精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025-2026学年度高二上学期开学考试 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集、补集的概念求解即可. 【详解】因为全集，，所以， 又，所以， 故选：D 2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解. 【详解】因为复数z在复平面内对应的点为， 所以. 所以， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出的值，在求出的坐标，从而求出其模. 【详解】因为，，且，所以，所以， 所以，，所以. 故选：D. 4. 某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”的对立事件是（ ） A. 至少有一次命中目标 B. 至多有一次命中目标 C. 恰好两次都命中目标 D. 恰好有一次命中目标 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件定义直接判断即可. 【详解】由对立事件定义知：事件“两次都没有命中目标”的对立事件为“至少有一次命中目标”. 故选：A. 5. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合题设求得，再利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为是与向量方向相同的单位向量， 所以， 因为向量在向量上的投影向量为，所以， 所以，所以， 所以， 设的夹角为θ，则， 又，所以. 故选：B. 6. 若非零向量,满足，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可先由条件，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项 【详解】解：由题意 ，即， 又 ，，又， 则与的夹角为 故选：． 【点睛】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值 7. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和勾股定理，解三角形，求出两点之间的距离. 【详解】由题意知，，所以． 因为，在中，． 故选：D 8. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可. 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误： 对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确； 对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确； 对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确. 故选：BCD. 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. z虚部为1 B. z的共轭复数为 C. D. z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再逐项判断即得. 详解】复数， 对于A，z的虚部为，A错误； 对于B，z的共轭复数为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，z在复平面内对应点位于第三象限，D错误. 故选：BC 11. 甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是黑球的概率为 B. 2个球都是白球的概率为 C. 1个黑球1个白球的概率为 D. 2个球中最多有1个黑球的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别计算出从甲袋和乙袋中任取个球，该球为黑球或白球的概率，然后利用独立事件、互斥事件的概率公式可判断各选项. 【详解】从甲袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为， 从乙袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为. 对于A选项，2个球都是黑球的概率为，A对； 对于B选项，2个球都是白球的概率为，B对； 对于C选项，1个黑球1个白球的概率为，C错； 对于D选项，2个球中最多只有1个黑球的概率为，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12. 某次体检，7位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.41，1.80，1.69，1.77，则这组数据的第75百分位数是______（米） 【答案】1.78 【解析】 【分析】先对数据排序，利用百分位数的定义可求答案. 【详解】这7个数据从小到大的顺序为：1.41，1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80. ，所以这组数据的第75百分位数是1.78. 故答案为：1.78 13. 如图所示，在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求得正确答案. 【详解】， ， 设点到平面的距离为， 则，即， 即. 故答案为： 14. 在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】设立方体的边长为a，根据相切关系，列等式，即可求解. 【详解】如图，设立方体的边长为， 则，，再结合对称性， 可得，解得， 所以立方体的体积为8． 故答案为：8 四、解答题 15. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取的样本老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中a的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数. 【答案】（1）50，40，10 （2）0.020 （3）82.5 【解析】 【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数； （2）利用频率之和为1列出方程，求出的值； （3）利用百分位数的定义进行求解. 小问1详解】 老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为， 故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人； 【小问2详解】 由题意可得，，解得：； 【小问3详解】 设当天游客满意度分值的分位数为， 因为，， 所以位于区间内， 则，解得：， 所以估计当天游客满意度分值的分位数为. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_________． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，用余弦定理即可求解，选②，用向量的数量积的运算即可求解；（2）用正弦定理即可解决. 【小问1详解】 若选①， 由余弦定理可得， ∴， 又，∴，∴． 若选②， 则， 又，∴，∴． 【小问2详解】 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得， 又∵， ∴，解得． ∴． 17. 已知棱长均相等的正三棱柱，M，N分别为棱，中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）详见解析； （2）详见解析； 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证得平面； （2）利用线面垂直判定定理即可证得平面． 【小问1详解】 设，连接 又棱长均相等的正三棱柱中，M，N分别为棱，中点． 则，， 则，则四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 则平面； 【小问2详解】 取中点S，连接，则 又面面，面面，面， 则面，又面，则 又正方形中，，则, 则，又， 则，则， 又，，面， 则面，又面，则， 又正方形中，，， 平面，则平面． 18. 为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． （1）若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； （2）某个算法编程题，若甲同学能解决概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； （3）对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 【答案】（1） （2）0.26 （3）0.3744 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解； （3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解. 【小问1详解】 记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”. 则 ，有15种可能的结果. ，有4种可能的结果. 所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为. 【小问2详解】 设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”， 显然，，，. 因为事件，互斥，事件D，E相互独立， 所以， 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. 【小问3详解】 设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”， “两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”， “两轮测试中甲、乙共解决三道题”． ；； ；． 因为，互斥，事件与，与相互独立， 所以， 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744． 19. 在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. （1）求角A； （2）若，求面积的最大值； （3）为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理面积公式，和正弦定理由边化角，及余弦定理解三角形； （2）根据平面向量的加法运算，化简题目条件，再根据正弦定理面积公式和基本不等式，求出面积的最大值； （3）根据正余弦定理解三角形，根据三角函数值，通过换元法，和二次函数单调性，求出值域，得出参数的范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 由得：， 则， 从而， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 从而， 所以面积的最大值为； 【小问3详解】 由及正弦定理可得：， ，， 则 ， 为锐角三角形，，， ，， 令，，二次函数在上单调递减，在上单调递增， ，，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年度高二上学期开学考试 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 4. 某人连续射击两次，事件“两次都没有命中目标”对立事件是（ ） A. 至少有一次命中目标 B. 至多有一次命中目标 C. 恰好两次都命中目标 D. 恰好有一次命中目标 5. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 若非零向量,满足，则与的夹角为 A. B. C. D. 7. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为1 B. z的共轭复数为 C. D. z在复平面内对应的点位于第二象限 11. 甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是黑球的概率为 B. 2个球都是白球的概率为 C. 1个黑球1个白球的概率为 D. 2个球中最多有1个黑球的概率为 三、填空题 12. 某次体检，7位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.41，1.80，1.69，1.77，则这组数据的第75百分位数是______（米） 13. 如图所示，在正方体中，是中点，若，则点到平面的距离为___________. 14. 在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为__________． 四、解答题 15. 某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图： （1）求抽取样本老年、中青年、少年的人数； （2）求频率分布直方图中a的值； （3）估计当天游客满意度分值的分位数. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_________． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）求； （2）若，求． 17. 已知棱长均相等的正三棱柱，M，N分别为棱，中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 18. 为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． （1）若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； （2）某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； （3）对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 19. 在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. （1）求角A； （2）若，求面积最大值； （3）为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$