 过点C作轴承于点N， ∴， ∴∠CBN=∠ABO， ∴， ∴， ∴， 由题可知：， ∴， ∴． 将代入得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， 则点F的坐标为， ∵， ∴， 设EF的解析式为， ∵点F在直线EF上， ∴， ∴， ∴直线EF的解析式为， 令， 解得：（舍），， ∴． 【点睛】本题是反比例函数的综合，考查了求反比例函数解析式及一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，求函数图象的交点，平行四边形的性质等知识，其中运用相似三角形的性质求得点A的坐标是解题的关键． 24. 已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，交于G，于F，点C是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若（）是一元二次方程的两根，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出平分，推出∥，推出，根据切线判定推出即可； （2）连接，得到，解方程求得，得到，根据射影定理得到，，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 点C是弧的中点， ， ， ， ， ， ∥， ， ， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 连接， ， ， （）是一元二次方程的两根， ， ， 是的直径， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理、射影定理等知识点的综合运用，主要考查学生的推理和计算能力． 25. 如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标； （3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值． 【答案】（1）y＝-x2+3x；（2）(4，2)；（3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线AB的解析式，求出点B坐标，再将A，B的坐标代入y＝ax2+bx即可； （2）求出直线AC的解析式，再联立直线OC与直线AB的解析式即可； （3）设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，分别求出直线OB，PM，OC的解析式，再分别用含a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，最后分情况讨论，可求出△MPN与△OAC公共部分面积的最大值． 【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+m点A（6，0）， ∴﹣6+m＝0， ∴m＝6， ∴yAB＝﹣x+6， ∵OA＝3OH， ∴OH＝2， 在yAB＝﹣x+6中，当x＝2时，y＝4， ∴B（2，4）， 将A（6，0），B（2，4）代入y＝ax2+bx， 得，， 解得，a＝﹣，b＝3， ∴抛物线的解析式为y＝-x2+3x； （2）∵直线OC与抛物线AB段交于点C，且点C的纵坐标是， ∴＝﹣x2+3x， 解得，x1＝1（舍去），x2＝5， ∴C（5，）， 设yOC＝kx， 将C（5，）代入， 得，k＝， ∴yOC＝x， 联立， 解得，x＝4，y＝2， ∴点D的坐标为（4，2）； （3）设直线OB的解析式为yOB＝mx，点P坐标为（a，﹣a+6）， 将点B（2，4）代入， 得，m＝2， ∴yOB＝2x， 由平移知，PM∥OB， ∴设直线PM的解析式为yPM＝2x+n， 将P（a，﹣a+6）代入， 得，﹣a+6＝2a+n， ∴n＝6﹣3a， ∴yPM＝2x+6﹣3a， 设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F， 联立， 解得，x＝2a﹣4，y＝a﹣2， ∴G（2a﹣4，a﹣2），yG＝a﹣2， 在yPM＝2x+6﹣3a中， 当y＝0时，x＝， ∴E（，0），OE＝， ∵点P的横坐标为a， ∴K（a，a），F（a，0）， ∴OF＝a，KF＝a， 设△MPN与△OAC公共部分面积为S， ①当0≤a＜4时， S＝S△OFK﹣S△OEG， ＝×a×a﹣（）（a﹣2）， ＝﹣a2+3a﹣3 ＝﹣（a﹣3）2+， ∵﹣＜0，根据二次函数的图象及性质可知， ∴当a＝3时S有最大值； ②当4≤a≤6时， S＝S△PEF ＝EF•PF ＝（a﹣a+3）（﹣a+6） ＝ ＝， ∵，根据二次函数的图象及性质知，当a＝4时，S有最大值1； ∵ ∴△MPN与△OAC公共部分面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数交点问题，图形平移，二次函数综合最值，解决本题的关键是正确理解题意，熟练运用待定系数法求函数解析式，熟练掌握函数交点问题的解法步骤，要与方程相结合，对于求图形面积最值问题转化为二次函数最值问题，万熟练掌握二次函数的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $