北京市2025一2026学年上学期新高三入学定位考试数学试题

2025-2026学年北京市新高三入学定位考试 数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（　　） A. B. 1 C. D. 3. 直线被圆所截得的弦长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 4. 在的展开式中，常数项为（　　） A. B. C. 6 D. 12 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知函数的最大值为2，则的值可以是（　　） A. -1 B. 1 C. D. 2 7. 已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 9. 已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（　　） A. 四棱锥的体积不变 B. 总有 C. 点在一条定线段（不含端点）上 D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为___________． 12. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则______，的离心率为______． 13. 函数的最小正周期___________，函数的长度为的一个单调递减区间为___________．（只需写出一个） 14. 等差数列的通项公式，前项和为，则___________，数列的最小值为___________． 15. 已知函数与，其中实数．给出下列四个结论： ①函数在区间上单调递增； ②对任意的与的图象都只有一个公共点； ③若与的图象没有公共点，则的取值范围是； ④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，为钝角，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥中，，点在上，． （1）若为线段的中点，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某学校为了解该校不同性别教师使用人工智能模型的情况，分别从男教师、女教师中随机抽取了部分教师，统计了他们上个月使用人工智能模型的时长，得到以下数据（单位：小时）： 女教师：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55 男教师：15，16，22，23，24，26，36，37，40 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名教师使用人工智能模型的情况相互独立． （1）该学校要对上个月使用人工智能模型时长不足20小时的职工进行专项调研，已知该校共有180名男教师，试估计该校需要参加此次专项调研的男教师人数； （2）从女教师中随机抽取2人，男教师中随机抽取1人，记为这3人中上个月使用人工智能模型时长不少于35小时的人数，求的分布列和数学期望： （3）设样本中女教师使用人工智能模型时长的方差为，男教师使用人工智能模型时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形． （1）求椭圆的方程； （2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为、点关于轴的对称点为与不重合），直线与轴的交点分别为．若，求线段的长． 20. 已知函数． （1）求证：曲线在点处的切线一定经过点； （2）当时，求函数的单调区间； （3）记，是否存在实数，使得函数与在处同时取得极值，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 21. 给定整数，数列满足．定义数列如下：，其中表示这2个数中最小的数．记， （1）时，，分别写出相应的数列和； （2）求证：； （3）求的最小值． 2025-2026学年北京市新高三入学定位考试 数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. 0 ②. 【13题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可） 【14题答案】 【答案】 ①. -3 ②. -3 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 若选择条件①：的面积； 若选择条件②：的面积； 不能选③. 【17题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）40 （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望为 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） 因为，所以，所以. 又，所以曲线在点处的切线方程为 当时，， 所以曲线在点处切线经过定点. （2）单调递增区间为；单调递减区间为 （3）不存在，理由： 假设存在实数，使得函数与在处同时取得极值， 因为， 所以， 所以，所以， 此时恒成立，不存在极值，矛盾， 所以不存在实数，使得函数与在处同时取得极值. 【21题答案】 【答案】（1） （2） 由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素，如， 在中至多在和中出现两次， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）． 所以的所有项中至多有两个1，两个2，依次类推， 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 而， 所以总有； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $