1.5 等腰三角形（第2课时 等腰三角形的判定）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

1.5 等腰三角形（第2课时 等腰三角形的判定）教学设计 1.教学内容 本节课选自苏科版2024八年级上册“第一章 三角形”第5节第2课时，核心知识点为“等腰三角形的判定”。主要探讨“等角对等边”的结论及相关几何推理与计算方法，为后续学习三角形综合应用奠定基础。 2.内容解析 本节引导学生从已知“等腰三角形两底角相等”反思逆命题“有两角相等的三角形一定等腰”之正确性，通过作角平分线、高线或运用平行线等方法，证明 和总结“等角对等边”判定定理。典型例题结合角平分线与平行线模型，深化对等腰三角形判定的认知与应用，发展学生的推理论证能力与空间想象能力。 1.教学目标 •经历等腰三角形判定的探究过程，体验研究几何图形的基本过程。 •掌握等腰三角形的判定定理，并能应用它们进行计算和证明，发展推理能力。 2.目标解析 （1）通过多样化的几何作图与推理活动，引导学生反思“等角对等边”定理的来龙去脉，内化几何研究思想。 （2）在操作和推理训练中，学生能灵活使用“作角平分线”“画垂线”“引入平行线”等方法，为简单的综合几何证明打下基础。 （3）能从不同角度（角平分线、高线、平行线）证明三角形边角关系，形成初步的几何综合思维。 3.重点难点 • 重点：理解并运用“等角对等边”定理判定等腰三角形，掌握画辅助线（角平分线、高线、平行线）进行证明的基本思路。 • 难点：能在综合题目中灵活选用恰当的作图与推理方法，准确完成等腰三角形的判定和相关证明。 学生已具备三角形内角和、直线平行性质以及简单几何作图基础；对三角形的性质与高、角平分线等知识有初步了解。但对“等角对等边”逆命题的逻辑关系尚缺乏系统认识，需通过多角度探究与典型例题训练来巩固判定思路和作图技巧。具备一定计算与推理能力的学生可在本节中深化几何推理，形成较为完整的等腰三角形判定体系。 创设情景，引入新课 师：在上一节课中，我们已经知道“等腰三角形的两底角相等”。那反过来想一想，如果一个三角形中有两个角相等，这个三角形是否一定是等腰三角形呢？ 师：请同学们观察并思考： “有两个角相等的三角形，一定是等腰三角形吗？” 【设计意图】 1. 通过提出“逆向思考”的问题情境，让学生对“等腰三角形的性质与判定”的联系产生疑问，激发思维。 2. 明确本节课的核心任务——探究并掌握“等角对等边”的判定道理，为后续推理打下基础。 探究点1：从角平分线视角探究“等角对等边” 1.问题引入 已知：如图，在中，。 证明：。 师：请看如图，已知，如何证明？能否借助“角平分线”的思路来解决？ （教师演示或板书图形：，其中，作为的平分线） 2.证明思路1： 证明：作△ABC 的角平分线AD，则∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD ≌ △ACD (AAS). ∴ AB＝AC． 师生活动： o 教师提问：为什么要作的平分线？学生思考并回答“为了使两个三角形的两组角分别对应相等，从而运用AAS进行全等证明。” o 师生共同归纳：若一个三角形中有两个角相等，那么作该三角形的某一角平分线，即可利用全等推理出“等角对等边”。 【设计意图】 1. 通过作角平分线把三角形分割成两个子三角形，将“两角相等”转化为“全等”判断，使学生体验几何推理过程并加深对“等角对等边”的理解。 2. 强调学生动手作图与演绎推理相结合的能力培养。 探究点2：从高线视角探究“等角对等边” 1. 问题引入 师：除了角平分线，还有其他作法能证明吗？ 学生可能会提出“作的高线”等方案。 2.证明思路2： 证明：作边BC的高线AD，则∠ADB＝∠ADC＝90°． 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD ≌ △ACD (AAS). ∴ AB＝AC． 师生活动： o 教师鼓励学生用不同作法（如高线、中线或辅助线）来证，并组织分组讨论。 o 学生汇报交流不同方法的相同结论，理解几何证明的多样性与统一性。 【设计意图】 1. 再次通过高线切入的方式，让学生看到几何证明的多种思路，激发探究兴趣。 2. 丰富学生的几何作图技能，培养灵活选用辅助线的能力。 新知归纳：等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 符号语言： 在△ABC中， ∵∠B＝∠C ， ∴AB＝AC（等角对等边）. 师：根据探究可得，若中，则。这就是“等角对等边”的等腰三角形判定定理。 学生阅读教材“有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）”，并与上一节的“等边对等角”对照，发现它们是互逆命题。 讨论交流：等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？ 【设计意图】 1. 让学生在具体探究的基础上，形成对“等腰三角形的判定”公式化、定理化的认知，提升几何语言与符号语言的表达能力。 2. 强化性质与判定的互逆关系，帮助学生形成系统的几何知识网络。 典例分析 例1 如图，是的外角，平分，。求证：. 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C. ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC. ∴∠B＝∠C. ∴ AB＝AC（等角对等边）. 变式1 如上图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？请证明你的结论. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵ AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C. ∴∠EAD＝∠DAC. ∴AD平分∠EAC. 变式2 如上图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？请证明你的结论. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠EAC＝∠B＋∠C， ∴∠B＝∠C＝∠EAC. ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC＝∠EAC. ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC． 【设计意图】 1. 通过一个典型综合题，体现“判定定理+辅助线（平行线、角平分线）”的结合，进一步夯实“等角对等边”的实际运用。 2. 在讲解中让学生反思：当出现“两个角相等”或“对应角相等”时，可优先考虑运用“等腰三角形判定”来简化推理。 例2 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC．求证：△ADE是等腰三角形． 证明：∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC. ∴∠ADE＝∠BAD. ∴ EA＝ED， ∴ △ADE是等腰三角形. 变式 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过O点，且MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.求证：MN＝BM＋CN. 证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠MBO＝∠CBO. ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠CBO. ∴∠MBO＝∠MOB. ∴BM＝OM. 同理CN＝ON. ∵MN＝OM＋ON. ∴MN＝BM＋CN. 探究思考： 当 分别满足下列条件时，试在其一边上找到一点 ，使点 与 的两个顶点构成等腰三角形． （1）等腰三角形；（2）直角三角形；（3）钝角三角形． 解： 如图所示， 即为所求． 1.如图，，，平分，请写出图中的等腰三角形． 解：， 是等腰三角形． ， ， = 36°． 平分 ， ． ． ， 为等腰三角形． 又， ， ． 为等腰三角形． 变式 如图，在 中，，， 分别是 的角平分线，则图中的等腰三角形有 _____个．（答案：5） 2. 如图（1），在一张长方形纸片上任意画一条线段 ，将纸片沿线段 折叠 [图（2）]．重叠部分的 是等腰三角形吗？请证明你的结论． 解：重叠部分的 是等腰三角形． 因为图（1）中，长方形纸片的上、下两边平行， 所以 ． 因为沿线段 折叠纸片， 是重叠部分的 的内角 [如图（2）]． 所以依据 “等角对等边” 得 ． 所以 是等腰三角形． 3. 如图，在 中，，角平分线 相交于点 ． 与 相等吗？请说明理由． 解：．理由如下： ． 是角平分线， ． ． ． 4. 已知：如图，在 中，， 是 的中点，，，垂足分别是 ．求证： 是等腰三角形． 证明： 是 的中点， ． ． 在 和 中， ． ， ． 本节课通过两种核心模型（“等角对等边”“角平分线+平行线”）引导学生理解并掌握等腰三角形的判定方法。通过问题驱动和多种证明方式，学生体验了几何探究的逻辑思维过程，基本达成 “能运用等腰三角形判定定理进行计算与证明” 的教学目标。 1. 问题引入： “两底角相等的三角形必为等腰三角形吗？” 2. 新知探究： 等角对等边定理的证明（角平分线、高线等方法）。 判定定理归纳：有两个角相等的三角形必是等腰三角形。 3. 典例分析： 例1 4. 新知巩固： 练习 5. 课堂小结： “等角对等边”“角平分线+平行线→等腰三角形” 两大模型。 1. 基础巩固：课本相关习题，要求准确运用“等角对等边”原理完成证明。 2. 拓展探究： （1）选择一道生活中能折叠或平行对齐的实例，探究其形成的三角形是否等腰，并用所学定理加以解释。 （2）练习关于“角平分线+平行线”判断等腰三角形的题目，再整理思路写出自己的证明过程。 本节课学生已能清晰区分等腰三角形性质与判定的互逆关系，并能利用“等角对等边”或“角平分线+平行线”进行简单证明和计算。在探究过程中，大多数同学对几何推理步骤的严谨性有了更深体会，但也有部分同学在实际应用中对辅助线的选择较迷茫，需继续强化设计思路的培养。今后将继续关注学生对几何语言和符号表示的理解，引导学生在小组合作中充分讨论，提高学习的深度与广度。此外，还可增加与其他图形性质的联动练习，让学生感受几何思维的综合性与灵活性。 学科网（北京）股份有限公司 $$