精品解析：湖南省怀化市洪江市实验中学2023-2024学年 九年级上学期数学竞赛试题（1月9号）

九年级学科知识竞赛数学试卷 时量：90分钟 满分：120分 一、填空题．（每小题4分，共60分） 1. 已知点，为反比例函数图象上的两点，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例系数k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小可得答案． 【详解】∵ 反比例函数的解析式为，k＞0， ∴ 在每个象限内y随x的增大而减小， ∵ 1＜2， ∴＞． 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2. 两个相似三角形相似比为，且面积之和为，则它们的面积分别为___________、___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由相似比得到它们的面积比，设这两个三角形的面积分别为，依题意得，求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形相似比为， ∴它们的面积比为：， 设这两个三角形的面积分别为，依题意得： ， 解得：， ∴它们的面积分别为：， 故答案为：． 3. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义.形如，含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义列不等式或方程，从而可得答案. 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ∴， 由①得：， 由②得：， ， 故答案为：. 4. 已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为_______． 【答案】k=1 【解析】 【分析】由题意设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2，得x1+x2=-（2k+1），x1·x2=k2-2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值． 【详解】解：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2 得x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2， △=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0， ∴k＞， ∵x12+x22=11， ∴（x1+x2）2-2x1x2=11， ∴（2k+1）2-2（k2-2）=11， 解得k=1或-3； ∵k＞， 故答案为k=1． 5. 方程所有根的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，绝对值的意义，先将方程转化为关于的一元二次方程，求解后根据绝对值的非负性确定的值，再求出的值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6. 某服装原价200元，连续两次涨价a℅后，售价为242元，则a=________. 【答案】10 【解析】 【分析】原价为200元，连续两次涨价a%后，售价为242元，根据增长率的求解方法，列方程求a． 【详解】解：由题意得：200（1＋a%）2＝242， 解得：a＝10或−210（舍去）． 故答案为10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．关键是根据增长率的求解公式列出方程． 7. 若、为整数，方程有一个根为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，得到，根据、为整数，得到，求出即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵方程有一个根为， ∴， ∴， ∴， ∵、为整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 如图，取一张长方形纸片，长，宽，沿着对折，使点落在上，则___________，___________度． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形等知识，先根据翻折变换的性质及矩形的性质得到，由勾股定理即可求出的长，进而可求出的长，再设，在中，利用勾股定理即可求出的长，再利用锐角三角函数的定义求出的正切值即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：是沿直线翻折而成， ，， 在中，， ， 设，则，在中，， 即， 解得：， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 9. 已知且，那么直线必经过第___________象限． 【答案】二、三 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据，列出方程，然后根据一次函数的性质即可得出答案，解题的关键是根据列出方程，然后讨论求解． 【详解】解：由题意可得：，，， 三式相加得：， ∴或， 当时，，直线通过第一、二、三象限， 当时，则， ∴， ，则直线通过第二、三、四象限， 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限， 故答案为：二、三． 10. 如图，在平地处测得树顶的仰角为，向树前进，到达处，再测得树顶的仰角为，则树高为___________．（答案带根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，先得到，再通过解直角三角形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中， ， 解得：， ∴树高为， 故答案为：． 11. 在中，，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作的三等分线，分别交于点，则，得到，证明，得到，证明，得到，再根据，得到，即求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的三等分线，分别交于点，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12. 已知等腰直角三角形中，，点在的延长线上，且，则的正切值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，由三角形为等腰直角三角形，得到，利用勾股定理表示出，将代入，用表示出，再由，表示出，由表示出，所求角的正切值等于与的比值，求出即可，熟练运用勾股定理是解本题的关键． 【详解】解：如图： 在等腰直角三角形中，， 根据勾股定理得： ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 13. 若，则以为内角的的形状是 ___________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 14. 三角形三个外角的度数比为，则它的最短边的长与最长边上的中线长之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，三角形的外角和等知识，根据题意及三角形的外角和为求出这三个外角的度数，从而得到三角形的三个内角的度数，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三个外角的度数比为， 则设这三个外角的度数分别为：， ∴， 解得：， ∴这三个外角的度数分别为： ∴这个三角形的三个内角的度数分别为： 如图，，点为的中点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为______. 【答案】1，0，2，，3 【解析】 【分析】根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整 理为：，则，是方程的根，即是 方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可 得． 【详解】解：∵的根都是整数， ∴①当时，原方程为， 解得，； ②当时，原方程可整理为：， 则，， 即是方程的整数根，且x是整数， 则或， 解得，，，，， 综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3， 故答案为；1，0，2，，3． 【点睛】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算． 二、解答题（每小题10分，共60分） 16. 已知是一元二次方程的两个不相等的非零实数根． （1）求实数的取值范围． （2）当时，求的值． 【答案】（1）实数的取值范围为且，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义及根的判别式得到，，求解即可； （2）当时，方程可化为，根据根与系数的关系得到， ，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵是一元二次方程的两个不相等的非零实数根， ∴且，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为且，； 【小问2详解】 解：当时，方程可化为：， ∵是方程的两根， ∴，，即， ∴． 17. 某种商品的进价为40元，若按每个50元出售，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个． （1）为了获得8000元利润，售价定为多少元？这时应进货多少个？ （2）当售价定为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）为了获得8000元利润，售价定为元，这时应进货个；售价定为元，这时应进货个 （2）当售价定为元时，能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设售价定为元，总利润为元，依题意得，求解即可得出答案； （2）根据，因为，所以函数有最大值，当时，最大，最大值为，得解． 【小问1详解】 解：设售价定为元，总利润为元，依题意得： ， 当时，， 解得：， 当时，进货（个）， 当时，进货（个）， 答：为了获得8000元利润，售价定为元，这时应进货个；售价定为元，这时应进货个； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 答：当售价定为元时，能获得最大利润，最大利润是元． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值． 【答案】（1）；（2）b的值为1或9． 【解析】 【分析】（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得； （2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得． 【详解】（1）由题意，将点代入一次函数得： 将点代入得：，解得 则反比例函数的表达式为； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为 联立 整理得： 一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点 关于x的一元二次方程只有一个实数根 此方程的根的判别式 解得 则b的值为1或9． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键． 19. 在中，、是锐角，且，，，求的面积． 【答案】的面积． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，过点作的垂线得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图：过点作的垂线，垂足为， ， 设， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积． 20. 如图：，且，问：在上是否存在点，使以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】存在点，使以三点为顶点的三角形与以三点为顶点的三角形相似，的值为或或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根的判别式等知识，根据和相似三角形的判定得出当或时，使以三点为顶点的三角形与以三点为顶点的三角形相似，代入求出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：存在点，使以三点为顶点的三角形与以三点为顶点的三角形相似，理由如下： ，， ， ①如图： 当时，， ∵， ∴， ∴， ②如图： 当时， ， ∵， ∴， ∴， 综上，存在点，使以三点为顶点的三角形与以三点为顶点的三角形相似，的值为或或． 21. 在中，分别是的对边，且，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实数根的平方和为6，求的面积． 【答案】的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．根据根与系数的关系求出的正弦，运用三角函数及勾股定理求出的长度，从而求出的面积； 【详解】解：方程有两个相等实数根， ， ∴， ∵， ， ． ∴是直角三角形，且， 设是的两实数根， 则，． ，而 ， 解得：或（舍去）， 在中， ，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学科知识竞赛数学试卷 时量：90分钟 满分：120分 一、填空题．（每小题4分，共60分） 1. 已知点，为反比例函数图象上的两点，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”） 2. 两个相似三角形相似比为，且面积之和为，则它们的面积分别为___________、___________． 3. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 4. 已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为_______． 5. 方程所有根的和为___________． 6. 某服装原价200元，连续两次涨价a℅后，售价为242元，则a=________. 7. 若、为整数，方程有一个根为，则___________． 8. 如图，取一张长方形纸片，长，宽，沿着对折，使点落在上，则___________，___________度． 9. 已知且，那么直线必经过第___________象限． 10. 如图，在平地处测得树顶的仰角为，向树前进，到达处，再测得树顶的仰角为，则树高为___________．（答案带根号） 11. 在中，，，，则的长为___________． 12. 已知等腰直角三角形中，，点在的延长线上，且，则的正切值为___________． 13. 若，则以为内角的的形状是 ___________． 14. 三角形三个外角的度数比为，则它的最短边的长与最长边上的中线长之比为___________． 15. 已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为______. 二、解答题（每小题10分，共60分） 16. 已知是一元二次方程的两个不相等的非零实数根． （1）求实数的取值范围． （2）当时，求的值． 17. 某种商品的进价为40元，若按每个50元出售，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个． （1）为了获得8000元利润，售价定为多少元？这时应进货多少个？ （2）当售价定为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值． 19. 在中，、是锐角，且，，，求的面积． 20. 如图：，且，问：在上是否存在点，使以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 21. 在中，分别是的对边，且，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实数根的平方和为6，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $