精品解析： 陕西省西安市长安区一民初级中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年陕西省西安市长安区一民初级中学八年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 5. 若分式的值为0，则a的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 6. 如图，将绕点A逆时针旋转至，此时边过点C，于点O，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 关于x的方程有增根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费较去年上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年3月的水费则是30元．已知小丽家今年3月的用水量比去年12月的用水量多．求该市去年居民用水的价格？设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，的平分线交于点，点，分别是，上的动点，若的最小值是2，则正方形的边长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 12. 分式，的最简公分母是____________． 13. 在平面直角坐标系中，将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），则点P的坐标为_____． 14. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为______． 15. 如图，在中，，，．点是三个内角平分线的交点且于点，则线段的长是_____． 16. 如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程： 18. 解下列不等式(组)： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值： ，其中． 20. 尺规作图：已知，找一个点P，使得点P到A，B，C三个顶点的距离相等． 21. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 22. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元． （1）求每副围棋和象棋各是多少元？ （2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？ 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 24. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安市长安区一民初级中学八年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么叫做分式，据此判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，、、是整式，是分式， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的定义，理解分式的定义是解答的关键． 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：． 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、该式子的右边分母含有字母，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质．由平移得，进而可得，据此即可求解． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， 故选：． 5. 若分式的值为0，则a的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了分式值为零，根据分式值为零，则分子为零即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转至，此时边过点C，于点O，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到，根据旋转的性质，得，计算，计算即可，本题考查了旋转的性质，直角三角形的特征，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 根据旋转的性质，得， ∴， ∴， 故选C． 7. 关于x的方程有增根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到，求出x的值代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分式方程有增根，得到，即， 代入整式方程得：， 故选C． 8. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图，设，交于点, 四边形是平行四边形，，相交于点O，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费较去年上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年3月的水费则是30元．已知小丽家今年3月的用水量比去年12月的用水量多．求该市去年居民用水的价格？设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设去年居民用水价格为x元/，则今年居民用水价格为元/，根据小丽家今年3月的用水量比去年12月的用水量多，即可列出方程． 【详解】解：设去年居民用水价格为x元/，则今年居民用水价格为元/， 根据题意得， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，的平分线交于点，点，分别是，上的动点，若的最小值是2，则正方形的边长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段和最短问题：过作的垂线交于，交于，再过作，由角平分线的性质可得出是关于的对称点，进而可知即为的最小值． 【详解】解：过作的垂线交于，交于，再过作于， ， ， ∵的平分线交于点， ∴， ， ， 是关于的对称点，， ∴， 又∵垂线段最短， ∴当与点重合时，的值最小为的长， ∵的最小值为2， ∴， 四边形是正方形， ， ， 在中，， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 分式，的最简公分母是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①找系数：找各分母中系数的最小公倍数；②找分母：找各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；③找指数：取各相同字母因式或多项式字母因式的最大指数求解即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），则点P的坐标为_____． 【答案】（-1，4） 【解析】 【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减，逆向推导求解可得． 【详解】解：将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1）， ∴点P的坐标为（-3+2，1+3），即（-1，4）， 故答案为：（-1，4）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 14. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 结合函数图象，写出直线不在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， 当时，， 不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．点是三个内角平分线的交点且于点，则线段的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．连接，，过作于，于，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，由勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：连接，，过作于，于， 点是三个内角平分线的交点且于点， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：3． 16. 如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，以为邻边构造平行四边形，连接，证明出的最小值为，再利用勾股定理求出即可． 【详解】以为邻边构造平行四边形，连接． 则，， ， 的最小值为， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程： 【答案】（1） （2） （3） （4）无解 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． （1）将原式约分即可； （2）将原式通分并计算即可； （3）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （4）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【小问4详解】 解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故原方程无解． 18. 解下列不等式(组)： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的运算，然后进行化简，得到最简分式，再把代入计算，即可得到答案． 【详解】解： = = = =； 当时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 20. 尺规作图：已知，找一个点P，使得点P到A，B，C三个顶点的距离相等． 【答案】 解：如图，分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于两点，连接两点交于点P，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线交于点P，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得点P到A，B，C三个顶点的距离相等． 【详解】略 21. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 22. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元． （1）求每副围棋和象棋各是多少元？ （2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？ 【答案】（1）每副围棋18元，则每副象棋10元；（2）该校最多可再购买25副围棋． 【解析】 【分析】（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元，根据420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量列出方程并解答； （2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副，根据题意列出不等式并解答． 【详解】解：（1）设每副围棋x元，则每副象棋（x﹣8）元， 根据题意，得＝． 解得x＝18． 经检验x＝18是所列方程的根． 所以x﹣8＝10． 答：每副围棋18元，则每副象棋10元； （2）设购买围棋m副，则购买象棋（40﹣m）副， 根据题意，得18m+10（40﹣m）≤600． 解得m≤25， 故m最大值是25． 答：该校最多可再购买25副围棋． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 【答案】（1）； （2）证明：BE平分 又 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题； （2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题． 【详解】解：（1） D为BC的中点， （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）． 理由：如图所示，连接， 由（1）可知：， ∵、、三点共线 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点、、三点共线，分类讨论，根据（1），（2）中的结论即可求解． 【详解】解：． 理由：如图所示，连接，设交于点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， 故答案为：； （2）略 （3），，、、三点共线， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ①如图所示，连接， 由（2）可知：， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴（此时，不符合题意，舍去）； ③如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $