江苏省南京市中华中学2026届高三上学期8月学情调研数学试题

试卷第 1页，共 4页 中华中学 2026届南京市高三学情调研模拟考试 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：濮阳康和 曹晓琰 审题人：苏宗瑞 一､选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 U＝R，集合 A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集 合为( ) A．{x|－3＜x＜0} B．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|2＜x＜3} 2．已知平面向量 a，b 是两个单位向量，a 在 b 上的投影向量为 1 2 b，则 a·(a－b)＝( ) A．1 B．1 2 C．－1 2 D．3 2 3．从 2名男生、3名女生中选 2人分别担任班长和学习委员，要求选出的 2人中至少有一 名女生，则不同的方法数为( ) A．10 B．16 C．18 D．24 4．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以 高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的 差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前 4项为：2，3，6，11，则该数列的第 27项为( ) A．676 B．678 C．731 D．733 5．若 sin(π 3 －α)＝1 4 ，则 cos(π 3 ＋2α)＝( ) A．7 8 B．－7 8 C．1 4 D．－1 4 6．若圆 C：x2＋y2－12x＋10y＋25＝0上有四个不同的点到直线 l:3x＋4y＋c＝0的距离为 3， 则 c的取值范围是( ) A．(0，17) B．(－13，0) C．(－13，17) D．(13，17) 7．已知圆台的上下底面半径之比为 1：2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都 相切的球）体积为 4π 3 ，则该圆台的体积为( ) A．7π 3 B．8π 3 C．3π D．10π 3 试卷第 2页，共 4页 8．已知 a＝ e－1，b＝sin1 2 ，c＝ln3 2 ，则( ) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 二､选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知复数 z， z－是其共轭复数，下列说法正确的是( ) A．若 z－ z－＝0，则 z为实数 B．若 z2－ z－2＝0，则 z＝ z－ C．z2＝|z|2 D． z · z－＝|z|2 10．在一个盒子中装有 4个大小形状均相同、编号为 1－4的小球.从中有放回地随机取两次， 每次取 1个球，记事件 A：“第二次取到球的号码小于等于 2”，事件 B：“两次取到球的号码 之和为奇数”，事件 C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则( ) A．B与 C互斥 B．A与 C相互独立 C．P(A＋C)＝7 8 D．P(B|C)＝2 3 11．在斜三角形 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 sinA＝cosB，则( ) A．△ABC为锐角三角形 B．若 a＝1，则 b＝tanB C．2tanB＋tanC的最小值为 3 D．1＜cosA＋cosB＋cosC≤5 4 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知(ax＋ 1 x )6的展开式中的第 2项的系数与第 2项二项式系数之和为 198，则展开式中 所有项的系数和为 ．(用数字作答) 13．已知函数 f(x)＝ 3cosωx＋sinωx－1（ω＞0）在区间(0，2π 3 )有且仅有 3个零点，则ω的 取值范围为 ． 14．设 F1，F2分别为双曲线 C: x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F2且斜率为－ 3 4 的 直线 l与 C的右支交于点 A，与 C的左支交于点 B，点 D满足BD → ＝ 1 2 BA → ，BD → ·F1D → ＝0，则 双曲线 C的离心率为 ． 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分． 15．(本题 13分) 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了 100个，将其质量指 标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值 不小于 80分时，配件为“优秀品”． (1)求这组数据的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)以频率估计概率，在配件厂生产的这批产品中随机抽取 3件产品，随机变量 X表示：抽 得的产品为“优秀品”的个数，求 X的分布列及数学期望. 16．(本题 15分) 如图，在三棱锥 P－ABC中，AC＝2AB＝3，AD → ＝2DB → ，点 E在 AC上， 且 PE⊥AC，CE＝PE＝2. (1)若 F为线段 PE的中点，求证：直线 DF//平面 PBC； (2)若 AB⊥平面 PAC，求平面 PAB与平面 PCB夹角的余弦值. 试卷第 4页，共 4页 17．(本题 15分) 已知数列{an}的前 n项和为 Sn，若 2Sn＝4an＋n－6(n∈N*). (1)求证：数列{an－ 1 2 }是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝ 2n an·an＋1 ，设数列{bn}的前 n项和为 Tn，若 Tn＞ 42 125 ，求 n的最小值. 18．(本题 17分) 已知椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 2 2 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点 A是 椭圆 C上一动点，且|AF1|·|AF2|的最大值为 6． (1)求椭圆 C的方程； (2)已知直线 x＝my＋3与椭圆 C交于 P，Q两点． （i）若 P，Q中点的横坐标为3 2 ，求 m的值； （ii）已知点 D(2，1)，直线 DP，DQ与直线 x＝3分别交于点 M，N，平面内是否存在一定 点 H，使得四边形 DMHN为平行四边形？若存在，求出定点 H的坐标；若不存在，请说明 理由． 19．(本题 17分) 已知函数 f(x)＝x(1－lnx). (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)＞－mx3＋(m＋1)x对任意 x∈(1，＋∞)恒成立，求实数 m的取值范围； (3)若 b(1－ln1 a )＝a(1－ln1 b )，其中 a＞0，b＞0，a≠b，证明：2＜1 a ＋ 1 b ＜e．