第3章 勾股定理 练习题 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3章 勾股定理 一、单选题 1．如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，相邻的两边互相垂直，则从点到点的最短距离为（    ） A．13 B．12 C．8 D．5 3．如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 6．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，等腰三角形的底边，腰上的高，则的面积是 ． 10．如图，在中，．若以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则 ． 11．木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板 （填“合格”或“不合格”）． 12．如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为 ． 13．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为 ． 三、解答题 14．如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的长． 15．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 16．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 17．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 18．已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键． 根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得， ， 四边形都是正方形， ，，， 正方形A、B的面积分别为25和9， ，， ， 正方形B的面积为16． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，作出过点A的竖直线和过点B的水平线，交于点C，如图所示： ， 由题意得：，， ， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 4．B 【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理，理解勾股定理并分类讨论是解题的关键． 未明确直角顶点，需分情况讨论；当直角顶点为时，为斜边，利用勾股定理计算；当直角顶点为时，为斜边，再次应用勾股定理． 【详解】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 8．C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先根据勾股定理得，再设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：，腰上的高， ∴， 是等腰三角形的底边， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 10．9 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.首先利用勾股定理求出的长度，再根据题意得到，根据即可算出答案. 【详解】解：在中，， 则 以点为圆心，长为半径画弧，交于点， 则, 故答案为：9． 11．合格 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论． 【详解】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 12． 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值为的长，再根据垂线段最短，得到时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴是等边三角形， 如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点． ，，， ， ， ， ∴， ∴ ， ， 最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴， ∴ 的最小值为， 的周长的最小值为， 故答案为：． 13．10 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得的长． 本题主要考查了勾股定理和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，平分交于点E． ∴． 故答案为：10． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）若点是的中点，则垂直平分可得，进而得到，则是等边三角形，即可证明结论； （2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，是边上的高． ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴． 15．(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 16．30米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 17．(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 18．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$