精品解析：山东省临沂市外国语学校2023-2024学年七年级3月学科竞赛数学试题

山东省临沂市外国语学校2023-2024学年七年级3月学科竞赛数学试题 一．选择题（共12小题） 1. 有下列四种说法： ①1的算术平方根是1；②的立方根是；③没有立方根；④互为相反数的两个数的立方根互为相反数.其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根、相反数的定义即可判定． 【详解】解：一个数的立方根只有一个，的立方根是，故②错误； 任何一个数都有立方根，的立方根是，故③错误. ①④正确， 故选C. 【点睛】本题考查相反数，立方根和算术平方根的性质，要掌握一些特殊数字的特殊性质，如1，-1和0． 2. 如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行． 【详解】过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是同位角相等，两直线平行, ∴A，B，C都不对， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，灵活选择判定定理是解题的关键． 3. 下列语句中，命题的个数为（ ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等； ③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等； A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个； 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的概念判断即可. 【详解】①若两个角相等，则它们是对顶角，是假命题； ②等腰三角形两底角相等，是真命题； ③画线段，不是命题； ④同角的余角相等，是真命题； ⑤同位角相等，是假命题； 故选：C. 【点睛】此题考查了命题，解题的关键是熟悉命题的概念. 4. 如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，依次判断即可． 【详解】①，内错角相等，两直线平行，选项符合题意； ② ，内错角相等，两直线平行，可证得平行于，选项不符合题意； ③，同位角相等，两直线平行，选项符合题意； ④，同旁内角互补，两直线平行，选项符合题意； 故选：A． 5. 如图，直线、相交于点O，是的平分线，，若，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出度数，由是的平分线求出，即可进一步得出答案． 【详解】解：直线、相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算．解题的关键是掌握角平分线定义和角的有关计算的方法． 6. 如图，直线，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，内错角相等得，由角平分线的定义得，则． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ BC平分∠ABD， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质求出是解题的关键． 7. 如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解决本题的关键， 过C作，延长交于N，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 8. 把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据：∠1=43°，∠HEF=90°，即可得到∠CEB=47°，再根据CDAB，可得∠2=∠CEB=47°． 【详解】解：∵∠1=43°，∠HEF=90°， ∴∠CEB=47°， ∵CDAB， ∴∠2=∠CEB=47°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 9. 如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该（　　） A. 左转 B. 右转 C. 左转 D. 右转 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角有关的知识以及平行线的性质，根据两直线平行内错角相等的性质进行计算即可． 【详解】解：如下图所标示： 如图，， ∵，， ∴， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该右转100°， 故选：D． 10. 如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ） A. 540° B. 180°n C. 180°(n-1) D. 180°(n+1) 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，作，，， ∵， ∴，，，…… ∴，…… ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明． 11. 已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是(    ) A. B. C. D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：∵一列实数：，，，，，， ，，， ，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根， ∵， ∴这一列数中的第2023个数应是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 12. 如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设边长应扩大x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x＋8）米，则其面积为（64＋80）平方米，然后根据正方形的面积（x＋8）2＝（64＋80）平方米可得到答案． 【详解】设边长应扩大x米，根据题意，得： （x＋8）2＝64＋80 （x＋8）2＝144 ∴x＋8＝＝12（负值舍去）， ∴x＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用．能够正确得出关系式（x＋8）2＝（64＋80）是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 13. 通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6_______； （2）_______； （3）_______1； （4）_______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了整数、分数与算术平方根的大小比较，利用平方运算，将整数转化为二次根式，对被开方数进行大小比较，并掌握作差法，若，则；若，则；若，则，是解题的关键． （1）计算得到为的算术平方根，比较与大小即可求解； （2）两个算术平方根比较大小，只需要比较被开方数的大小即可； （3）把与作差，再与比较即可； （4）把与作差，再与比较即可． 【详解】解：（1），且， ， 故答案为：． （2）被开方数， ， 故答案为：． （3）， ，即， 故答案为：． （4）， ，即， 故答案为：． 14. 如图，将周长为20个单位的沿边向右平移3个单位得到，则四边形的周长为__________． 【答案】26 【解析】 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知， ∵的周长为20， ∴， ∴的周长， 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟知平移只改变位置不改变形状和大小是解题的关键． 15. 将一副透明的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠CAD=__________． 【答案】15°. 【解析】 【分析】由于图形由一副三角板组成，则∠C=30°，∠EAD=45°，由AE∥BC，根据平行线的性质得到∠EAC=∠C=30°，然后利用∠CAD=∠EAD-∠EAC进行计算即可． 【详解】∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠C=30°， 而∠EAD=45°， ∴∠CAD=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°． 故答案为15． 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 16. 已知为直线上一点，为直角，平分． （1）如图，若，则______； （2）若，则的度数为______，和的数量关系为______． 【答案】 ①. 68° ②. ③. 【解析】 【分析】（1）由∠COF＝34°，∠COE为直角，可求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，进而求出∠BOE． （2）根据（1）的思路求解即可． 【详解】解：（1）∵∠COF＝34°，∠COE为直角， ∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°． ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝112°． ∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68°； （2）∵∠COF＝m°，∠COE为直角， ∴∠EOF＝90°﹣m°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2m°． ∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2m°）＝2m°． ∴∠BOE＝2∠COF． 故答案为：2m°，∠BOE＝2∠COF． 【点睛】本题考查角平分线的定义和角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． 17. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了两个角的两边互相垂直的两种情况，当两个角的两边分别垂直时，则这两个角相等或互补．解答的关键是能准确进行分情况讨论并画出图形，再根据情况列式解答即可． 【详解】 解：因为在同一平面内与的两边分别垂直，所以分两种情况讨论： 情况一：当时,如图1，设，则， 由比的3倍少， 可得：， 解得：， ； 情况二:当时,如图2，设， 则，可得： ， 解得：， ． 综上，的度数为或． 18. 已知根据其变化规律，解答问题：若，，则____________． 【答案】10404 【解析】 【分析】根据已知运算规律计算即可； 【详解】∵，， ∴， ∴； 故答案是：10404． 【点睛】本题主要考查了二次根式计算和数字规律，准确计算是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 19. 根据要求完成画图或作答：如图所示，已知点A、B、C是网格纸上的三个格点． （1）过点C画线段的平行线； （2）过点C画线段的垂线，垂足为点E； （3）线段__________的长度是点C到直线的距离； （4）与的数量关系是_________． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为线段的垂线； （3） （4）相等 【解析】 【分析】（1）根据网格的特征，结合平行线的性质，画出图形即可； （2）根据网格的特征，画出即可； （3）根据点到直线的距离的定义，即可得出答案； （4）根据角之间的数量关系，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵由（2）可知，垂足为点， ∴线段的长度是点C到直线的距离； 故答案为： 【小问4详解】 解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系是相等． 故答案为：相等 【点睛】本题考查了作图、网格的特征、平行线的性质、点到直线的距离、角之间的数量关系，熟练掌握网格的特征是解本题的关键． 20. （1）计算． ①； ②（取，取，结果保留小数点后两位）； （2）求下列各式中的x． ① ② 【答案】（1）①；②；（2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①先算开方，再算加减法；②先取近似数，再计算减法； （2）①先移项，再开立方求解；②先开平方，再求解． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①， ∴， ∴； ②， ∴， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了立方根和平方根以及算术平方根，掌握各自的求法是解题的关键． 21. 已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义，正数x有两个平方根，分别是和，所以和互为相反数，可求出a；根据，代入可求出x的值． 【详解】解：依题意可得 解得：， ∴， ∴，． 22. 如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度； （2）如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系 【答案】（1）120 （2）∠APC=∠α+∠β （3）当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α 【解析】 【分析】（1）过P作PM∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC的度数； （2）过P作PE∥AE交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案； （3）画出图形，分两种情况：①点P在BD的延长线上，②点P在DB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1，过P作PM∥AB， ∴∠APM+∠PAB=180°， ∴∠APM=180°-125°=55°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠CPM+∠PCD=180°， ∴∠CPM=180°-115°=65°， ∴∠APC=55°+65°=120°； 故答案为：120； 【小问2详解】 如图2，∠APC=∠α+∠β，理由如下： 过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β； 【小问3详解】 如图3，当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；理由： 过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE， ∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠α-∠β； 如图4，当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α；理由： 过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE， ∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠β-∠α． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市外国语学校2023-2024学年七年级3月学科竞赛数学试题 一．选择题（共12小题） 1. 有下列四种说法： ①1的算术平方根是1；②的立方根是；③没有立方根；④互为相反数的两个数的立方根互为相反数.其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 2. 如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 同位角相等，两直线平行 3. 下列语句中，命题的个数为（ ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等； ③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等； A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个； 4. 如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 5. 如图，直线、相交于点O，是的平分线，，若，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则小明应该（　　） A. 左转 B. 右转 C. 左转 D. 右转 10. 如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ） A. 540° B. 180°n C. 180°(n-1) D. 180°(n+1) 11. 已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是(    ) A. B. C. D. 2023 12. 如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 13. 通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6_______； （2）_______； （3）_______1； （4）_______． 14. 如图，将周长为20个单位的沿边向右平移3个单位得到，则四边形的周长为__________． 15. 将一副透明的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠CAD=__________． 16. 已知为直线上一点，为直角，平分． （1）如图，若，则______； （2）若，则的度数为______，和的数量关系为______． 17. 在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为________． 18. 已知根据其变化规律，解答问题：若，，则____________． 三．解答题（共5小题） 19. 根据要求完成画图或作答：如图所示，已知点A、B、C是网格纸上的三个格点． （1）过点C画线段的平行线； （2）过点C画线段的垂线，垂足为点E； （3）线段__________的长度是点C到直线的距离； （4）与的数量关系是_________． 20. （1）计算． ①； ②（取，取，结果保留小数点后两位）； （2）求下列各式中的x． ① ② 21. 已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 22. 如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度； （2）如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $