精品解析：2025年河南省中原名校中考数学测评试卷（四）

2025年河南省中原名校中考数学测评试卷（四） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据绝对值的意义即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：在数轴上表示的点到原点的距离是， 故选：． 2. 今年春节期间，一颗来自杭州的“新星”悄然崛起，它的名字叫它就像一道突如其来的闪电，点亮了全球的夜空的最新估值高达亿美元，这一惊人数字使得公司创始人梁文峰的身家有望跻身全球富豪榜前列数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此进行表示即可． 【详解】解：亿． 故选：C． 3. 如图所示的四个几何体中，俯视图是四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．根据俯视图是从上面看所得到的图形判断即可． 【详解】解：三棱柱的俯视图是三角形，故此选项不合题意； B.正方体的俯视图是正方形，故此选项符合题意； C.圆锥体的俯视图是圆带圆心，故此选项不合题意； D.圆柱的俯视图是圆，故此选项不合题意． 故选：． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 平面内的三点确定一个圆 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查确定圆的条件，对顶角、同位角，关键是掌握对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，确定圆的条件．由对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，确定圆的条件，即可判断． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原说法不符合题意； B、对顶角相等，故符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法不符合题意； D、平面内，不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不符合题意； 故选：B． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，熟练掌握乘法和乘方的意义是解题的关键．根据乘法和乘方的意义求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 7. 寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点分别记为，，，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的结果有种， 两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为． 故选：C． 8. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解． 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 9. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（ ） A. 该二次函数图象的对称轴是直线 B. 该二次函数的图象开口向上 C. 该二次函数的图象与轴可能没有交点 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对选项进行判断；由于当时，，则抛物线的顶点在第四象限，从而得到抛物线开口向上，抛物线与轴有个交点，从而可对B、C选项进行判断；通过比较点和点到对称轴的距离，根据二次函数的性质得到，于是可对D选项进行判断． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线的对称轴为直线，所以选项A不符合题意； 当时，， 抛物线的顶点在第四象限， 抛物线开口向上，所以选项B符合题意； 抛物线与轴有个交点，所以C选项不符合题意； 点到直线的距离大于点到直线的距离， 而抛物线开口向上， ，所以D选项不符合题意． 故选：B． 10. 随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B. 当车外光照度为时，玻璃透明度为 C. 车外光照度越大，玻璃透明度越高 D. 当玻璃透明度为时，车外光照度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．根据图象提供的信息回答即可． 【详解】解：根据图象获取信息，设玻璃的透明度与车外光照度满足关系式为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式， 不正确，不符合题意； 当车外光照度为时，玻璃透明度不为， 不正确，不符合题意； 车外光照度越大，玻璃透明度越低， 不正确，不符合题意； 当时，得，解得， 当玻璃透明度为时，车外光照度为， D正确，符合题意． 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则其正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握其特殊值是解题的关键． 利用特殊锐角三角函数值即可求得答案． 【详解】解：若， 则其正弦值为， 故答案为：． 12. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 13. 如图，在扇形中，圆心角，半径，将扇形绕半径的中点顺时针旋转，得到扇形，连接，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据题意和旋转的性质证明是等边三角形，从而证明点、、共线；设与交于点，根据扇形面积公式求出扇形的面积；过点作，交于点，由三角函数求出，根据三角形面积公式求出的面积，再根据“阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接， 由题意知，， 为的中点，， ， 根据旋转的性质，得， 是等边三角形， ，， ， ， 点、、共线． 设与交于点， 则， 过点作，交于点． ， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，作关于直线的轴对称图形，点的对应点为点，连接，则长度的最小值为______，此时的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，含度角的直角三角形，轴对称的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键． 根据三角形三边关系可得当、、共线时，最短，根据勾股定理可得，根据和关于直线对称可得，设，则，利用勾股定理列出方程求得的值即可． 【详解】解：如图，连接， ，，，点为边的中点， ，， ， ， ∵， ∴当、、共线时，最短， 和关于直线对称， ， ，， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得： ， 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，实数的运算，涉及到零指数幂，负整数指数幂的运算法则，数的开方法则及绝对值的性质，熟知以上运算法则是解题的关键． （1）分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再算加减即可； （2）先算括号里面的，再变分式除法为乘法，约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分10分）分别是9.5分，9.4分，8.8分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 7.8 8 c 乙 a 9 10 丙 8.7 b 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：____，_____，_____； （2）在面试中，评委对_____的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是_____（①平均数；②中位数；③众数；④方差；⑤极差；⑥标准差）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学； （4）为了避免面试成绩受到极端值的影响，请你重新设计一条面试计分规则． 【答案】（1）； （2）丙，④⑤⑥； （3）综合成绩最高的是乙同学，乙同学将代表年级参赛； （4）每位评委最高打10分，去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均值作为这位同学的面试成绩． 【解析】 【分析】（1）求出乙同学的平均数即可得a的值；根据丙同学的得分即可求得中位线b；观察甲同学得分的条形统计图即可求得众数c； （2）根据两种统计图中数据的波动程度即可判断； （3）分别求出三位同学的综合成绩即加权平均数即可确定； （4）由于极端值会影响平均数，因此可去掉一个最高分和一个最低分，余下分数值的平均分作为这位同学的面试成绩． 【小问1详解】 解：； 丙同学的得分为5个8分，2个9分，3个10分，中位数为第5、6两个数据的平均数， 则； 由条形统计图知，甲同学得分中8分出现的次数最多，故； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由条形统计图知，甲同学的最低分为5分，最高分为10分；乙同学的最低分为6分，最高分为10分；丙同学的最低分为8分，最高分为10分；显然丙同学的得分极差最小，波动程度也最小，即方差最小，从而标准方差也最小；故面试中，评委对丙的评价更一致，依据是极差、方差与标准差； 故答案为：丙；④⑤⑥； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩：； 乙的综合成绩：； 丙的综合成绩：； 则乙的综合成绩最高，故乙同学将代表年级参赛； 【小问4详解】 解：去掉一个最高分10分和一个最低分，余下分数值的平均分作为这位同学的面试成绩． 【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，求平均数、加权平均数，中位数与众数，用方差判断稳定性等知识，掌握这些知识是解题的关键． 17. 如图，是平行四边形的一条对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； （3）在的条件下，若，，且，则的长为______． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 四边形是菱形． 证明：直线是线段的垂直平分线， ，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． 由线段垂直平分线的性质可得，，，由平行四边形的性质可得，则，，可得，则，可得，则可得四边形是菱形． 由菱形的性质可得，，，，则过点作于点，根据，可得由，可得，再根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是菱形， ，，，， ， ． 过点作于点， ， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论； （2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，根据梯形的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，梯形的面积的计算，勾股定理，两点间的距离，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图， ，，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上． ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵菱形， ∴， 又∵，， ∴，即 设菱形向右平移个单位长度，此时， 在反比例函数的图象上． ， 解得． ，， 平移后的坐标为，， 如图， 扫过的面积梯形的面积． 19. 如图，在等腰三角形中，，平分，以为直径的与相切于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，进而得是的中位线，则，再根据切线性质得，则，然后根据平行线的性质即可得出的度数； （2）连接，，依题意得，，则，证明是线段的垂直平分线得，再由勾股定理求出，，再证明，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出的长． 此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 【小问1详解】 在等腰中，，平分， ，， 是的直径， ， 是的中位线， ， ， 与相切于点， ， ， ； 【小问2详解】 连接，，如图所示： ， ，， ， ，， 是线段的垂直平分线， ， 是的直径， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 根据平行线分线段成比例定理得：， ． 20. 近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量个 购买所需费用元 排球 篮球 方案 方案 （1）排球和篮球的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．若一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 【答案】（1）元，元 （2）学校购买排球个、篮球个使商场获得的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设排球的单价为元，篮球的单价为元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购买排球个，则购买篮球个，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设获得的利润为元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为元，篮球的单价为元． 根据题意，得， 解得． 答：排球的单价为元，篮球的单价为元． 【小问2详解】 设购买排球个，则购买篮球个． 根据题意，得， 解得， 设获得的利润为元，则， ， 随的增大而减少， ， 当时值最大，， 个． 答：学校购买排球个、篮球个，使商场获得的利润最大，最大利润为元． 21. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出其顶点坐标； （2）若点为抛物线上一动点，当抛物线上点，之间的部分（含，）的高度差（最高点和最低点的纵坐标之差）为时，求点的坐标； （3）点，在该抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）将代入抛物线解析式求得点的纵坐标；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，由此得到抛物线对称轴方程； （3）根据点，在抛物线上，得到，，解不等式即可得到结论． 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求出函数解析式，利用数形结合思想，进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：将，分别代入， 得， 解得， 故该抛物线解析式为：； ， 该抛物线的顶点坐标是； 【小问2详解】 设， 当点位于轴右侧时，． 所以． 解得，(舍去)． 此时． 当点位于轴左侧时，， 解得 (舍去)． 此时． 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【小问3详解】 ∵点，在抛物线上， ，， ， ， ． 22. 综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）  ，理由如下： ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省中原名校中考数学测评试卷（四） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 今年春节期间，一颗来自杭州的“新星”悄然崛起，它的名字叫它就像一道突如其来的闪电，点亮了全球的夜空的最新估值高达亿美元，这一惊人数字使得公司创始人梁文峰的身家有望跻身全球富豪榜前列数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的四个几何体中，俯视图是四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 平面内的三点确定一个圆 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 寒假期间，伶伶和俐俐结伴去郑州旅游，两人从“只有河南”“二七纪念塔”“河南省科技馆”“郑州绿博园”四个景点中随机抽取个进行游玩，现将四个景点的照片背面向上放置（背面完全相同），伶伶先从中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，俐俐再从剩余的照片中随机抽取一张照片，记录下该景点名称，则两人抽到的景点恰好是“只有河南”“河南省科技馆”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（ ） A. 该二次函数图象的对称轴是直线 B. 该二次函数的图象开口向上 C. 该二次函数的图象与轴可能没有交点 D. 10. 随着科学技术的发展，汽车抬头显示系统被广泛应用，该系统利用平面镜成像原理，将显示器上的行驶数据通过挡风玻璃投射在正前方，驾驶员不用低头就可以看到车辆行驶信息．这种“智能玻璃”还能根据车外光照度自动调节玻璃的透明度，实现车内的光照度为一个适宜的定值．研究发现：玻璃的透明度与车外光照度成反比例关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式： B. 当车外光照度为时，玻璃透明度为 C. 车外光照度越大，玻璃透明度越高 D. 当玻璃透明度为时，车外光照度为 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则其正弦值为______． 12. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 13. 如图，在扇形中，圆心角，半径，将扇形绕半径的中点顺时针旋转，得到扇形，连接，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，作关于直线的轴对称图形，点的对应点为点，连接，则长度的最小值为______，此时的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）化简：． 16. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分10分）分别是9.5分，9.4分，8.8分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 7.8 8 c 乙 a 9 10 丙 8.7 b 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：____，_____，_____； （2）在面试中，评委对_____的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是_____（①平均数；②中位数；③众数；④方差；⑤极差；⑥标准差）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学； （4）为了避免面试成绩受到极端值的影响，请你重新设计一条面试计分规则． 17. 如图，是平行四边形的一条对角线． （1）用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明； （3）在的条件下，若，，且，则的长为______． 18. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 19. 如图，在等腰三角形中，，平分，以为直径的与相切于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量个 购买所需费用元 排球 篮球 方案 方案 （1）排球和篮球的单价分别是多少元？ （2）学校决定购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．若一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 21. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并直接写出其顶点坐标； （2）若点为抛物线上一动点，当抛物线上点，之间的部分（含，）的高度差（最高点和最低点的纵坐标之差）为时，求点的坐标； （3）点，在该抛物线上，且，请直接写出的取值范围． 22. 综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $