精品解析：广东省佛山市英才实验学校2021-2022学年 九年级上 学期期中考试模拟试卷

广东省佛山市英才实验学校2021-2022学年度北师大版九年级上册 期中考试模拟试卷 一、选择题（共10题；共30分） 1. 已知方程3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值为（ ） A. - B. C. - D. 2. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A. 2x＝3y B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程没有实数解，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 289（1﹣x）2=256 B. 256（1﹣x）2=289 C. 289（1﹣2x）2=256 D. 256（1﹣2x）2=289 5. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9 6. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，连接DF交AC于点G，下列结论： ①DE＝EF；②∠ADF＝∠AEF；③DG2＝GE•GC；④若AF＝1，则EG＝，其中结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 若，则＝__________． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则__________________． 13. 若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____． 14. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，且BC=6，AB=3，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点E，点G是BC上一点，E为线段BG的中点，DG⊥BC于点G，交AC于点F，则FG的长为_____. 15. 如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为________m． 16. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①所示是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．如图②所示是由图①放入长方形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为________． 17. 如图，在边长为3的等边△ABC中，点D在AC上，且CD＝1，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为_____． 三、解答题（一）（每小题6分，共18分） 18. 解方程：． 19. 李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB． 20. 如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF． （1）求证：BE=CD； （2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明． 四、解答题（二）（每小题8分，共24分） 21. 一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0．5． （1）求口袋中红球的个数． （2）小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是，你认为对吗?请你用列表或画树状图的方法说明理由． 22. 某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件降价5元，则平均每天销售量为_______件； （2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？ 23. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=． 材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求的值． 解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1． ∴． 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2=_______； （2）已知实数m，n满足，，且m≠n，求m2n+mn2的值； （3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值． 五、解答题（三）（共2题；共20分） 24. （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点，的坐标为、，点为的中点． （1）求点的坐标； （2）求直线的函数解析式； （3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，设运动时间为，当为何值时是腰长为5的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市英才实验学校2021-2022学年度北师大版九年级上册 期中考试模拟试卷 一、选择题（共10题；共30分） 1. 已知方程3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值为（ ） A. - B. C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】∵3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2， ∴x1+x2=-． 故选：B． 【点睛】考查了根与系数的关系，解题关键是熟记若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 2. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A. 2x＝3y B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析求解即可判断． 【详解】解： A、∵， ∴2x＝3y，故本选项正确； B、由可得2x＝3y，故本选项正确； C、由可得2x＋2y＝5y，整理得2x＝3y，故本选项正确； D、由得4x＋8＝5y＋10，整理得4x＝5y＋2，故本选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积并灵活运用是解题的关键． 3. 已知关于的一元二次方程没有实数解，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式和二次项系数不为零的条件列式求解即可. 【详解】由题意得:, 解得. 故选A. 【点睛】本题考查判别式求参数,关键在于熟练掌握基础知识. 4. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 289（1﹣x）2=256 B. 256（1﹣x）2=289 C. 289（1﹣2x）2=256 D. 256（1﹣2x）2=289 【答案】A 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程． 【详解】根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2， ∴方程为289（1-x）2=256． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，掌握增长率类问题的一般等量关系是解题的关键． 5. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解: 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33， A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意； C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意； D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8， ∴BC=8， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形， ∴CE=8﹣3=5， 在Rt△CEF中，CF==4， 设AB=x， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2， 即（x+4）2=x2+82， 解得x=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解． 7. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴， A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D、添加不能证明，故此选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，根据，可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故选项A错误； ∵， ∴，，， ∴ 故选项B错误；C正确， ∵，， ∵，， 故选项D错误； 故选：C． 9. 在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用翻折不变性可得，推出，，设，在中，，可得，设，在中，，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由翻折不变性可知：，，，， ， 在中，， ， 设，在中有：， ， 设，在中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，连接DF交AC于点G，下列结论： ①DE＝EF；②∠ADF＝∠AEF；③DG2＝GE•GC；④若AF＝1，则EG＝，其中结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】证明△DCE≌△BCE，得DE＝BE，证出EF＝BE，则结论①正确；易证∠EDF＝∠DFE＝45°，又∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF，则∠ADF＝∠AEF，故②正确；证出△DGE∽△CGD，由比例线段可得出结论DG2＝GE•GC，③正确；先求出CE长，将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG，易证△DMG≌△DEG，△AMG是直角三角形，得出EG2＝AG2+CE2，设EG＝x，则列出方程可求出EG＝，则④正确． 【详解】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE， ∴∠ADE＝∠ABE， ∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°， ∴∠ADE+∠AFE＝180°， ∵∠AFE+∠EFB＝180°， ∴∠ADE＝∠EFB， ∴∠ABE＝∠EFB， ∴EF＝BE， ∴DE＝EF，故①正确； ∵∠DEF＝90°，DE＝EF， ∴∠EDF＝∠DFE＝45°， ∵∠DAC＝45°，∠AGD＝∠EGF， ∴∠ADF＝∠AEF，故②正确； ∵∠GDE＝∠DCG＝45°，∠DGE＝∠CGD， ∴△DGE∽△CGD， ∴， 即DG2＝GE•CG，故③正确； 如图，过点E作EN⊥AB于点N， ∵AF＝1，AB＝3， ∴BF＝2，AC＝， ∵BE＝EF， ∴FN＝BN＝1， ∴AN＝2， ∴， ∴， 将△DEC绕点A逆时针旋转90°得到△DMA，连接MG， 易证△DMG≌△DEG（SAS），△AMG是直角三角形， ∴MG＝GE， ∴MG2＝EG2＝AM2+AG2＝CE2+AG2， 设EG＝x，则AG＝， ∴， 解得：x＝，即EG＝，故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 11. 若，则＝__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：设＝k， 可得：a＝2k，b＝3k，c＝4k， 把a＝2k，b＝3k，c＝4k代入 ＝ 故答案为10 【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质设＝k来解答． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO， ∵AC＝24，BD＝10， ∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13， ∴BC＝13， ∴， ∴×24×10＝13×DE， 解得：DE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 13. 若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____． 【答案】8或 【解析】 【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝8±2；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解． 【详解】解：当a＝b时， 由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±， ∴a+b＝8±2； 当a≠b时， a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根， ∴a+b＝8． 故答案为8或8±2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a、b进行分类讨论是解题关键． 14. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，且BC=6，AB=3，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点E，点G是BC上一点，E为线段BG的中点，DG⊥BC于点G，交AC于点F，则FG的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据∠ABC=90°，DG⊥BC得出DF//AB,再根据E为线段BG的中点，得出ABEDGE,证出DG=AB=3,再根据AD是∠BAC的平分线，DF//AB,得出DF=AF,再根据CFGCAB,得出=即可求出FG． 【详解】∵∠ABC=90°，DG⊥BC，∴∠ABC=∠DGE, ∴DF//AB, ∴∠D=∠DAB ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠FAD=∠D, ∴AF=DF, ∵E为线段BG的中点， ∴GE=BE, 在ABE和DGE中， ∴ABEDGE, ∴DG=AB=3, 设FG=x，则AF=DF=3+x 在△ABC中，∠ABC=90°，且BC=6，AB=3， 根据勾股定理可得：AC=3, 则FC=3-3-x ∵DF//AB, ∴CFGCAB, ∴= ∴= ∴x= ∴FG= 故答案为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 15. 如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕点按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知，在旋转过程中，影长的最大值为，最小值为，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯的高度为________m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟悉掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 当旋转到达地面时，为最短影长，则，影长最大时，木杆与光线垂直， 影长的最大值为，即，利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出的长． 【详解】解：如图 当旋转到达地面时，为最短影长，等于， ∵最小值， ∴， ∵影长最大时，木杆与光线垂直，如图 ： 即， 在中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：． 16. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①所示是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．如图②所示是由图①放入长方形内得到的，，，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为________． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得是解题的关键．延长交于点O，延长交于点P，根据题意证得，根据全等的性质求出和的长，则可根据正方形的边长相等求出的长，然后根据线段间的关系求出和，最后根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】如图，延长交于点O，延长交于点P， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． ， 四边形是正方形，边长， 所以， ， 所以长方形的面积为． 故答案为： 17. 如图，在边长为3的等边△ABC中，点D在AC上，且CD＝1，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落在等边△ABC的边上时，AE的长为_____． 【答案】1或5﹣． 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，当F点落在边BC上时，证明△DFC∽△FEB，F点落在边AB上时，根据直角三角形的性质求解； 【详解】①当F点落在边BC上时， ∵把△ADE沿DE折叠， ∴∠A＝∠EFD＝60°， ∵∠EFC＝∠B+∠BEF， ∴∠EFD+∠DFC＝∠B+∠BEF ∵∠EFD＝∠A＝∠B＝60°， ∴∠DFC＝∠BEF， ∴△DFC∽△FEB， ∴， 而EF+BE＝EA+BE＝AB＝3，DF＝DA＝AC﹣CD＝2， ∴， 解得AE＝5﹣，或AE＝5+（舍去）； ②F点落在边AB上时， ∵把△ADE沿DE折叠， ∴∠A＝∠DFE＝60°，∠DEA＝90°，∠ADE＝∠FDE， ∴∠ADE＝30°， ∴AE＝AD＝（AC﹣CD）＝×2＝1． 故A答案为1或5﹣． 【点睛】本题主要考查了图形折叠的知识点，准确的利用折叠的性质，通过三角形相似和直角三角形的性质进行求解． 三、解答题（一）（每小题6分，共18分） 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 19. 李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB． 【答案】21.2m 【解析】 【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长． 【详解】解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M, ∴四边形CDME、ACDN是矩形， ∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m， ∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m， ∴依题意知，EF∥AB， ∴△DFM∽△DBN， ∴， 即： ， ∴BN=20， ∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2 答：楼高为21.2米． 【点睛】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握． 20. 如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF． （1）求证：BE=CD； （2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明． 【答案】 （1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE ∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC ∴∠BAE=∠CAD 在△ACD和△ABE中 ∴△ACD≌△ABE（SAS） ∴BE=CD； （2）∵AD⊥BC ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD 由（1）可知，△ACD≌△ABE ∴BE=BD=CD，∠BAE=∠BAD 在△ABD和△ABE中 ∴△ABD≌△ABE（SAS） ∴∠EBF=∠DBF， ∵EFBC ∴∠DBF=∠EFB ∴∠EBF=∠EFB ∴EB=EF， 同理BD=FD ∴BD=BE=EF=FD， ∴四边形BDFE为菱形 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC，从而得到∠BAE=∠CAD，从而得出△ACD和△ABE全等，从而得出答案； （2）根据题意得出△ABD和△ABE全等，从而得出∠EBF=∠DBF，根据EFBC得到∠DBF=∠EFB，从而得到∠EBF=∠EFB，则EB=EF，利用同理得出BD=FD，从而得到菱形． 【详解】略 四、解答题（二）（每小题8分，共24分） 21. 一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0．5． （1）求口袋中红球的个数． （2）小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是，你认为对吗?请你用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1）红球的个数是1. （2）小明的认为不对. 理由： ∴ ， 【解析】 【分析】（1）设有个红球，根据题意列出概率公式，求出的值即可； （2）根据题意列出所有等可能结果的树状图，按照概率公式求出各种颜色球的概率即可进行判断． 【详解】试题解析：（1）设有个红球，根据题意得：，袋中有1个红球； （2）略 考点：1、列表法与树状图法；2、概率公式． 22. 某超市销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若每件降价5元，则平均每天销售量为_______件； （2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200元？ 【答案】（1）30；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 【解析】 【分析】（1）利用平均每天销售量=20+2×每件降价钱数，即可求出结论； （2）设每件降价x元，则每件盈利（40-x）元，平均每天销售量为（20+2x）件，根据该超市每天销售此商品的利润=每件的利润×平均每天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于24元，即可确定x的值． 【详解】解：（1）平均每天的销售量=20+5×2=30件． 故答案为：30； （2）设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为1200元． 由题意得， ∴， ∴，， ∵要求每件盈利不少于24元． ∴应舍去， ∴． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=． 材料2：已知实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求的值． 解：由题知m、n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1． ∴． 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程x2-4x-3=0的两根为x1、x2，则x1+x2=4，x1x2=_______； （2）已知实数m，n满足，，且m≠n，求m2n+mn2的值； （3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个实数解，则根据根与系数的关系得到，，接着把m2n+mn2分解得到mn(m+n)，然后利用整体代入的方法计算； （3）先设t=2q，代入2q2=3q+1化简得到t2=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两个实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p•2q=-2，接着利用完全平方公式变形得到p2+4q2=(p+2q)2-2p•2q，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）∵m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两实数解， ∴，， ∴； （3）设，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2， 则p与t（即2q）为方程的两实数解， ∴p+2q=3，p•2q， ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程()的两根时，，． 五、解答题（三）（共2题；共20分） 24. （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 【答案】 （1）证明：如图1，在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF， ∴CE=CF； （2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF， 由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD， 即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°， ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG， ∴GE=GF， ∴GE=DF+GD=BE+GD； （3）108. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF； （2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD； （3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过点C作CF⊥AD于F， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝90°， ∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD， ∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12， ∴四边形ABCF是正方形， ∴AF＝12， 由（2）可得DE＝DF＋BE， ∴DE＝4＋DF， 在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2， ∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2， ∴DF＝6， ∴AD＝6， ∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点，的坐标为、，点为的中点． （1）求点的坐标； （2）求直线的函数解析式； （3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，设运动时间为，当为何值时是腰长为5的等腰三角形？ 【答案】（1）点的坐标是；（2）；（3）2，3，8 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质即可得出点B的坐标； （2）由点D是AO中点，得出点D的坐标，设DB的解析式为将D,B的坐标代入，求出，即可求得直线DB的解析式； （3）分三种情况讨论，①,②,③,通过作辅助线，构造直角三角形和矩形，得出CP的长，即可求出t的值． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的坐标是； （2）设直线的解析式为， 由题可知点的坐标为， 把点，点代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）①当时，即OP和PD是等腰三角形的腰时， 过点P作PE⊥OD于点E，则，如图， 可得四边形是矩形， ∴ 在Rt中， 不合题意，舍去； ②当，即OD和OP是等腰三角形的腰时，过点P作PM⊥OD，交OD于点M，如图， 由题可知，四边形OMPC为矩形， ∴ 在Rt中， , ∴ ∴（秒）； ③时，即OD和PD是等腰三角形的腰时，有2个点满足题意，过点D作DF⊥BC于点F，则关于点F对称，如图， 第一种情况：在线段AF上， 由题可知四边形ODFC为矩形， ∴ 在Rt中， ∴ ∴； 第二种情况：点在线段BF上时， 由对称可知， ∴ ∴， 综上所述，当等于2，3，8，是腰长为5的等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，求一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质，求一次函数解析式的方法，等腰三角形的性质，勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $