广东省深圳市龙城高级中学(教育集团)实验高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

龙城高级中学（教育集团）实验高级中学 高三数学 考试时间：2025年8月31日18：50一20：50 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，选对得5分，选错得0分 1.设集合A=y∈Z1y=V9-3，B={xx-≤2，则，AnB=() A.{xl1≤x≤3} B.{x11≤x<3} C.{1,2,3} D.{1,2 2."a>b"是“lga>gb"的( A.充分不必要条件B、必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数fx)=x+bx3+2,若2)=7，则f-2)等于( A.-3 B.-7 C.3 D.7 4,函数y=二的图象大致是() x一1 5.信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断 减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数 模型：P(S)=Po描述声压P(s(单位：帕斯卡)随传播距离s(单位：米)的变化规律，其中P为声压的初 始值，常数K为试验参数.若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此 可得试验参数K的估计值约为（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）() A.0.162 B.0.164 C.0.166 D.0.168 6.函数y=f(x)的图像与函数8(x)=1og2x(x>0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为() A.)=10 -(x>0) B.f四）=1og,-9x<0) C.f(x)=-log,x(x>0) D.f(x)=-log2(-x)x<0) 7.己知a=log3V2,b=e.1,c=lne3,则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 8.己知定义域为R的函数x)满足凡一x)十x)=0,且1一)=十x),则下列结论一定正确的是() A.x+2)=x) B.函数y=孔x)的图象关于点(2,0)对称 C.函数y=x十1)是奇函数 D.2-x)=x-1) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.下列命题正确的是() A.“x<1”是1>1"的充分不必要条件 B.命题"x<1,x2<1"的否定是"x<1,x2≥1" C.x+y=0的充要条件是X=-1 D.若x+y>2,则x,y至少有一个大于1 y 10.下列根式与分数指数幂的互化正确的是（) A=(-B.=0<0c-0D.3-x≥0 一x2-2x,x≤0， 11.已知函数x)= 若x1<x2<x3<x4,且x)三x2)=x)=x4),则下列结论正确的是 01og2x,x>0, ( A.x1+x2=-1 B.x3x4=1 C.1<x4<2 D.0<xx2x3x4<1 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12.函数y=2a-2-1(a>0,且a≠1)的图象恒过点 13. 已知函数)=，2十，一1，则使不等式2+1>4+3)成立的实数：的取值范围是 x2+1 14.已知函数f(x)= g(x)x x2-6x+4,x≥ 。,若关于x的方程f产()+m阿()-4=0有6个不同根，则整数m的取 值范围是 三、解答题：本题共3小题，共45分。 15.(本题满分13分)已知命题p:xe[l,3],x2-mx+4≥0，命题9：x∈R，x2-mx+2m>0. (I)若命题p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p,q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围， 16.(本小题15分)(1)计算： 可-+06( (2）(o8:3+loe,30og,2+1g,2+loe,27-2.(3)已知g+a支=2，求+a+2的值 atal-1 17.(本题满分17分)已知函数f(x)=3+a3(aeR). (1)若a=3，求不等式f(x)≥4的解集； 包若f间=9,8)=9+9+m时(+2m-1,求g()的最小值， 18、已知函数f()=alnx+1-a,a∈R. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(（1，f(0)处的切线方程： (2)当a变化时，曲线y一f()过定点(，%)，证明：2<<ln2: )若5Q<1,求函数g(=/(的学点个数。 19.已知随圆Cx,+2三1(a6之0)的离心率为V6 3 ,且经过点4（√5,0），直线乙，4过点A且相互垂 直，1交C于另一点P,交C于另一点Q (1)求C的方程； (2)证明：直线PQ过定点； (3)先将C绕原点O旋转90°，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的入(2>0)倍得到 椭圆E,若L,与E的一个交点为R,且|AP曰AR|，求E的长轴长的取值范围 龙城高级中学（教育集团）实验高级中学 参考答案 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）： 题号 2 3 5 6 8 答案 D A 0 D B B 、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）. 题号 9 10 11 答案 BD CD BCD 三、填空题（本大题共4小题，共20分，把答案填在题中横线上）· 12.(2,1) 13.(2u2 1.解析因为0≤9-3<9，所以0≤V9-3<3,则A=y∈Zy=V9-3}={0,1,2, 又B={xx-3|≤2)={x1≤x≤5}，所以AnB-{1,2} 2.解析因为y=lgx在(0，+o)上是增函数，故由lga>1gb可得a>b>0; 取a=2,b=-3,此时满足a>b,但是不满足1ga>1gb. 综上，“a>b”是“lg>lgb”的必要不充分条件. 3.解析设gx)=x)-2=ar3+br2,则g-x)=一axr5-br3=一(x),即x)-2=一一x)十2，故-2) =-2)+4=-3. 4.解析因为y=图-=-，≠0，故y=为奇函数，图象关于原点成中心对称， 将函数图象向右平移1个单位长度可得y-坠一的图象，所以y一一的图象关于点1,0)成中心对称， x-1 排除A,8;又当y=一=0时，x=0或x=2,故y=吵的图象与x轴有2个交点，排除C x一1 X一】 5.解析由题意知，400=900e,两边取自然对数，则h4=1n9-5K,所以K=la9-ln4= 5 2m3-1n2)≈2×0.41=0.164 6.解析设点M(x,y)是函数f(x)上的一个点，则其关于原点的对称点为M(-x,-y)所以根据题意可知 点M'在函数g()上，则-y=log2(-x),化简得y=+iogz(-x),所以∫(x)=-log(-x,x<0. 7.解折a=logi<log5=.b=e>e0=1,c=ne号= 2,故a<c<h 3 5 8.解析对于A进项，因为-)+x)=0,且1一x)=1+x),则1-(1+x)=1十(1十x),即八x+ 2)=一x,A楚：对于B进项，因为儿x+2)=一x),则x+4)=一x十2)=x),因为八-x)+儿x)=0, 则无-(2+》+2+)=0，即2十x)=一人-2-x)=一2-x),即2+x)+2-)严0，故函数y=x)的 图象关于点(2,0)对称，B对：对于C选项，因为1一x)=1十x),故函数y=x+)是偶函数，C错： 对于D选项、因为1一x)=1十)，则1-(x一1)》=1十(x-1),即2一x)=x)≠x一)，D错。 9、解析对于A选顷，若x<0则得不到二>1，枚不是充分条件；对」B迭顾，山企称批词的谷定判渐 其正酶：对于C选项，若x=y=0则得不到=-1，放不是充要条件，C选项错误；对于0选项，若x,y均 不大于1，则x+y≤2，故xy至少有…个大于1，故D逃项正确；故选：BD 10.解析因为-K=-X,所以选项A错误；因为=y=-yy<0),所以选项B错误： 因为.所选顶c正因为[可(e吵 所以选项D正确 -2-2x,x≤0， 11.解析由函数x)= 作出其函数图象： 1og2x,x>0, 由图可知，x十=-2，-2<1<-1：当y=1时，0g时=1，有=号2， 所以<3<1<<2：由x)=x,有og=iog2d,即1og2x+log2x=0,所以4=l, 则xx2x3x=xx2=x1(-2-x)=一(x十1)2+1∈(0,1).故选BCD 12.解祈a°=1=0，令x一2=0，x=2,y=1,.函数的图象过定点(2,1). 13.解折玉数9的克义城为≠0，人-一以+】一十=，款通象网为偶西 1 数，且当x20时，网=2十1 一nK,因为函数y=2,·y=-lnx均在(0，十o)上单调递减，故函数) 2+K1+3引， 在(0，+∞)上单调递减，白21+！)>1+3)得2！+)>+30，则 2r+1≠0， 即21+12<+那， 1-2)3+4)0, 解得-一手2且1≠-之故不等式2+1P+3)减立的实 21+1≠0， 即 3 黄的康在范霞[台引(？习 14.解析作出函数f(x)的图象如图：关于x的方程f(x)+刚(x)-4=0行6个不同根， 6 令1=f(x),2+m1-4=0,即方程2+m-4=0有2个不同的解，可能一个在(0,4]上，一个在(-5,0).正， 也阿能两个都在(4，+∞)上.令g()=2+m1-4,若g(0)在(0,4]上和(-5,0)上各 g(-5)=21-5m>0 有一个不同的零点。所以80二4<0，筛得-3≤m<号若80)在 g(4)=12+4m20 [_m>4 2 (4,+∞)有两个不同的零点，所以加2+16>0，该不等式组无解，综上 8(4)=12+4m>0 ∴.-3≤m< 21 5 15解：0若命愚p:3x,3引，-mx+4≥0为真命题，即m≤(x+4),—2分 因为函数y=x+4在[儿，2上单调递减，在2,3]上单调递增，且当x=1时y=5,放m≤5，-—一4分 所以命题p为真命题时实数m的取值范围是(-o∞，5]：一一5分 (2)由()知命题p为真命题时，m≤5： 若命题q:x∈R,x2-x+2m>0为真命题，则△=m2-8m<0,解得0<m<8,一一一8分 m≤5 m>5 又命题P,g有且仅有一个为真命题，所以{ 或 m≤0或m≥80<m<8' 一一一11分 解得m≤0或5<m<8.一一12分 故实数m的取能范围是(-∞，0]U(5,8).一一一13分 6【详解1a)30可-周+064（方'=4-1+08x4=-l8.—5分 (2)(og,3+1ogs3)(1og,2+10g,2)+1og1927-213 22·引， 传》w30+2+502号-5如3.10分 (3)因为ra立=2，所以a+a=o+a-2=2,则a2+a3-a+a月-2=2， 所拟+a2+2.Q+ag2+a2-t2.2x3-424.--15分 ata"i-1 a+a--1 2-1 17.解：（1)若a=3,则f(x)=3+33 所以f(x)24,即3+3.3≥4，所以(3-1(3*-3)≥0,3分 所以3*≤1或3≥3，解得x≤0或x≥1， 即不等式f(x)24的解集为(-∞，0]U1,+∞).-6分 2》若0=号即3号9解霜0=1-7分 所以g(x)=9+9+m3+3）+2m-1=(3+3+m(3+3)+2m-3,--9分 令1=3+3,1∈[2，+o),所以y=g(x)=12+m1+2n-3.一-一10分 当-罗≤2，即m之4时，=+m+2m-3在2，+m)上单调通增， 所以ym=22+2m+2m-3=4m+1,即g(x)。=4m+1.-13分 当-受>2，即m<4时，y=广产+1+2m-3在(2-)上单调递诚，在（受m上单调述增， 所以-气+m(}2a-3-受+2m-,即g6-年+2m-3.一6分 4 综上，g(x)=4 _m+2m-3,m<-4 -17分 4m+1,m≥-4？ 18.【答米】(1)y=3x-4 （2)证明见解析 (3)两个零点 羽详料】若a=2,则f☒=2nx)=名+x>0,所秋/⑩=，了⑩=3 因此曲线y=f(x)在点(，f(I)处的切线方程为y+1=3(x-1),即y=3x-4. 【小饲2详都1/闭=a个nx+文，因为自线y=到过定点(6，).所以h丈=0，从面 为f6)=大=n飞.令划=nxx>0,则)士+>0，所以（到在0m)上第满 2<ln2. 增，且h0=-1<0,h2=n2号0，所以2).所以>2m%<In2,即< 【小问3诈解】 8 质数g))-号的学点个数可转化为)与y=司交成个数。 山f%x=g-1=2=r-9-a）,x30. x2 令x)=0,得x=1-日>0， a 所以当0<x<1-口附，()<0，f)M调递减：当￥>1-时，∫()>0，了)华边超， a 当a<时，02<1，且/。20-a<号 a 由(2)可知，存在6∈，2)，满足广(o)>2,又当x>0且x→0时，f→+， 1 所以∫(x)与y=二有两个交点， 2 故gx)有两个零点. 19.【答案】(1) 3+y2=1 （2)证明见解析 (3)[25,6W3] 30 【小的1详解】因为C过点4W5.0):所以后+了=1，又a>0,放a=5, 因为C的离心率为6，所以G-B_V6 3 得6=1，所以c的方程为写+y-1 【小问2详解】 若直线的斜率为0，则直线2的方程为x=√5，此时直线与椭圆测C只有个交点、与己知矛盾， 若直线（的斜率不存在，则直线的方程为x=√万，此时直线（与椭圆C只有一个交点，与己矛盾， 战直线的斜率存在且不为0，同理可得直线2的斜率存在且不为0，故设 4x=my+5,4:x=-上+5.由 x2+3y2-3=0, x=yt3, 得(m2+3)2+25y=0, 德，=-25mk,35-5m,所up35=5m20m m2+3文n= m2+3 m2+3m2+3 同理可得 e色m52 若m≠士1，放直线PQ:)= 47m x-35-32_ 2v3m 4m 3(m2-1) m2+3 7m2+3 故直线2过点 0 2 若m=士1，则宜线PQ:x=5 直线P2过点 上，直线？过定 【小问3详解】由题意可的方程为产+专=，因为A(5,0),P(x),R(x,y),所以 AD=(xp-V5,yp,AR=(x-5,y）.根据对称性，不妨将R看作是由AP逆时针旋转90°得到， 因为AF.AR=0,APH-AR,所以x-V5=-p,a=x-V3,所以R(V5-y,￥。-3) 民=5-6-号g4a子小 y 点P在C上，所季+片=1，越2=5-25（音+小设 yp =sina, aeauc25-a9a+n5-4(a+由 2∈[1,3】，放椭☏E的长轴长2√5入的收值范围是[2√5,6√].